第六章幂函数指数函数和对数函数知识点清单高一上学期数学苏教版

新教材苏教版2019版数学必修第一册第六章知识点清单目录第六章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数6.2指数函数6.3对数函数第六章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数一、幂函数的概念一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.二、常见幂函数的图象与性质1.在同一平面直角坐标系内，画出函数(1)y=x；(2)y=x12；(3)y=x2；(4)y=x1；(5)y=x32.常见幂函数的性质函数定义域值域奇偶性单调性y=xRR奇增y=x2R[0，+∞)偶在[0，+∞)上单调递增，在(∞，0)上单调递减y=x3RR奇增y=x[0，+∞)[0，+∞)非奇非偶增y=x1{x|x≠0}{y|y≠0}奇在(0，+∞)上单调递减，在(∞，0)上单调递减三、幂函数的共同特性1.幂函数y=xα(α为常数)的性质(1)当α>0时，函数y=xα的图象都过点(0，0)和(1，1)，在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，+∞)上单调递增.(2)当α<0时，函数y=xα的图象都过点(1，1)，在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，+∞)上单调递减.四、幂函数的图象1.根据幂函数在第一象限内的图象可确定幂的指数α与0，1的大小关系.2.依据幂函数的图象的高低判断幂的指数的大小，相关结论如下：(1)在x∈(0，1)上，幂的指数越大，幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；(2)在x∈(1，+∞)上，幂的指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).五、幂函数性质的应用1.幂函数的性质与α的相互确定幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性.反过来，也可由幂函数的性质去限制α的取值：利用幂函数的单调性求出α的取值范围；由幂函数的奇偶性结合所给条件确定α的值.2.利用幂函数的单调性比较大小的方法(1)直接法：当幂函数中的幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性比较大小；(2)转化法：当幂函数中的幂的指数不同时，可以先转化为相同的幂的指数，再运用幂函数的单调性比较大小；(3)中间量法：当幂函数中的底数和幂的指数均不同时，可选取适当的中间值(通常选用0或1)比较大小.6.2指数函数一、指数函数的概念一般地，函数y=ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.二、指数函数的图象与性质指数函数y=ax(a>0，a≠1)a>10<a<1图象性质定义域：R值域：(0，+∞)图象过定点(0，1)，图象在x轴的上方增函数；当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1减函数；当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1注意：指数函数y=ax与y=1ax(a>0，a≠1)的图象关于y2.指数函数y=ax(a>0，a≠1)的底数a对图象相对位置的影响：①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”；②在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”.三、指数函数图象的变换1.平移变换(a>0，a≠1)(1)左右平移：把y=ax的图象向右平移b(b>0)个单位长度，得到y=axb的图象；把y=ax的图象向左平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象.(2)上下平移：把y=ax的图象向上平移b(b>0)个单位长度，得到y=ax+b的图象；把y=ax的图象向下平移b(b>0)个单位长度，得到y=axb的图象.2.对称变换(a>0，a≠1)(1)函数y=ax与y=ax的图象关于y轴对称.(2)函数y=ax与y=ax的图象关于x轴对称.(3)函数y=ax与y=ax的图象关于坐标原点对称.四、比较指数幂的大小1.指数幂比较大小的类型及方法(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性进行判断.(2)底数不同，指数相同：①利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断；②利用幂函数的单调性进行判断.(3)底数不同，指数不同：通过中间量(常用0或1)来比较.注意：对于3个(或3个以上)指数幂的大小比较，可先根据与特殊值(常用0或1)的大小比较进行分组，再比较各组数的大小.五、解指数方程或指数不等式1.指数方程的解法(1)对于af(x)=b(a>0，且a≠1)型的指数方程，通常将方程两边化为同底数幂的形式，用指数相等

进行求解.(2)解复杂的指数方程时，常用换元法转化为解一元二次方程.用换元法时要特别注意

“元”的范围，用一元二次方程求解时，要注意对一元二次方程根的取舍.2.简单指数不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化成以a为底数的幂的形式，再借助y=ax(a>0，且a≠1)的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助函数y=ax，y=bx(a，b>0，且a，b≠1)的图象求解.六、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题1.求与指数函数有关的函数的定义域时，要观察函数是y=af(x)(a>0，a≠1)型还是y=f(ax)(a>0，a≠1)型.(1)函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)的定义域相同.(2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，先令u=ax(u>0)，然后确定y=f(u)的定义域，即u=ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值集合，即y=f(ax)的定义域.2.求与指数函数有关的函数的值域时，重点要注意指数函数的值域为(0，+∞).(1)求函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=ax(a>0，a≠1)的单调性确定函数y=af(x)的值域.(2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的值域，先令u=ax(u>0)，然后利用函数u=ax的单调性确定其值域，进而确定函数y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域.七、与指数函数有关的函数的单调性1.形如y=af(x)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法(1)当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间；(2)当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间.2.形如y=f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性.6.3对数函数一、对数函数的概念一般地，函数y=logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，+∞).二、对数函数的图象与性质对数函数y=logax(a>0，a≠1)a>10<a<1图象性质定义域：(0，+∞)值域：R图象过点(1，0)增函数；当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0减函数；当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<0注意：对数函数y=logax与y=log1ax(a>0，a≠1)的图象关于x三、对数函数图象的变换1.平移变换：对数函数图象的平移变换同指数函数图象的平移变换，满足“左加右减，上加下减”的原则.2.对称变换(a>0，a≠1)(1)函数y=logax的图象与函数y=logax(即y=log1ax)的图象关于x(2)函数y=logax的图象与函数y=loga(x)的图象关于y轴对称；(3)函数y=logax的图象与函数y=loga(x)的图象关于原点对称.四、反函数1.当a>0，a≠1时，y=logax称为y=ax的反函数.反之，y=ax也称为y=logax的反函数.一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f1(x).2.知识拓展

(1)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.(2)互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换.(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.五、对数函数的图象及其应用1.对数型函数图象过定点问题求函数y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1，与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.3.函数图象的变换规律(1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.六、比较对数值的大小1.比较对数值大小的类型及方法(1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性进行比较.(2)底数不同，真数相同：利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较.(3)底数不同，真数不同：利用中间量进行比较.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.七、解对数不等式1.简单对数不等式的解法(1)形如logaf(x)>logab(a>0，且a≠1)的不等式，借助函数y=logax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论；(2)形如logaf(x)>b(a>0，且a≠1)的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab)，借助函数的单调性求解；(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.八、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题1.对数型函数的定义域求对数型函数的定义域时，除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外，还要保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.2.求对数型函数的值域的常用方法(1)直接法：根据函数解析式的特征，直接得出函数的值域.(2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，a≠1))时，可以用配方法求函数的值域.(3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.(4)换元法：求形如y=logaf(x)(a>0且a≠1，f(x)>0)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=logau(a>0，且a≠1)的单调性、图象求出y的取值范围.九、与对数函数有关的函数的单调性1.“定义域优先”原则：单调区间是定