新教材粤教版物理选择性学案第2章第2节简谐运动的描述

第二节简谐运动的描述[核心素养·明目标]核心素养学习目标科学思维能从简谐运动的函数表达式分析简谐运动的振幅、周期、频率等科学方法掌握简谐运动图像的物理意义和应用物理观念知道简谐运动的数学描述，了解相位的概念知识点一简谐运动的函数描述1．描述简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝Acos(ωt＋φ)．式中A是简谐运动的振幅，ω为简谐运动的角频率．2．ω与T、f的关系为：ω＝eq\f(2π,T)＝2πf．知识点二简谐运动的图像描述1．相位、初相位移—时间函数x＝cos(ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而对应t＝0时的相位φ叫作初相．2．相位差对于频率相同、相位不同的振子，相位差Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2，表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系．3．图像信息如图所示，从图像上可知周期和振幅．还可知道任一时刻的位移大小和方向．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)位移—时间图像表示振动质点的运动轨迹． (×)(2)振动的位移为正时，速度也为正． (×)(3)简谐运动图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移． (√)(4)振动位移的方向总是背离平衡位置． (√)2．一质点做简谐运动的图像如图所示，该质点在t＝3.5s时刻()A．速度为正、加速度为正 B．速度为负、加速度为负C．速度为负、加速度为正 D．速度为正、加速度为负D[由图像可知，质点从正的最大位移处出发，向平衡位置运动，由此知3.5s时，质点由平衡位置向正的最大位移处运动，所以此时速度为正，质点做减速运动，加速度为负，故选项D正确．]3．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一个周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移与时间关系的图像是()ABCDA[经eq\f(1,4)周期振子具有沿x轴正方向的最大加速度，故此时振子有负方向的最大位移，A图符合，故A项正确；B图中，经eq\f(1,4)周期振子位移为零，故B项错误；C图中，经eq\f(1,4)周期振子位移正向最大，故C项错误；D图中，经eq\f(1,4)周期振子位移为零，故D项错误．]考点1简谐运动的表达式某弹簧振子的振动图像如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4cm后放开，同时开始计时，讨论：(1)该振动的周期、频率分别是多少？(2)写出该振动的正弦函数表达式．提示：(1)周期T＝0.4s频率f＝2.5Hz．(2)x＝4sin(5πt＋eq\f(π,2))cm．1．简谐运动表达式x＝Asinωt的理解(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移．(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱．(3)ω：角频率，它与周期、频率的关系为ω＝eq\f(2π,Τ)＝2πf．可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．2．简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ0)的理解(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．(2)式中φ0表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．(3)相位差：即某一时刻的相位之差．两个具有相同ω的简谐运动，设其初相位分别为φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01．当Δφ＝0时，两质点振动步调一致；当Δφ＝π时，两质点振动步调完全相反．【典例1】一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12cm，周期为2s．当t＝0时，位移为6cm，且向x轴正方向运动，求：(1)初相位；(2)t＝0.5s时物体的位置．[思路点拨]①关键条件是：t＝0时，位移为6cm，且向x轴正方向运动．②先假设函数表达式，由t＝0时x＝6cm求出初相φ．[解析](1)设简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，A＝12cm，T＝2s，ω＝eq\f(2π,T)，t＝0时，x＝6cm，代入上式得，6cm＝12sin(0＋φ)cm，解得sinφ＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,6)或eq\f(5,6)π，因这时物体向x轴正方向运动，故应取φ＝eq\f(π,6)，即其初相为eq\f(π,6)．(2)由上述结果可得：x＝Asin(ωt＋φ)＝12sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πt＋\f(π,6)))cm，所以x＝12sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,6)))cm＝12sineq\f(4,6)πcm＝6eq\r(3)cm．[答案](1)eq\f(π,6)(2)6eq\r(3)cm处初相位的两种求解方法(1)确定振幅A、角频率ω及t＝0时刻的位移x，然后利用x＝Asin(ωt＋φ)，求出初相位φ．(2)设平衡位置处的质点向正方向运动n(n<1)个周期可到达t＝0时刻质点所在处，则初相位φ＝n·2π．[跟进训练]1．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8cm，周期为0.5s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是()A．x＝8×10－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt＋\f(π,2)))(m)B．x＝4×10－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt－\f(π,2)))(m)C．x＝8×10－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,2)))(m)D．x＝4×10－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt－\f(π,2)))(m)B[振子振动范围0.8cm，所以2A＝0.8cm，振幅A＝0.4cm，周期为0.5s，所以ω＝eq\f(2π,T)＝4πrad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在波谷位置，综上可得：x＝4×10－3·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt－\f(π,2)))(m)，B正确，A、C、D错误．]考点2简谐运动的图像如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹．讨论：(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？(2)振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？提示：(1)是一条平行于小球运动方向的线段．(2)是一条正弦曲线．1．图像形状正(余)弦曲线．2．物理意义表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律．3．图像应用(1)任意时刻质点位移的大小和方向．如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2．甲(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻沿x轴正方向振动．图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻沿x轴正方向振动．乙(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化．如图甲所示，质点在t1时刻到t0时刻这段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；质点在t0时刻到t2时刻这段时间内，质点远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大．【典例2】如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝1kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10cm．现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取10m/s2．(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；(2)求出小球在0～12.9s内运动的总路程和12.9s时刻的位置；(3)小球运动到最高点时加速度的大小．甲乙[解析](1)由振动图像可知：A＝5cm，T＝1.2s，则ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(5π,3)rad/s，小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式：y＝Acosωt(cm)＝5coseq\f(5π,3)t(cm)．(2)12.9s＝10eq\f(3,4)T，则小球在0～12.9s内运动的总路程：43A＝215cm；12.9s时刻的位置：y＝0，即在平衡位置．(3)小球在平衡位置时弹簧伸长量10cm，则：k＝eq\f(mg,Δx)＝eq\f(10,0.1)N/m＝100N/m，小球在最高点时，弹簧伸长5cm，则mg－kΔx′＝ma，解得a＝5m/s2．[答案](1)y＝5coseq\f(5π,3)t(cm)(2)215cm平衡位置(3)5m/s2简谐运动图像的应用技巧(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向．质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向．由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．[跟进训练]2．(多选)弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，则()A．t＝0时，振子位移为零，速度为零，加速度为零B．t＝1s时，振子位移最大，速度为零，加速度最大C．t1和t2时刻振子具有相同的速度D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度BD[t＝0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，选项A错误；t＝1s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，选项B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，选项C错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，选项D正确．]1．物理观念：利用简谐运动的函数表达式分析振幅、周期、频率．2．科学方法：简谐运动的图像．3．科学思维：简谐运动的位移公式与图像的综合应用．1．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin4πt(cm)和x2＝2sin2πt(cm)，它们的振幅之比、各自的频率之比是()A．2∶12∶1 B．1∶21∶2C．2∶11∶2 D．1∶22∶1A[由题意知A1＝4cm，A2＝2cm，ω1＝4πrad/s，ω2＝2πrad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1．故A正确，B、C、D错误．]2．一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是()A．质点的振动频率是4HzB．在10s内质点通过的路程是20cmC．第4s末质点的速度是零D．在t＝1s和t＝3s两时刻，质点位移大小相等、方向相同B[根据振动图像可知，该简谐运动的周期T＝4s，所以频率f＝eq\f(1,T)＝0.25Hz，A错；10s内质点通过的路程s＝eq\f(10,4)×4A＝10A＝10×2cm＝20cm，B对；第4s末质点经过平衡位置，速度最大，C错；在t＝1s和t＝3s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错．]3．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是()A．由P→Q位移在增大B．由P→Q速度在增大C．由M→N速度是先减小后增大D．由M→N位移始终减小A[由图像可知从P→Q物体远离平衡位置向外运动，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，选项C、D错误．]4．(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是()A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动B．t2时刻振子的位移最大C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动D．该图像是从平衡位置计时画出的BC[从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，D项错误；t1时刻以后振子的位移为负，t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，A项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是在最大位移处，B项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，C项正确．]5．如图所示是某质点做简谐运动的图像，根据图像中的信息，回答下列问题：(1)质点离开平衡位置的最大距离有多大？(2)