椭圆方程及性质的应用

椭圆方程及性质的应用双基达标（限时20分钟）22xy1．(2011·厦门高二检测)椭圆＋＝1231的一个焦点为F，点P在椭圆上．如果1线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是)．(33234A．±4B．±2C．±2D．±解析由条件可得F1(－3，0)，PF1的中点在y轴上，∴P坐标(3，y0)，又P在＋＝1的椭圆上得y0＝±23，∴M的坐标(0，±43)，22xy123故选A.答案A2．如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F和一个顶点B，该椭圆的1离心率为()．1525A.B.5D.255C.5解析由条件知，F1(－2，0)，B(0，1)，∴b＝1，c＝2，c225.∴a＝22＋12＝5，∴e＝＝＝a55答案D22xy3．已知椭圆＋＝341的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝()．A．23B．43C．4D．8解析如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1、FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1(其中F1为椭圆的下焦点)为平行四边形，∴AF1＝FD，同理BF1＝CF，∴AF＋BF＋CF＋DF＝AF＋BF＋BF1＋AF1＝4a＝8.答案D22xyy＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．m34．直线y＝x＋2，解析由消去y，22xy＋＝1m3整理，得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，解得3＋m≠0，m≠－3，则＝（4m）2－4m（3＋m）>0，m<0或m>1.Δ22xy由＋＝1表示椭圆知，m>0且m≠3.m3综上可知，m的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．答案(1，3)∪(3，＋∞)125．椭圆x＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．2x2＋4y2＝16，解析由消去y并化简，得x2＋2x－6＝0.1y＝x＋1，2设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，xx12＝－6.∴弦长|MN|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）212122＝（x1－x2）＋（x－x）22154＝[（x1＋x2）－4xx12]254＝（4＋24）＝35.答案35422xl：y＝kx＋1与椭圆＋y＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直226．已知直线3线l的方程．解设直线l与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，y＝kx＋1，由消y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，2x＋＝1，y224k∴x＋x＝－，xx＝0.1＋2k12212由|MN|＝，得432(x－x)2＋(y1－y2)2＝，32912∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，32932∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4xx12]＝.924k32－即(1＋k2)＝.1＋2k92化简，得k＋k2－2＝0，∴k＝1，∴k＝±1.42∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.综合提高（限时25分钟）22xy7．已知椭圆＋＝631(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB2ab2分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k，k，若点A，B关于原点对称，12则k1·k2的值为()．12121313A.B．－C.D．－解析设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，22bx221bx2a则y2＝b2－，y＝b2－，212a所以k·k＝y－yy＋yy－y222bc21·1＝1＝－＝2－1＝2aa12－＋－221xxxxxx1111－1＝－，即k1·k2的值为－.33e2答案D2x8．已知椭圆C：＋y＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C22→→→于点FA＝3FB，则|AF|＝()．B，若A.2B．2C.3D．3解析设点A(2，n)，B(x0，y0)．2x2由椭圆C：＋y2＝1，知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．→→∴由FA＝3FB，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．4313∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.1423132x将x0，y0代入2＋y2＝1，得×()2＋(n)2＝1.→解得n2＝1，∴|AF|＝（2－1）＋2n2＝1＋1＝2.所以选A.答案A22xyF、F为椭圆＋＝2599．(2011·北京东城检测)已知1的两个焦点，过F的直线121交椭圆于A、B两点．若|FA|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.2解析由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.答案810．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，A2，B1，B2122xy2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直2ab线A1B2与直线BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点1M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．xyxy＝1，二者联解析直线AB的方程为－a＋＝1，直线B1F的方程为＋b12bc－2acb（a＋c）a－c，立，得T，a－cb（a＋c）ac22xy则M，在椭圆＋＝1(a>b>0)上，a－c2（a－c）2ab2（a＋c）22c∴＋＝1，c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝27（a－c）24（a－c）2－5.答案27－522xyA(－1，1)的直线与椭圆＋＝8411．已知过点1交于点B、C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．l与椭圆的交点B(x，y1)，C(x2，y2)，解设直线1弦BC中点M(x，y)，21＝1，2xy则1＋①8422xy2＋2＝1.②8422221)＝0.xxyy②－①，得(2－1)＋(2－8844∴(x2＋x1)(x2－x1)＋2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.③x＋xy＋yy－yy－1当x1≠x2时，＝x，＝y，＝，1－xx＋11212222x21y－y＝0.x－x2又∵③式可化为(x＋x2)＋2(y1＋y2)·2111y－1∴2x＋2·2y·＝0，化简得x＋2y2＋x－2y＝0.2x＋1当x＝x时，由点M(x，y)是线段BC中点，1，y＝0，显然适合上式．M的轨迹方程是x＋2y2＋x－2y＝0.12∴x＝－总之，所求弦中点212．(创新拓展)如图所示，点A、B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右x轴上方，PA⊥PF.2xy36202＋＝焦点，点P在椭圆上，且位于(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M的距离d的最小值．解(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，P的坐标是(x，y)，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点设点→→则AP＝(x＋6，y)，FP＝(x－4，y)．22yx由已知得＋＝1，3620（x＋6）（x－4）＋y＝0.232则2x2＋9x－18＝0,即得x＝或x＝－6.3252由于y>0，只能x＝，于是y＝3.35