人教版高中数学必修5(必修五)各章章末复习课件共2套

知识整合提升1．深化对正、余弦定理的理解正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理，要理解两个定理及其变形．2．剖析斜三角形的类型与解法正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素(三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素)，如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解．关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型(设三角形为△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c)：3.解读判断三角形形状的两种方法判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，此类题目一般采用以下两种方法求解：(1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形状；(2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形状．注意：根据余弦定理判断三角形形状时，当a2＋b2<c2，b2＋c2<a2，c2＋a2<b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2＋b2>c2，b2＋c2>a2，c2＋a2>b2中有一个关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论．4．细解正、余弦定理解实际应用题的步骤实际应用题的本质就是解三角形，无论是什么类型的题目，都要先画出三角形的模型，再通过正弦定理或余弦定理进行求解．解三角形应用题的一般步骤是：(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中单位、近似计算要求．热点考点例析【点拨】

一般来说，利用正弦定理或余弦定理来判断三角形的形状的问题，按所用知识分类有利用正弦定理、利用余弦定理、同时利用正弦定理和余弦定理三种；按解题方法分类有通过边来判断与通过角来判断两种．利用正、余弦定理判断三角形的形状

在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．[思维点击]

结合正弦定理将边角关系转化为角的关系或结合余弦定理将边角关系转化为边的关系加以判断．

1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【点拨】

正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起来．正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据．

正、余弦定理的综合应用[思维点击]

(1)利用正弦定理将边化为角，然后进行三角恒等变换求解．(2)利用余弦定理将角化为边，利用方程组求解．答案：B答案：D3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是(

)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定解析：如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/时．故选B.答案：B二、填空题5．在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，则a＝________.谢谢观看！知识整合提升2．对比学习等差数列、等比数列的概念3.类比学习等差数列、等比数列的性质等差数列等比数列性质①设{an}是等差数列，若s＋t＝m＋n，则as＋at＝am＋an；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m项的和组成的新数列是等差数列，即：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列①设{an}是等比数列，若s＋t＝m＋n，则as·at＝am·an；②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列；③等比数列中连续m项的和组成的新数列是等比数列，即：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等比数列(注意：当q＝－1且k为偶数时，不是等比数列)5．解决数列综合问题的注意点(1)理解数列是特殊的函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都可以从方程角度来认识，因此应理解数列中的函数与方程等价转化、分类与整合等常用数学思想．(2)善于将这类题目分解为若干个基本数学问题各个击破．(3)对数列应用问题，要知道数列是刻画离散现象的基本数学模型，善于在对日常生活中大量实际问题分析的基础上建立数列模型，然后综合运用数列及其他数学知识解决实际问题，体会数列与函数、方程之间的联系．热点考点例析【点拨】

1.等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，其中包含四个元素：an，a1，n和d，很显然我们可以做到“知三求一”．2．在解题时，我们往往通过解方程(组)来确定a1和d，从而就可以确定等差数列了，但是，有时这种解法运算过程稍微复杂了一点，如果能够灵活使用另一个公式an＝am＋(n－m)d可以简化运算．等差数列通项公式

已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三项为：a,2a－1,3－a.

1．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(

)A．1

B．2C．3 D．4答案：B【点拨】

运用等差数列的性质解题时，要注意序号与项的对应关系．在等差数列的学习过程中，最常见的错误是对等差数列性质的误用．公式am＋an＝ap＋aq(其中p＋q＝m＋n，m，n，p，q∈N*)表明，在等差数列中若每两项的序号和相等，则其对应项的和也相等，否则不成立．例如：我们有a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，但不能得出a6＝a2＋a4.等差数列的性质

已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且{an}为2,5,8，…，{bn}为1,5,9，…，它们的项数均为40，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？[规范解答]

已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为：an＝3n－1，bm＝4m－3(m，n∈N*，且1≤n≤40,1≤m≤40)．令an＝bm，得3n－1＝4m－3，

2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(

)A．58 B．88C．143 D．176答案：B【点拨】

新课标要求理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能在具体问题情境中识别数列的等比关系，还要求我们了解等比数列与指数函数的关系．等比数列的概念和性质1．(1)等比数列的性质是等比数列基本规律的深刻体现，是解决等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识去应用．(2)在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．(3)“巧用性质、减少运算量”在等比数列的计算中非常重要，使用“基本量法”，并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．2．等比数列的概念、性质、通项公式是高考的必考内容，特别是与其他知识的交汇点，一直是考查的重要热点之一，常见的考题有：(1)判断、证明数列是等比数列；(2)运用通项公式求数列中的项；(3)解决数列与函数、三角、向量、几何等知识交汇点问题；(4)涉及递推关系的推理及运算问题．3．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(

)A．7 B．5C．－5 D．－7解析：a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8⇒a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.a4＝4，a7＝－2⇒a1＝－8，a10＝1⇒a1＋a10＝－7，a4＝－2，a7＝4⇒a10＝－8，a1＝1⇒a1＋a10＝－7.答案：D1．数阵的特点所谓数阵是指将某些数，按一定的规律排成若干行和列，形成图表，也称之为数表．例如大家都非常熟悉的“杨辉三角”．2．以数阵为背景的数列问题数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列，比较多见的是排成等差或等比数列，它重点考查等差、等比数列相关知识，有时也会出现其他类型的数列，解决此类问题的关键是找出其中的规律．以数阵为背景的数列问题

在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于下表中的第n行第n＋1列的数是________.

第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………[规范解答]

由数表可知，第n行的第一个数为n，该行各数构成以n为公差的等差数列，因此该行的第n＋1个数为n＋(n＋1－1)n＝n＋n2.答案：n＋n24．整数排成一个三角形数阵：

1 第1行

2

3 第2行

4

5

6 第3行

7

8

9

10 第4行

11

12

13

14

15 第5行按照以上排列的规律，从左向右记第n行的第j个数为f(n，j)，n，j∈N*，我们称f(n，n)为三角形．现将所有的三角数按从小到大的顺序排成一三角数列，则满足等式f(n，n)＝f(28，28)＋59的f(n，n)是三角数列中的第________个．答案：30【点拨】

解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数列的类型：(1)如果问题所涉及的数列是特殊数列(如等差数列、等比数列，或与等差、等比有关的数列，等等)应首先建立数列的通项公式．(2)如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列的递推关系(即an与an－1的关系)．(3)解决数列的应用问题必须准确计算项数，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且应准确定义an是表示“第n年”还是“n年后”．

数列在实际生活中的应用

假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：①每年年末加1000元；②每半年结束时加300元．请你选择：(1)如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？(2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？5．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考：解析：(1)设今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10＝1.05b.由题设可知，1年后的设备为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，2年后的设备为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，…，1.19＝2.381.00499＝1.041.110＝2.601.004910＝1.051.111＝2.851.004911＝1.06一、选择题1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an等于(

)A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－n解析：∵an＋1－an＋1＝0，∴an＋1－an＝－1.∴数列{an}是以－1为公差的等差数列，又a1＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)(－1)＝3－n.答案：D2．在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(

)A．81 B．120C．168 D．192答案：B3．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(

)A．15 B．30C．31 D．64解析：在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.答案：A4．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝(

)A．1 B．9C．10 D．55解析：∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1.∴Sn＋1－Sn＝1.即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.答案：A6．已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为________．三、解答题7．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22，(1)数列{an}前多少项和最大？(2)求{|an|}前n项和．谢谢观看！知识整合提升2．掌握不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质：(1)a>b⇔b<a(2)a>b，b>c⇒a>c(3)a>b⇔a＋c>b＋c(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc3．探究一元二次不等式的求解方法(1)对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：①二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；②方程ax2＋bx＋c＝0的根．(2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，其Δ＝b2－4ac，则方程的根按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0可分为三种情况．相应地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，可分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．4．解读二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义二元一次不等式(组)的几何意义是二元一次不等式(组)表示的平面区域．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．区域不包括边界时，边界直线(Ax＋By＋C＝0)应画成虚线．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．(3)二元一次不等式表示的平面区域的规律y＝kx＋b表示的直线将平面分成两部分，即y>kx＋b表示直线上方的平面区域，y<kx＋b表示直线下方的平面区域，而直线y＝kx＋b是这两个区域的分界线．一般地，若Ax＋By＋C>0，则当B>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0的上方区域，当B<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0的下方区域：若Ax＋By＋C<0，与上述情况相反．5．探求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．6．运用基本不等式求最值，把握三个条件(1)在所求最值的代数式中，各变量均应是正数(如不是，则需进行变号转换)；(2)各变量的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值，如不是，则要进行拆项或分解，务必使不等式一边的和或积为常数；(3)各变量有相等的可能，即相等时，变量有实数解，且在定义域内，如无，则需拆项、分解以使其满足上述条件或改用其他方法．热点考点例析【点拨】

不等式的性质是本章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据，应予以特别重视，应熟练掌握和运用不等式的几个性质．比较两个实数或代数式的大小常常用比较法中的作差法，而这又归纳为对差式进行变形并判断差的符号，这又必然归结到实数运算的符号法则．不等式的基本性质与应用[思维点击]

本题可以直接作差或平方后再作差比较大小．1．已知a>b>c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．解析：方法一：(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca[(c－b)＋(b－a)]＝(ab－ca)(a－b)＋(bc－ca)(b－c)＝a(b－c)(a－b)＋c(b－a)(b－c)＝(a－b)(b－c)(a－c)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，∴(a－b)(b－c)(a－c)>0，故a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.方法二：(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)＝[b(a2＋bc)＋c2a]－[ab2＋c(bc＋a2)]＝(a2＋bc)(b－c)＋a(c2－b2)＝(b－c)[(a2＋bc)－a(b＋c)]＝(a－b)(b－c)(a－c)．下同方法一．【点拨】

对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点)．

一元二次不等式的解法[思维点击]

本题考查分式不等式和含参数的不等式的解法．可先将其转化为整式不等式，再利用解一元二次不等式的知识解之，注意分类讨论．

简单的线性规划问题求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值时，只需把直线ax＋by＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z随之增大(或减小)(b>0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解步骤为：①作出可行域；②作出直线l0：ax＋by＝0；③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．解析：在直角坐标系中画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点B(2，1)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝3x＋y取得最大值，最大值是7.答案：

D当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M(20,24)时z取最大值．∴该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．4．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为(

)A．2000元 B．2200元C．2400元 D．2800元答案：

B

利用基本不等式求最值[思维点击]

(1)将原函数变形，利用基本不等式求解．(2)利用函数的单调性求解．解析：对于A，可算得为3>1，显然成立．答案：

A答案：

D答案：

B答案：

B二、填空题5．不等式x2＋x＋k>0恒成立，则k的取值范围是________．6．已知2x＋2y＝6，则2x＋y的最大值是________．8．某餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每斤的单价分别为2元和3元．根据需要，A蔬菜至少要买6斤，B蔬菜至少要买4斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．(1)写出一天中A蔬菜购买的斤数x和B蔬菜购买的斤数y之间的不等式组；(2)在给定的坐标系中画出(1)中不等式组表示的平面区域(用阴影表示)，并求出它的面积．谢谢观看！第一课解三角形【网络体系】【核心速填】1.正弦定理(1)公式表达：___________________.(2)公式变形：①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；②sinA=，sinB=，sinC=；③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；④2.余弦定理(1)公式表达：a2=_____________，b2=_____________，c2=_____________.(2)推论：cosA=_________，cosB=_________，cosC=_________.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC3.三角形中的常用结论(1)a+b>c，b+c>a，c+a>b.(2)a-b<c，b-c<a，a-c<b.(3)A+B+C=π.(4)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB.(5)a=b⇔A=B.(6)A为锐角⇔cosA>0⇔a2<b2+c2；A为钝角⇔cosA<0⇔a2>b2+c2；A为直角⇔cosA=0⇔a2=b2+c2.(7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC.(8)4.三角形中的计算问题在△ABC中，边BC，CA，AB记为a，b，c，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则(1)ha=bsinC=______.(2)hb=csinA=______.(3)hc=asinB=______.csinBasinCbsinA(4)(5)【易错提醒】解三角形中易忽视的三点(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围.(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补情况.(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情况.类型一利用正、余弦定理解三角形【典例1】(1)△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=

，BC=，则等于(

)(2)在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos2A=，sinB=①求A+B的值；②若a-b=-1，求a，b，c的值.【解析】(1)选C.因为AB=2，所以BC2=AB2+AC2，所以A=，所以BC为圆的直径，O为斜边BC的中点，所以CO=BO=AO=BC=，又AC=，设∠AOC=α，由余弦定理得cosα=则(2)①因为A，B为锐角，sinB=所以cosB=又因为cos2A=1-2sin2A=所以sinA=，cosA=所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB因为0<A+B<π，所以A+B=②由①知C=，所以sinC=由正弦定理得即a=b，c=b.因为a-b=-1，所以b-b=-1，所以b=1，所以a=，c=.【方法技巧】应用正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A+B+C=180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△ABC=acsinB；在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180°求出另一角；S△ABC=absinC；在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A+B+C=180°，求出角C；S△ABC=absinC；在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B；由A+B+C=180°，求出角C；再利用正弦定理求出第三边c；S△ABC=absinC；可有一解、两解或无解【变式训练】在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2，=4，2sinBcosC=sinA，求A，B及b，c.【解析】因为=4，所以=4.所以所以sinC=.又因为C∈(0，π)，所以C=或C=由2sinBcosC=sinA，得2sinBcosC=sin(B+C)，即sin(B-C)=0.所以B=C，所以B=C=，A=π-(B+C)=由正弦定理

，得【补偿训练】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=45°，b=，cosC=(1)求边长a.(2)设AB的中点为D，求中线CD的长.【解析】(1)由cosC=得sinC=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC由正弦定理得(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(3)2+()2-2×3××=4，所以c=2，在△BCD中.由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cosB=12+(3)2-2×1×3×=13，所以CD=类型二判断三角形的形状【典例2】(1)在△ABC中，已知3b=2asinB，且cosB=cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是(

)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形(2)已知在△ABC中，=c2，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状.【解析】(1)选D.由3b=2asinB，得根据正弦定理，得所以，即sinA=又角A是锐角，所以A=60°.又cosB=cosC，且B，C都为三角形的内角，所以B=C，故△ABC为等边三角形.(2)由=c2，得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3，所以a2+b2-ab=c2，所以cosC=，所以C=60°.由acosB=bcosA，得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为△ABC外接圆的半径)，所以sin(A-B)=0，所以A-B=0，所以A=B=C=60°，所以△ABC为等边三角形.【方法技巧】判定三角形形状的两种途径(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a=2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA=sinB⇔A=B，sin(A-B)=0⇔A=B，sin2A=sin2B⇔A=B或A+B=等.(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=cosA=等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.【变式训练】在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，试判断△ABC的形状.【解析】方法一：由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，因为B=60°，所以A+C=120°，A=120°-C，将其代入上式，得2sin60°=sin(120°-C)+sinC，展开整理，得sinC+cosC=1，所以sin(C+30°)=1，所以C+30°=90°.所以C=60°，故A=60°，所以△ABC是等边三角形.方法二：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，因为B=60°，b=，所以()2=a2+c2-2accos60°.所以(a-c)2=0，所以a=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形.【补偿训练】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=k(k∈R).(1)判断△ABC的形状.(2)若c=，求k的值.【解析】(1)因为=cbcosA，=cacosB，又因为，所以bccosA=accosB，所以bcosA=acosB.方法一：因为bcosA=acosB，所以sinBcosA=sinAcosB，即sinAcosB-sinBcosA=0，所以sin(A-B)=0.因为-π<A-B<π，所以A=B.所以△ABC为等腰三角形.方法二：因为bcosA=acosB，所以所以b2+c2-a2=a2+c2-b2，所以a2=b2，所以a=b.故此三角形是等腰三角形.(2)由(1)知a=b，所以=bccosA=bc·==k.因为c=，所以k=1.类型三正、余弦定理的实际应用【典例3】已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【解析】如图所示，在△ABC中，依题意得BC=20海里，∠ABC=90°-75°=15°，∠BAC=60°-∠ABC=45°.由正弦定理，得所以AC==10()(海里).过点A作AD⊥BC.故A到航线的距离为AD=ACsin60°=10()×=()(海里).因为>8，所以货轮无触礁危险.【方法技巧】正、余弦定理在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图.(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等.(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形.(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位.【变式训练】如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值.【解析】如图，作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M，DF=DE=EF=在△DEF中，由余弦定理得：cos∠DEF=【补偿训练】如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为__________km.【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以∠B+∠D=π，由余弦定理得AC2=52+32-2×5×3cosD=34-30cosD，AC2=52+82-2×5×8cosB=89-80cosB，由cosB=-cosD，得，解得AC=7.答案：7类型四正、余弦定理与三角函数的综合【典例4】(2015·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a，b)与n=(cosA，sinB)平行.(1)求A.(2)若a=，b=2，求△ABC的面积.【解析】(1)因为m∥n，所以asinB-bcosA=0，由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0，又sinB≠0，从而tanA=，由于0<A<π，所以A=.(2)方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，而a=，b=2，A=，得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0，因为c>0，所以c=3.故△ABC的面积为bcsinA=方法二：由正弦定理得，从而sinB=又因为a>b，所以A>B，所以cosB=所以sinC=sin(A+B)=所以△ABC的面积为【方法技巧】正、余弦定理与三角函数综合应用的处理策略(1)首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的.(2)利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简.【变式训练】(2015·武汉高一检测)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM=PN=MN=2(单位：千米).如何设计，可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).【解析】设∠AMN=θ，0°<θ<120°，在△AMN中，因为MN=2，所以AM=sin(120°-θ)，在△APM中，cos∠AMP=cos(60°+θ)，AP2=AM2+MP2-2MP·AMcos∠AMP=sin2(120°-θ)+4-2×2×sin(120°-θ)cos(60°+θ)=sin2(60°+θ)-sin(60°+θ)cos(60°+θ)+4=[1-cos(2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4=-[sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+=-sin(2θ+150°)，0°<θ<120°，当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2，答：当∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.【补偿训练】如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：当∠AOB为多少时，四边形OACB的面积最大？【解析】设∠AOB=α.在△AOB中，由余弦定理，得AB2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα.所以四边形OACB的面积为S=S△AOB+S△ABC=OA·OBsinα+AB2=×2×1×sinα+(5-4cosα)=sinα-所以当sin()=1时，S有最大值.因为0<α<π，所以故当∠AOB=π时，四边形OACB的面积最大.第二课数列【网络体系】【核心速填】1.数列的通项与前n项和的关系(1)Sn=a1+a2+…+an.(2)an=2.等差数列(1)通项公式：an=a1+_______，an=am+_______.(2)前n项和公式：Sn=________=___________.(n-1)d(n-m)d(3)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫作a，b的等差中项，且有_______.(4)常用性质：①若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则__________；②在等差数列{an}中，Sk，S2k-Sk，______，…成等差数列.a+b=2Aam+an=ap+aqS3k-S2k(5)等差数列的判断①定义式：______=d(d为常数)；②等差中项：an+an+2=_____；③通项公式：an=dn+b；④前n项和：Sn=an2+bn.an+1-an2an+13.等比数列(1)通项公式：an=_____，an=_____.(2)前n项和公式：Sn=a1qn-1amqn-m(3)等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的等比中项，且有G2=___或G=_____.(4)等比数列的性质：①若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则____________；②在等比数列{an}中，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等比数列.(q≠-1)abam·an=ap·aq(5)等比数列的判断：①定义式：______(q为非零常数)；②等比中项：an·an+2=___；③通项公式：an=aqn(a，q为非零常数)；④前n项和：Sn=A-Aqn(A为非零常数，q≠0且q≠1).【易错提醒】1.关注an与Sn的关系式的应用应用an=解题时，应注意分类讨论的应用，即要注意分n=1和n≥2两种情况进行讨论.2.重视等差(比)数列的定义等差(比)数列的定义中都强调从第2项开始，每一项与前一项的差(比)，是同一常数.利用定义法证明等差(比)数列时，要特别注意n的取值范围.3.忽视等比数列项的符号等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同，解题时常因忽略这点而致误.4.求等比数列的前n项和时注意分类讨论在等比数列的公比不确定的情况下，求其前n项和时应对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.5.找规律，“数清”数列的项数在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数.如果把数列的项数弄错了，将会前功尽弃.类型一数列通项公式的求法【典例1】(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则此数列的通项公式为an=__________.(2)写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式.①a1=1，an+1=2n·an(n≥1)；②a1=2，an+1=an+3n+2.【解析】(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.当n=1时，a1=S1=21-1=1，适合上式.综上有an=2n-1.答案：2n-1(2)①方法一：因为an+1=2n·an，所以所以将上述n-1个式子累乘，得=21+2+3+…+(n-1)，即an=(n∈N*).方法二：an+1=2n·an=2n·2n-1an-1=…=2n·2n-1·…·22·21a1=21+2+…+n-1+na1=所以an=②因为an+1=an+3n+2，所以an-an-1=3n-1(n≥2).所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n≥2).当n=1时，×(3×1+1)=2=a1，a1符合公式，所以an=【延伸探究】典例1(1)中的条件“Sn=2n-1”改为“Sn=3n2-2n+1”，结果如何？【解析】当n=1时，a1=S1=3×12-2×1+1=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5，显然当n=1时，不满足上式.故数列的通项公式为an=【方法技巧】数列通项公式的求法(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an=求解.(3)累加或累乘法形如an-an-1=f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如=f(n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式.【拓展延伸】用待定系数法由递推公式求通项公式(1)基本思路把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式.(2)具体方法在递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列.例如an=can-1+d(c≠0，c≠1)的递推关系式，在递推关系式两端同时加上A，an+A=can-1+d+A，即an+A=令A=，解出A，此时数列{an+A}是等比数列，可解.【变式训练】若a1=1，Sn=an，则通项an=____.【解析】由题设知，a1=1.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=所以所以以上n-1个式子的等号两端分别相乘，得到又因为a1=1，所以an=a1=1也符合此式，所以an=答案：类型二等差数列、等比数列的判定【典例2】(1)已知数列{an}，则有(

)A.若an2=4n，n∈N*，则{an}为等比数列B.若an·an+2=，n∈N*，则{an}为等比数列C.若am·an=2m+n，m，n∈N*，则{an}为等比数列D.若an·an+3=an+1·an+2，n∈N*，则{an}为等比数列(2)在数列{an}中，a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且n∈N*).①求a2，a3的值.②设bn=(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列.【解析】(1)选C.若a1=-2，a2=4，a3=8，满足an2=4n，n∈N*，但{an}不是等比数列，故A错；若an=0，满足an·an+2=，n∈N*，但{an}不是等比数列，故B错；若an=0，满足an·an+3=an+1·an+2，n∈N*，但{an}不是等比数列，故D错；若am·an=2m+n，m，n∈N*，则有

=2，则{an}是等比数列.(2)①因为a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且n∈N*)，所以a2=2a1+22+3=1，a3=2a2+23+3=13.②对于任意n∈N*，因为=[(2n+1+3)-3]=1，所以数列{bn}是首项为=0，公差为1的等差数列.【方法技巧】等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差数列；=q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列.(2)中项公式法：2an+1=an+an+2⇔{an}是等差数列；=an·an+2(an≠0)⇔{an}是等比数列.(3)通项公式法：an=kn+b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an=c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列.(4)前n项和公式法：Sn=An2+Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn=Aqn-A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列.【变式训练】已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，且lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn=，n=1，2，3，…，求证数列{bn}为等比数列.【证明】因为lga1，lga2，lga4成等差数列，所以2lga2=lga1+lga4=lg(a1·a4)，所以a22=a1·a4.设等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d)，所以d2=a1·d，所以d(a1-d)=0，所以d=0或d=a1.①当d=0时，{an}为常数列，{bn}也为常数列，此时数列{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列.②当d=a1时，=a1+(2n-1)d=2nd，因为a1>0，所以d>0，所以bn=显然bn≠0.所以(n≥1)，此时数列{bn}是首项为b1=，公比为的等比数列.综上可知，数列{bn}是等比数列.【补偿训练】已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，bn=an+1(n∈N*).(1)求证：{bn}是等比数列.(2)求{an}的通项公式.【解析】(1)因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，即bn+1=2bn.因为b1=a1+1=2≠0，所以bn≠0.所以=2，所以{bn}是等比数列.(2)由(1)知{bn}是首项b1=2，公比为2的等比数列，所以bn=2×2n-1=2n，即an+1=2n，所以an=2n-1.类型三数列求和【典例3】(1)数列{an}中，an=Sn=9，则n=____.(2)(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.①求{an}的通项公式.②求数列{}的前n项和.【解析】(1)an=所以Sn==-1=9，所以n=99.答案：99(2)①方程x2-5x+6=0的两根为2，3，由题意得a2=2，a4=3，设数列{an}的公差为d，则a4-a2=2d，故d=，从而a1=，所以{an}的通项公式为an=n+1.②设数列{}的前n项和为Sn，由①知则Sn=两式相减得：所以Sn=2-【方法技巧】数列求和的常用方法(1)公式法.(2)分组求和法.(3)倒序求和法.(4)错位相减法.(5)裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(6)并项求和法.一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.【变式训练】已知函数f(x)=2x-3x-1，点(n，an)在f(x)的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.【解析】由题得an=2n-3n-1，Sn=a1+a2+…+an=(2+22+…+2n)-3(1+2+3+…+n)-n【补偿训练】设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13.(1)求{an}，{bn}的通项公式.(2)求数列{}的前n项和Sn.【解析】(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q>0且解得所以an=1+×2=2n-1，bn=1×2n-1=2n-1.(2)②-①，得Sn=类型四函数思想在数列中的应用【典例4】(1)(2015·益阳高二检测)已知an=（n∈N*），则在数列的前50项中最小项和最大项分别是(

)A.a1，a50B.a1，a8C.a8，a9D.a9，a50(2)已知数列{an}满足a1=0，an+1=(n∈N*)，则a2015=__________.【解析】(1)选C.an==1+，因为>0，所以y=1+在(-∞，)上是减函数，在(+∞)上为减函数，又8<<9，所以1>a1>a2>…>a8，1<a50<a49<…<a9，所以在数列的前50项中最小项和最大项分别是a8，a9.(2)由已知条件可推得a2=-，a3=，a4=0，a5=-，故可知数列{an}的周期为3，所以a2015=a2=-.答案：-【方法技巧】1.函数思想在数列中的应用(1)数列本身就是一种函数，这种函数的定义域是N*(或其子集)，从而表现在图象上就是孤立的点.(2)数列具有单调性，如等差数列(除去公差为0的情况)，等比数列(如a1>0，q>1).(3)数列具有周期性，如数列2.研究数列问题的策略可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，或解不等式问题.【变式训练】数列{-2n2+29n+3}中最大项是(

)A.107B.108

C.108

D.109【解析】选B.设an=-2n2+29n+3，则an=-2n2+29n+3=因为且n∈N*，所以当n=7时，an最大，最大值为a7=108.【补偿训练】已知数列2008，2009，1，-2008，-2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项之和S2016等于__________.【解析】由题意得，an+1+an-1=an(n≥2)，an+an+2=an+1，两式相加得an+2=-an-1，所以an+3=-an，所以an+6=an，即{an}是以6为周期的数列.因为2016=336×6，a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，所以S2016=a1+a2+…+a2016=336×0=0.答案：0类型五方程思想在数列中的应用【典例5】(1)记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3=12，且a22=2a1(a3+1)，则Sn=__________.(2)(2015·海口高二检测)已知等比数列中，a1+a3=10，a4+a6=，求其第4项及前5项和.【解析】(1)设数列{an}的公差为d，依题意有即解得或因此Sn=n(3n-1)=或Sn=2n(5-n)=10n-2n2.答案：或10n-2n2(2)设公比为q，由已知得即②÷①得q3=，即q=，将q=代入①得a1=8，所以a4=a1q3=8×()3=1，所以S5=【方法技巧】方程思想在数列中的应用在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的几个，求另外几个时，往往是设出基本量，建立方程或方程组来解决问题.但需注意数列看作函数时的定义域与一般函数定义域的区别.【变式训练】等比数列中，那么公比q=__________.【解析】因为等比数列{an}中，a3=，前3项之和S3=所以a1+a2==3，所以整理可得2q2-q-1=0，即(2q+1)(q-1)=0，解得q=1或q=-.答案：1或-【误区警示】解答本题容易出现直接套用公式Sn=，导致漏掉q=1的情况.【补偿训练】已知等比数列{an}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{an}的前8项和为(

)A.127B.255

C.511

D.1023【解析】选B.因为2a4，a6，48成等差数列，所以2a6=2a4+48，所以2a1q5=2a1q3+48，又因为q=2，所以a1=1，所以S8==255.类型六分类讨论思想在数列中的应用【典例6】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n=1，2，…).(1)求q的取值范围.(2)设bn=an+2-an+1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小.【解析】(1)因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1=S1>0，q≠0.当q=1时，Sn=na1>0；当q≠1时，Sn=>0，所以>0.所以或所以-1<q<0或0<q<1或q>1.综上所述，q>-1且q≠0.(2)由bn=an+2-an+1得bn=所以Tn=Sn，所以Tn-Sn=所以当-1<q<-或q>2时，Tn>Sn；当-<q<2且q≠0时，Tn<