第2章 冲击波导论

2.1

波的基本概念1、波（Wave）波通常可以分为两大类：一类是电磁波，另一类是机械力学波。当介质（Medium）受到外界作用（如振动、冲击等）时，介质的局部状态参量就会发生变化，这就是扰动（Disturbance）。

波就是扰动的传播。第2章冲击波导论2.1

波的基本概念如果活塞突然向右移动，便有波向右传播。在扰动传播过程中，扰动介质与未扰动介质之间存在一个界面，这个界面就叫波阵面(Wavefront)。扰动在介质中的传播速度叫做波速(Wavevelocity)。（要与介质的质点速度区分）第2章冲击波导论2.1

波的基本概念如果扰动前后介质的状态参数变化量与原来的参数量相比是很微小的，则称这种扰动为弱扰动（Weakdisturbance）或小扰动。弱扰动的特点是各种参数的变化量是微小的、逐渐的和连续的。如果扰动前后介质的状态参数发生突跃变化，则称这种扰动为强扰动（Strongdisturbance）。第2章冲击波导论2.1

波的基本概念2、声波（soundwave）声波是一种弱扰动波。弱扰动在介质中的传播速度就叫声速。它是气体动力学中一个非常重要的参数。下面以活塞在直管中移动所引起的气体扰动的传播来建立声速c与其它参数的关系式。如图所示。第2章冲击波导论……(1)式中x为t1时刻扰动传播的距离，x=ct1

x1为时刻活塞运动的距离，x1=ut1

A0为活塞的截面积。代入（1）式可得：

消去t1后可得：……（2）

2.1

波的基本概念

质量守恒（ConservationofMass）：第2章冲击波导论2.1

波的基本概念动量守恒（ConservationofMomentum）：气体受到扰动后的动量等于作用在其上面的冲量。

化简后得：……(3)

（2）式代入（3）式得：

……(4)由（2）式可得：

……(5)第2章冲击波导论2.1

波的基本概念把（5）式代入（4）式得：

……(6)由于声波为弱扰动波，波阵面过后介质状态变化为一微小量，故有，因此，（6）式变为：

……(7)看作等熵过程：……(8)第2章冲击波导论2.1

波的基本概念对于理想（多方）气体，其等熵方程为：

……(9)

则……(10)

所以理想气体的声速为：

……(11)又由可得：

……(12)第2章冲击波导论2.1

波的基本概念对于地表面上的空气，可近似地视为理想气体，将

，代入上式可得：

……(13)

将代入（13）式可得340m/s。第2章冲击波导论2.1

波的基本概念需要指出的是，只有对于小扰动，才成立，扰动才以声速传播。对于的扰动，其传播速度大于声速，扰动越强，传播速度将越高。

第2章冲击波导论2.1

波的基本概念3、压缩波和稀疏波

压缩波（CompressionWave）：扰动传过后，介质的压力、密度、温度等状态参数增加的波称为压缩波。其特点是波传播的方向与介质质点运动方向相同。稀疏波（RarefactionWave）：扰动传过后，介质的压力、密度、温度等状态参数下降的波称为稀疏波，其特点是波传播的方向与介质质点运动方向相反。第2章冲击波导论2.1

波的基本概念在一个连续的，缓慢的压缩过程中，每一小步的压缩都是一种等熵变化，但由于每经一步压缩后气体的温度都要上升，气体的声速必将上升，这样下一步的压缩波的波速逐渐增加，一旦集中起来，状态参数的变化将不再连续，就会发生突跃，弱扰动变成强扰动。

第2章冲击波导论2.1

波的基本概念由于稀疏波的膨胀飞散是按顺序连续进行的，所以稀疏波传播中介质的状态变化是连续的，如图2－4中的压力变化。图2－4稀疏波现象

第2章冲击波导论2.1

波的基本概念在稀疏波扰动过的区域中，任意两相邻端面的参数都只差一个无穷小量，因此稀疏波的传播过程属于等熵过程，它的波速等于介质当地的声速或音速（Localsoundspeed）。第2章冲击波导论2.2气体的平面一维流动

所谓一维流动，是指在某一空间坐标x等于常数的平面上流体参数都是均匀分布的，并且在给定坐标x处的流体参数都只与时间t变化相关的流动。平面一维流动规律的求解目标是确定一维流场中介质参数随时间t和空间x的变化规律，如p=p(x,t)，T=T(x,t)，u=u(x,t)，ρ=ρ(x,t)。一维流动又可分为一维定常流动和一维不定常流动。第2章冲击波导论2.2.1气体一维流动的基本方程组气体在平面一维流动下，满足质量守恒、动量守恒和能量守恒，其对应的方程分别叫质量方程（连续方程）、动量方程（欧拉方程）、能量方程。1、连续方程（质量方程）

……(1)该式为一维不定常流动的连续方程。2、欧拉方程（动量方程）

……(2)第2章冲击波导论2.2.1气体一维流动的基本方程组3、能量方程在不考虑气体的粘性和热传导的情况下，气体的流动是等熵的。

……(3)4、状态方程由于S可表示为p和的函数，故等熵流动条件可表示为：对于理想气体，其等熵方程为：……(4)

这样，便可由连续方程、欧拉方程、能量方程和状态方程求解气体一维等熵流动的四个未知量。第2章冲击波导论2.2.2以u、c为求解参量的方程组为使前面建立起来的气体一维等熵流动的方程组的物理意义更容易理解，将它们稍加变换。引入声速c代替p和。由声速公式及等熵方程可得：

……(5)

将（5）式两边微分并同时除以，得

……(6)

第2章冲击波导论2.2.2以u、c为求解参量的方程组

由（5）式知，

……(7)

把（6）式代入（7）式，可得：

……(8)第2章冲击波导论2.2.2以u、c为求解参量的方程组

将（6）式代入连续方程（1）式，可得

……(9)

将（8）式代入欧拉方程（2）式，可得

……(10)

第2章冲击波导论2.2.2以u、c为求解参量的方程组

将（9）、（10）两式相加和相减，整理可得

……(11)

这个方程组即是以u、c为变量描述气体一维等熵不定常流动规律的方程组。确定气体一维等熵流动过程中气体各参数时的时间、空间变化规律，归结为解此偏微分方程组。第2章冲击波导论2.2.2以u、c为求解参量的方程组小扰动波在静止介质中是以音速进行传播的，在一维情况下，静止气体中小扰动波的传播速度为c。在流动介质中，小扰动波的传播速度为介质流动速度u与当地音速c的叠加，即。顺介质流动方向传播的扰动取正号，逆介质流动方向传播的扰动取负号。第2章冲击波导论2.2.2以u、c为求解参量的方程组在条件下，（11）式可表示为对t的全导数形式，并且该导数为零，即

……(12)即

……(13)

第2章冲击波导论2.2.2以u、c为求解参量的方程组

由此可以看出，方程（11）在条件下描述的是两个量的推进规律:即由所确定的状态（或扰动）以速度顺气体流动方向（即x轴的正方向）传播；而由所确定的状态（或扰动）以速度逆气体流动方向传播。

第2章冲击波导论2.2.3方程组的特征线及一般解第2章冲击波导论2.2.3方程组的特征线及一般解

dx/dt=u+c和dx/dt=u-c分别代表一维等熵流动介质中扰动沿x轴的正向和反向传播的速度，我们称它们为（11）式的特征或特征方程。它们的积分各自代表x－t平面上的一簇曲线，叫做特征线。其中在x－t平面上由dx/dt=u+c所确定的特征线称为第一簇特征线，用C＋表示；而由dx/dt=u-c所确定的特征线称为第二簇特征线，用C－表示。第2章冲击波导论2.2.3方程组的特征线及一般解这两簇特征线分别描述的是物理状态量，即扰动波以速度沿x轴的正向或负向传播的轨迹。因此，对于一维等熵不定常流动方程组（11）式，有沿着C＋特征线

……(14)第2章冲击波导论2.2.3方程组的特征线及一般解沿着C－特征线

……(15)式中，I+,I-称为黎曼（Riemann）不变量。它们在u，c平面上可用两簇相互平行的直线来描述，称为方程组（11）在速度平面上的特征线。它们在沿着各自的特征线（C＋和C－）传播时保持不变。如图2－5所示。第2章冲击波导论2.2.3方程组的特征线及一般解图2－5特征线第2章冲击波导论2.2.3方程组的特征线及一般解方程（14）和（15）为方程组（11）的一般解。在k≠3的最普通的情况下，由于(u+c)和(u-c)都是x和t的函数，即右传波的传播速度受反方向波的影响，因此（14）式和（15）式无法得到精确的解析解。一般采用数值积分法或特征线法近似求解。第2章冲击波导论2.2.3方程组的特征线及一般解在x-t平面上,假设曲线AB上的各点状态参数已知。C＋和C－分别表示AB线上各点发出的不同簇的特征线，求解流场D内各点的状态参数。

图2－6特征线法解流场参数

第2章冲击波导论2.2.3方程组的特征线及一般解【解】近似认为，，并近似把x-t平面上特征线的一小段视为直线。在曲线AB上选取一系列的点M1，M2，Mi等。由于ui和ci已知，过Mi点作特征线C－，其特征方程为：第2章冲击波导论2.2.3方程组的特征线及一般解

而过Mi+1点作特征线C＋，其特征方程为：其中x和t为C＋和C－相交点Mi’空间坐标和时间，u和c为该相交点Mi’的状态参量。同样可以求出A’B’上各点的参量，依次可求出任意位置点的状态参量。第2章冲击波导论2.2.4方程组的特殊解——简单波流动第2章冲击波导论2.2.4方程组的特殊解——简单波流动

前面讨论的（14）和（15）式是方程组（11）式的通解，流场中可同时存在左传波和右传波。如果流场中只有一个方向传播的扰动波，即波未进入的区域介质处于静止状态或稳定流动状态，这种波就称为简单波，其解称之为方程组的特殊解。

简单波：它的某一族特征线上的黎曼不变量是同一个常数，即该族各条特征线上的黎曼不变量彼此相等。第2章冲击波导论2.2.4方程组的特殊解——简单波流动

当给定如下条件，即

……(16)

对（16）式分别对t和x求偏导，得将这两式代入（11）式可得

……(17)第2章冲击波导论2.2.4方程组的特殊解——简单波流动该式表明，沿特征线dx/dt=u+c，有du/dt=0。即u＝常数。由（16）式知，c亦为常数。因此dx/dt=u+c就可以积分了。因此

……(18)第2章冲击波导论2.2.4方程组的特殊解——简单波流动

同理，当时，有

……(19)

式中，是u的任意函数，由边界条件确定。由（18）和（19）式即可确定简单波的向前波（右传波）和向后波（左传波）流动区内任一点的参数u和c。第2章冲击波导论2.2.4方程组的特殊解——简单波流动为了阐明简单波的性质，我们来考察下面两种情况。（1）活塞向左加速运动，如图所示。

图2-7右传系数波

第2章冲击波导论2.2.4方程组的特殊解——简单波流动当活塞向左加速拉动时，便形成一系列的简单稀疏波向右传播，并以当地声速传播，因此，活塞向左拉动时发出的第一道稀疏波是以静止气体当地的音速u0+c0=c0的速度向右传播的，特征线如图2-7所示。该特征线的右边为静止气体区域，故该区域内的特征线也都是平行的。活塞向左加速拉动而发出的各个后续右传稀疏波，是在扰动过的气体中传播的，因此第n道波的传播速度（un+cn）总是比其前面的的（n-1）道波的传播速度（un－1+cn－1）要慢。因此后面的各道波的特征线C＋是发散的。第2章冲击波导论2.2.4方程组的特殊解——简单波流动（2）活塞向右渐渐加速运动，如图2-8所示。图2-8压缩波随t的变化

第2章冲击波导论2.3平面正冲击波第2章冲击波导论2.3平面正冲击波冲击波（Shockwave），又称激波，是一种强烈的压缩波，其波阵面通过的前后参数变化很大，它是一种状态突跃变化的传播。冲击波阵面（Shockfront）实际上有一定的厚度，其厚度约为几个分子平均自由程，在这个厚度上各物理量发生迅速的、但却是连续的变化，这是由于物质具有粘性和热传导的原因。但在工程计算上可以不考虑粘性和热传导等耗散效应，而将冲击波视为一个没有厚度的间断面。因此，可以说冲击波阵面是一种强间断面。第2章冲击波导论2.3.1基本关系式第2章冲击波导论2.3.1基本关系式

设有一冲击波以恒定的速度向右传播，如图2-9所示。图2-9平面正冲击波阵面

第2章冲击波导论2.3.1基本关系式波的右边，尚未扰动的介质，参数为：。波的左边，扰动的介质，参数为：。为方便起见，把坐标系建立在波阵面上。则未扰动的介质以D-u0的速度向左流入冲击波阵面，扰动的介质以D-u的速度从波阵面流出。1、质量守恒（ConservationofMass）

：单位时间内流入波阵面的质量等于流出的质量。即：……(1a)

将，上式变为：……(1b)第2章冲击波导论2.3.1基本关系式

2、动量守恒（ConservationofMomentum）：单位时间内作用介质上的冲量等于其动量的改变。冲量：动量变化：因此……(2a)

即……(2b)

第2章冲击波导论2.3.1基本关系式（3）能量守恒（ConservationofEnergy）：冲击波传播视为绝热过程，忽略介质的粘性和热传导效应等能量耗散。单位时间内从波阵面右侧流入的能量包括有：1）内能2）介质压力和流入的介质体积所确定的压力位能3）介质流动的动能第2章冲击波导论2.3.1基本关系式同理，从波阵面流出的能量为：1）内能2）介质压力和流入的介质体积3）介质流动的动能第2章冲击波导论2.3.1基本关系式因此＋＋＝＋＋整理后可得：

……(3)以上三个式子(1)、（2）和（3）即为冲击波的基本关系式。第2章冲击波导论2.3.1基本关系式为便于使用，将（1）、（2）、（3）式进行变换。将（1a）、（2a）式联立消去（D-u0)可得

……(4)将（4）式代入（1b）式，可得

……(5)(5）式即为冲击波波速方程（Rayleigh，瑞利）方程。第2章冲击波导论2.3.1基本关系式把（2）式变为：

……(6)把（6）式代入（3）式可得：

……(7)把（4）式代入（7）式可得：

……(8)（8）式就是著名的雨贡纽（Hugoniot）方程，又称冲击绝热方程。该方程适用于任何介质中传播的冲击波。第2章冲击波导论2.3.1基本关系式其中，（4）、（5）和（8）式为冲击波的三个基本关系式。对于某一具体介质中传播的冲击波，需与该介质的状态方程联系起来，或以便求解冲击波阵面上的参数。这样，四个方程就有了五个参数：第2章冲击波导论2.3.2多方气体中的平面正冲击波第2章冲击波导论2.3.2多方气体中的平面正冲击波对于多方气体，其内能可表示为：

……(9)

其中：——定容比热容；——气体的多方指数（假定不变）。把（9）式代入Hugoniot方程，可得：

……(10)第2章冲击波导论2.3.2多方气体中的平面正冲击波

整理可得：

……(11)

……(12)

（12）式和（4）式、（5）式联立，并结合，可得：

……(13)第2章冲击波导论2.3.2多方气体中的平面正冲击波如果未受扰动气体静止时

……(14)

第2章冲击波导论2.3.2多方气体中的平面正冲击波因此，只要已知任意一个参数就可以就算其余参数。对于强冲击波，，

……(15)第2章冲击波导论2.3.2多方气体中的平面正冲击波对于强冲击波，波阵面上的质点速度与冲击波速度成正比；压力与冲击波速度的平方成正比；对于k=1.4，波阵面上的密度最大可达初始密度ρ0的6倍。若引入马赫数（Machnumber）

……(16)

则（13）式可写成

……(17)第2章冲击波导论2.3.2多方气体中的平面正冲击波

测得空气中爆炸产生的冲击波的D＝1000m/s，计算其参数，初始状态，，，，。作业：第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线

1、波速线（Rayleigh线，瑞利线）冲击波波速方程：

……(1)

设冲击波波前介质是静止的，即则（1）式可变为：

或……(2)第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线显然，在坐标平面内，当D一定时，（2）式代表一条通过初态O点的直线。不同的D对应不同的斜率，这些斜线称之为波速线或Rayleigh线（瑞利线），如图2－10所示。图2－10冲击波的波速线

第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线波速线的物理意义：当一定时，冲击波通过任何介质后，波后状态都对应于此条线上的某一确定点。因此，通过点的某一波速线乃是一定波速的冲击波传过具有同一初始状态点的不同介质所达到的终点状态的连线。

第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线2、Hugoniot曲线（冲击绝热线）

冲击波的冲击绝热方程：

……(3)第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线在坐标平面上可以用一条以介质初态为始发点的曲线来描述。如图2－11（a）中的曲线。该曲线称之为冲击绝热线或Hugoniot曲线。（a）（b）图2－11冲击波的冲击绝热线

第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线对于多方气体，则有：

当时，……(4)即Hugoniot曲线的渐近线是

第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线Hugoniot曲线是一条通过初始点的曲线，对某一确定的介质而言，不同的对应不同的曲线。当介质性质和波前状态一定时，H线是确定的，若冲击波速度不同，则波后状态必然处在H线的不同位置上，如图2－11（a）所示。第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线当具有相同波速的冲击波在具有同一初始状态的不同介质中传过后，由于不同介质的H线不同，因此所达到的波后状态将对应于R线上的不同点，如图2－12所示。

图2－12第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线因此可以看出，冲击波的H线是不同波速的冲击波在具有同一初始状态的相同介质中传过后所达到的终态点的连线。（物理意义）波速线是一定波速的冲击波传过具有同一初始状态的不同介质所达到的终态点的连线。（物理意义）这两条线上的任一点都是和一定的波后状态对应的，它们都不是冲击压缩的过程线，不能认为冲击压缩过程是沿着这两条线中的任一条进行的。第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线

3、等熵线（Isentropiccurve）前面讲到，一切弱扰动波都以当地声速进行传播的，并且传播过程是等熵的。对于理想气体，等熵条件下的状态变化遵循等熵方程所确定的规律，即第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线等熵线就是由等熵方程确定的曲线，它表示进行等熵压缩或等熵膨胀过程时介质状态变化所走过的路径。因此，等熵线是状态变化的过程线。图2－13是由初始状态发生等熵压缩和等熵膨胀过程时的状态变化路径。

图2－13等熵线

第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线

4、H线和S线的关系（1）Hugoniot曲线不是状态变化的曲线，而等熵线是一系列微弱扰动波传过后介质状态变化所经历的过程线或路径。（2）为阐明冲击Hugoniot曲线和等熵线之间的关系，我们以多方气体为例，假若将该气体从状态压缩到同样的压缩程度，分别按冲击绝热压缩和等熵压缩进行计算所得的数值列于下表：第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线

表2－1气体冲击绝热压缩与等熵压缩参数的比较压缩程度1.00.80.60.40.31/6冲击压缩1.01.3682.084.07.125等熵压缩1.01.3662.0443.616.3112.3第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线把表中的数据画在p-v平面上，就可知过初始点的等熵线位于过该点的冲击Hugoniot曲线的坐下方，且在O点相切，如图2－14所示。图2－14Hugoniot曲线和等熵线的关系

第2章冲击波导论2.4冲击波的波速线、Hugoniot曲线和等熵线

（3）Hugoniot曲线上各状态点都在等熵线的上方，因此Hugoniot曲线上的各状态点的熵都大于S0，即冲击波阵面传过后介质的熵是增加的。并且沿Hugoniot曲线，熵随介质的压力增大而增大。

第2章冲击波导论2.5冲击波的基本性质第2章冲击波导论2.5冲击波的基本性质1.冲击波阵面是一个间断面；2.冲击波是压缩波，不可能是稀疏波；3.冲击波传过后，介质的熵是增加的；4.冲击波相对波前介质是超音速的，即第2章冲击波导论2.5冲击波的基本性质这个结论可由证明也可用Hugoniot曲线和等熵线之间的关系证明，如图2－15所示：图2－15

第2章冲击波导论2.5冲击波的基本性质【证明】：设冲击波的波速为D，介质初始状态为由波速方程知即……(1)第2章冲击波导论2.5冲击波的基本性质由声速公式知

……(2)即由图2－15中Hugoniot曲线和等熵线的关系知，第2章冲击波导论2.5冲击波的基本性质即因此。证毕。第2章冲击波导论2.5冲击波的基本性质5.冲击波传过后介质获得了一个与波传播方向相同的移动速度，即这个结论可由

得以证明。第2章冲击波导论2.5冲击波的基本性质6.冲击波相对波后介质是亚音速的，即【证明】：对Hugoniot方程两边微分得：

……(1)

由热力学定律知：

……(2)第2章冲击波导论2.5冲击波的基本性质

将（2）式代入（1）式得：

……(3)第2章冲击波导论2.5冲击波的基本性质而声速c按定义可表示为：

……(4)且……(5)把（4）式和（5）式代入（3）式可得：

……(6)第2章冲击波导论2.5冲击波的基本性质由于冲击波沿Hugoniot曲线，熵随介质的压力增大而增大，因此有因此：即证毕。第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射当冲击波在传播过程中遇到障碍物时，会发生发射现象。当入射波传播方向恰好垂直于障碍物的表面时，发射的反射现象称为正反射现象。下面讨论多方气体中传播的平面冲击波在刚性壁面上的正反射现象。第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射设有一稳定传播的平面冲击波以D1的速度向刚体壁面垂直入射。如图2－16（a）所示。图2－16冲击波在刚壁面上的正反射

第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射入射波阵面前的状态：入射波阵面后的状态：反射波阵面前的状态：反射波阵面前的状态：第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射反射前冲击波阵面前后的参数间关系为：

……(1)……(2)……(3)第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射当入射波阵面碰到刚壁面时，由于刚壁面不变形，则波阵面后气体流的速度立即由u1变为零。就在这一瞬间，速度为u1的气体介质的动能便立即转化为静压势能，从而使壁面处的气体压密，密度由突增为，压力由p1突跃为p2，比内能由e1突跃为e2。由于p2>p1，ρ2>ρ1，受到第二次冲击压缩的气体必然反过来冲击压缩已被入射波压缩过的气体，这样就形成反射冲击波远离刚体壁面向左传播，如图2－16（b）所示。第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射由于反射冲击波在已受入射冲击波压缩过的气体介质中传播，故传过后介质的参数间的关系可表示为：

……(4)……(5)……(6)

第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射假设，而且由刚壁条件知，所以由（2）式和（5）式可得：

……(7)

两边平方后整理可得：

……(8)

第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射将（3）和（6）式代入（8）式可得：

……(9)此即反射冲击波阵面压力与入射冲击波阵面压力之间的关系。式（9）也可写成压差的表达形式，即：（9’）

第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射当入射冲击波压力很高时，p1>>p0

，可忽略p0，则（9）、（9’）可变为：（10）对于空气中的强冲击波来说，如将k值代入，则有：当入射冲击波很弱时，由式（9’）可得：第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射将（9）式代入（6）式可得：

……(11)对于强冲击波，忽略P0，则式（11）为：（12）当强冲击波在固壁反射后，也就是介质经过入射和反射冲击波的两次压缩后，固壁面附近的介质被压缩的最大倍数可由式（6）和式（12）求出，即（13）第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射对于空气中的强冲击波反射，有在u0=u2=0的情况下，入射冲击波和反射冲击波的动量守恒方程可写为：两式相除，可得：

(14)第2章冲击波导论2.6冲击波的正反射把式（3）、（6）、（9）、（9’）代入式（14）整理可得：