第八章-第八节-曲线与方程概要

第八章--第八节--曲线与方程概要第一页，共42页。第一页第二页，共42页。[理要点]一、曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做

；这条曲线叫做

．曲线的方程方程的曲线第二页第三页，共42页。二、求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式

等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．第三页第四页，共42页。三、曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组

，则两曲线无交点．无解第四页第五页，共42页。[究疑点]若曲线与方程的对应关系中只满足(2)条会怎样？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程．第五页第六页，共42页。第六页第七页，共42页。[题组自测]1．设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1表示的曲线是 (

)A．长轴在y轴上的椭圆B．长轴在x轴上的椭圆C．实轴在y轴上的双曲线D．实轴在x轴上的双曲线第七页第八页，共42页。答案：C第八页第九页，共42页。第九页第十页，共42页。答案：A第十页第十一页，共42页。答案：半径为2的圆第十一页第十二页，共42页。第十二页第十三页，共42页。第十三页第十四页，共42页。第十四页第十五页，共42页。第十五页第十六页，共42页。[归纳领悟]1．直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法．圆锥曲线的标准方程都是由直接法求得的．当轨迹易于列出动点(x，y)满足的方程时可用此法．2．求动点轨迹时应注意它的完备性．化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围).第十六页第十七页，共42页。[题组自测]1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是 (

)A．双曲线B．双曲线的一支

C．两条射线

D．一条射线解析：∵|PM|－|PN|＝2，而|MN|＝2，∴P点在线段MN的延长线上．答案：D第十七页第十八页，共42页。第十八页第十九页，共42页。答案：D第十九页第二十页，共42页。3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．解析：设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．第二十页第二十一页，共42页。[归纳领悟]1．运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．2．定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．第二十一页第二十二页，共42页。[题组自测]1．已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为 (

)A．y2＝2(x－1)

B．y2＝4(x－1)C．y2＝x－1 D．y2＝(x－1)第二十二页第二十三页，共42页。第二十三页第二十四页，共42页。2．由抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R，求点R的轨迹方程．第二十四页第二十五页，共42页。第二十五页第二十六页，共42页。第二十六页第二十七页，共42页。第二十七页第二十八页，共42页。第二十八页第二十九页，共42页。第二十九页第三十页，共42页。第三十页第三十一页，共42页。[归纳领悟]用代入法求轨迹方程的关系是寻求关系式x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲线，而求对称曲线(轴对称，中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题．

第三十一页第三十二页，共42页。第三十二页第三十三页，共42页。一、把脉考情从高考试题来看，求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一，是高考中的一个热点题型，一般与平面向量相结合，多考查直接法与定义法．从形式上看多为解答题，难度中等，注重逻辑思维能力，运算能力的考查，预测2012年仍以直接法、定义法为主进行考查．第三十三页第三十四页，共42页。二、考题诊断1．(2010·重庆高考)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 (

)A．直线B．椭圆C．抛物线

D．双曲线第三十四页第三十五页，共42页。解析：在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与D1C1是异面垂直的两条直线，过直线AD与D1C1平行的平面是面ABCD，设在平面ABCD内动点M(x，y)满足到直线AD与D1C1的距离相等，作MM1⊥AD于M1，MN⊥CD于N，NP⊥D1C1于P，连结MP，易知MN⊥平面CDD1C1，MP⊥D1C1，第三十五页第三十六页，共42页。则有MM1＝MP，|y|2＝x2＋a2(其中a是异面直线AD与D1C1间的距离)，即有y2－x2＝a2，因此动点M的轨迹是双曲线．答案：D第三十六页第三十七页，共42页。2．(2010·上海高考)若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x

＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为_______