高考数学一轮复习第一章《集合与常用逻辑用语不等式》第3节等式性质与不等式性质

第三节等式性质与不等式性质课标要求1.掌握等式的性质.2.会比较两个数（式）的大小.3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.必备知识·整合〔知识梳理〕关系方法作差法作商法a>ba−b>0ab＞1(a,b>0)或aa=ba−b=0aba<ba−b＜0ab<1(a,b>0)或性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a；a<b⇔b>a可逆传递性a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c同向可加性a>b⇔a+c>b+c可逆可乘性a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bcc的符号同向可加性a>b，c>d⇒a+c>b+d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向，同正可乘方性a>b>0，n∈N同正可开方性a>b>0，n∈N，n≥2⇒同正知识拓展（1）a＞b,ab＞0⇒1（2）a＜0＜b⇒1（3）a＞b＞0,0＜c＜d⇒a（4）0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1若a＞b＞0，m＞0，则：（1）ba＜b+m（2）ab＞a+m〔课前自测〕1.概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）.（1）两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关系中的一种.(√)（2）若a>b，则ac2>b（3）若ab>1，则a>b.(（4）a=b⇔ac=bc.(×)2.（新教材改编题）若a>b>0，c<d<0，则一定有(B)A.ad>bc B.ad<bc3.易错题多选题下列命题一定为真命题的有(BD)A.若a>b>0，则ac>bc B.若a<b<0，则a2C.若a>b>0，则1a2>1b2 D.若[解析]当c≤0时，ac>bc不成立，∴A是假命题；由a<b<0，得a2>b2>0，∴B是真命题；a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<1a2<1b2易错提醒本题易忽视字母符号而致误.4.[2023江苏南京模拟]设a，b均为非零实数且a<b，则下列结论中正确的是(D)A.1a>1b B.a2<b2[解析]取a=−1，b=1，则可以判断A，B，C错误；对于D，因为a<b，所以b3−a3=(b−a)⋅(5.（新教材改编题）已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−3b的取值范围是(7,12).关键能力·突破考点一比较两个数（式）的大小1.设A=x+1x+2，B=x+3x+4，则A与A.A<B B.A>BC.仅有x>0时，A<B D.以上结论都不成立[解析]A−B=x+1x+2−x+3x+4=−2(x+2)(x+4)，令A−B<0，得x<−4或x>−2，令A−B>0，得−4<x<−22.若a=ln33，b=ln4A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c[解析]解法一：易知a，b，c都是正数，ba=3ln44ln3=log8164<1，所以解法二：构造函数f(x)=lnxx，x∈(0,+∞)，则f'(x)=1−lnxx2，由f'(x)>0，得0<x<∴f(x)在(0,e)上单调递增，在(∵5>4>3>e∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.3.[2023广东中山月考]已知a=1816，b=1618，则a与[解析]ab=∵982∈(0,1)∵1816>0，∴1816<1618方法感悟比较大小的常用方法（1）作差法：①作差；②变形；③判断差与0的大小关系；④得出结论.（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.（3）构造函数法：利用函数的单调性比较大小.考点二不等式的性质例1[2022福建三明一中模拟]多选题已知1a<1A.ab>a−b B.ab<−a−b C.ba+ab>2[解析]由1a<1b<0，得b<a<0.当a=−当a=−2，b=−3时，B错误；根据基本不等式可知，C正确：由b<a<0，得b2>a2方法感悟判断不等式的常用方法（1）直接利用不等式的性质逐个验证，其中要特别注意前提条件.（2）利用特殊值法排除错误.1.[2023湖南长沙二模]设x，y都是实数，则“x>2且y>3”是“x+y>5且xy>6”的(A)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]当x>2且y>3时，必有x+y>5且xy>6；当x+y>5且xy>6时，如x=1,y=7不满足x>2，故不一定有x>2且y>3.所以“x>2且y>3”是“x+y>5且xy>6”的充分不必要条件.2.[2022福建厦门双十中学模拟]已知实数a，b，c满足a<b<c，且ac<0，则下列不等式一定成立的是(A)A.ac<bc B.logcC.ab2<cb2[解析]由题意得，a<0,c>0，b与0的大小关系不确定，故ac<bc一定成立；易知c−a>0,b−a>0，c−a>b−a，c与1的大小关系不确定,当c≠1时，函数y=logcx的单调性不确定，因此易知ab2<cb2不一定成立；由于c故ca<考点三不等式的性质的应用例2（1）多选题已知6<a<60，15<b<18，则(AC)A.ab∈(13,4) B.a+2b∈(21,78) C.a−b∈(−12,45)（2）[2022湖北省荆州中学三模]已知实数x，y满足−2≤x+2y≤3，−2≤2x−y≤0，则3x−4y的取值范围为[−7,2].[解析]设3x−4y=m(x+2y)+n(2x−y)，则m+2n=3，解得m=−1，所以3x−4y=−(x+2y)+2(2x−y)，因为−2≤x+2y≤3，−2≤2x−y≤0，所以−3≤−(x+2y)≤2，−4≤2(2x−y)≤0，所以−7≤3x−4y≤2.方法感悟利用不等式的性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：（1）必须严格运用不等式的性质；（2）在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.3.多选题已知实数x,y满足−1≤x+y≤3,4≤2x−y≤9，则(AC)A.1≤x≤4 B.−2≤y≤1 C.2≤4x+y≤15 D.134.[2023山东日照模拟]已知2<x<4，−3<y<−1，则xx−2y的取值范围是(BA.(110,14) B.(14,[解析]易得xx−2y=11−2yx，2<−2y<6，所以24<−2yx<分层突破训练基础达标练1.已知P=a2+3a+3,Q=a+1，则P与QA.P<Q B.P=Q C.P>Q D.不能确定[解析]∵P−Q=a2+3a+3−(a+1)=a22.[2022广东珠海调研]已知a，b∈R，满足ab<0，a+b>0，a>b，则(CA.1a<1b B.ba+ab>0[解析]因为ab<0，a>b，所以a>0，b<0，则1a>1b，A不正确；ba<0，ab<0，则ba+ab<0，B不正确；a+b>0，则a>−b>03.[2022湖北黄冈麻城模拟]若a，b都是实数，则“a−b>0”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]a−b>0⇒a>b⇒a>b≥0⇒a2>b4.[2022山东师大附中模拟]若a,b为非零实数，且满足a>b，则(C)A.1a<1b B.ba+ab>2[解析]取a=1,b=−1，则可以判定A，B错误；因为a>b，所以a−b>0，所以ea−b>1，C正确；当a<0时，lna,5.已知α∈(0,12)，β∈[0,12A.(0,56) B.(−16,56)[解析]因为α∈(0,12),所以0<2α<1，又β∈[0,12]，所以0≤β36.[2022广东省实验中学月考]已知0<a<1b，且M=11+a+11+b，N=A.M>N B.M<N C.M=N D.不能确定[解析]∵0<a<1b，∴1+a>0,1+b>0,1−ab>0，∴M−N=1−a1+a+7.[2022河北保定唐县第一中学期中]多选题有外表一样，质量不同的六个球，它们的质量分别是a，b，c，d，e，f，已知a+b+c=d+e+f，a+b+e>c+d+f，a+b+f<c+d+e，a+e<b，则下列判断正确的有(ABD)A.b>c>f B.b>e>f C.c>e>f D.b>e>c[解析]因为a+b+c=d+e+f，a+b+e>c+d+f，所以e−c>c−e，所以e>c，又因为a+b+c=d+e+f，a+b+f<c+d+e，所以c−f>f−c，所以c>f，所以e>c>f，所以C错误；又因为a+e<b，所以a<b，e<b，所以b>e>c，b>e>f，b>c>f均成立，所以A，B，D正确.8.已知函数f(x)=ax2−b,满足−4≤f(1)≤−1，−1≤f(2)≤5，则f(3)9.[2023山东济宁月考]已知−2<a<3,2<b<3，则ab的取值范围为(−1,[解析]因为2<b<3，所以13<1b<12，因为−2<a<3，所以当−2<a<0时，0<−a<2，所以0<−ab<1，所以−1<ab<0综上可得−1<ab<3210.[2022山东济南模拟]已知三个不等式：ab>0，bc−ad>0，ca−db>0（其中a，b，c[解析]若ab>0，bc−ad>0成立，则不等式bc−ad>0两边同除以ab可得ca−db>0，即ab>0，bc−ad>0⇒ca−db>0；若ab>0，ca−db>0成立，则不等式ca−db>0两边同乘ab，可得bc−ad>0，即ab>0，ca−能力强化练11.[2023山东日照二模]已知a>b>0，则下列判断正确的是(B)A.sina>sinb B.2a+1b>2[解析]取a=π，b=π2，则sina<sinb，A错；因为函数y=2x，y=−1x因为a>b>0，所以2a−1a>因为a>b>0，所以a2>b2>0取a=e，b=1e，则12.[2022广东梅州二模]多选题若1a>1A.a2(1+b)<ab(1+a) B.C.b−a<b−a[解析]因为1a>1b>0，所以0<a<b.a2(1+b)−ab(1+a)=a2+a2b−ab−a2b=a(a−b)<0，故A正确；若a=2，b=3，则a3+b3−2ab13.古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平称物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.试用一杆两边臂不等长的天平称某物体，若要称得10g该物体，先将5g的砝码放在左盘，将部分物体放于右盘使之平衡，然后将5gA.大于10g B.小于10g C.大于或等于10g [解析]由于天平的两臂长不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设a>b），先称得的物体的实际质量为m1g，后称得的物体的实际质量为m2g.由bm1=a×5，am2=b×5，得m1=5ab，m2=5b14.[2023广东江门模拟]设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b=a,a≤b,b,a>b,a⊕b=b,a≤b,a,a>b.若m⊗n≥2A.mn≥4