模块6 线性系统的近似计算方法《振动力学》教学课件

《振动力学》✩精品课件合集线性振动的近似计算方法振动力学

CAI—

在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题2018年10月12日《振动力学》3缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大—

本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法线性振动的近似计算方法自由振动作用力方程： MX

KX

0位移方程：

FMX

X

0D=FM系统动力矩阵：

DX

X

0作用力方程特征值问题：

Kφ

2

Mφ位移方程的特征值问题：

Dφ

φ2018年10月12日《振动力学》4线性振动的近似计算方法

/

邓克利法邓克利法由邓克利（Dunkerley）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的便于作为系统基频的计算公式X

RnF=K

-1Kφ

2

Mφ特征值：22 21 2n

n

1

2

2ii

1/

位移方程的最大特征根21 1

1/

对应第一阶固有频率位移方程的特征方程：D

I

011 n

1

nn

1

a )

0(

1)n(

n

a

a

0d12d

d11

d12 2111

d d )]

0

d22

)

(d11d22(

1)2[

2

(d线性振动的近似计算方法

/

邓克利法Dφ

φ

（D=FM）a1

(d11

d22

dnn

)

trD例如：2018年1201月12日《振动力学》2252018年10月12日《振动力学》511 n

1

nn

1

a )

0(

1)n(

n

a

a

a1

(d11

d22

dnn)

trD当

M

为对角阵时：特征方程又可写为：

(

1

)(

2

)

(

n)

0n可得：

a1

ii

1n n

i

ii i

f m物理意义：沿第

i

个坐标施加单位力时所产生的第

i

个坐标的位移2ii

1/

ii in

i

1

i

1

if mi

1 i

12n

1

线性振动的近似计算方法

/

邓克利法D=FMntrD

tr(FM)

fiimii

1n

trD

fiimii

1柔度系数，对角元

i特征根2018年10月12日6如果只保留第

i

个质量，所得单自由度系统的固有频率：n n

i

ii i

f mi ii iiim f mk 12

例如：两自由度系统1（1）只保留

m

时柔度矩阵：

11

1 1

1

1k2

k1

k11k

kF

11kf

111121mk

2（2）只保留

m

时12222k1 k kf

1

1

121222mk

k1m1k2m2m1k12m2k1kii i《振动力学》n

i

1

i

1

if mi

1 i

12n

1

线性振动的近似计算方法

/

邓克利法2018年10月12日7如果只保留第

i

个质量，所得单自由度系统的固有频率为：ii in n

i

f mi ii iiim f mk 12

22 2 2ni 1 2

n

i

1

1

1

1

1 当第二阶及以上固有频率远大于基频时：222 211 1 2 n

1

1 1

邓克利法利用单自由度固有频率近似求解多自由度系统基频的方法ii in

f mi

1 i

1

i

1 i i

1 2n

1

线性振动的近似计算方法

/

邓克利法《振动力学》22212 2ni

n

i

1

1

1

1

1 解释：2222 21 11n

1

1 1

a

b211

2 2221 1 13 n

a

222211 1 1n

b

b

a

121

因在邓克利法中忽略了a，因此所得结果为基频下限得到的基频是精确值的下限线性振动的近似计算方法

/

邓克利法2018年10月12日《振动力学》89例：三自由度系统

2

2

x3

0

2

x

0

20

x1

0

k

12

x

3

1

0

0

x

1

2

1m

0

1

0

x

3

0 0

0

2常规方法：

1

0.3730 k/

m

2

1.3213 k/

m

3

2.0286 k/

m邓克利法：k/

m2当

m1

单独存在时

2当

m 单独存在时k /

m1222

1 2k1k2121

1

kk

k

2k

3当

m 单独存在时k123 k1 k2 k3 2k1

1

1

1

55123k

2kk5m23

23222121

1

1

1

11

0.3535 k/

m邓克利法公式：2018年10月12日mm2m线性振动的近似计算方法

/

邓克利法《振动力学》10机械能守恒n

自由度保守系统：主振动

：MX

KX

0 X

RnX

φsin(

t

)动能与势能：2T

1X

T

MX

2V

1XT

KX最大值：max2T

1

2φTMφ

φT

KφV2max

1max2018年10月1m2日axT

V2φT

KφR(φ)

φT

Mφ瑞利商线性振动的近似计算方法

/

瑞利法瑞利法基于能量原理的一种近似方法可用于计算系统的基频 算出的近似值为实际基频的上限配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围《振动力学》2018年10月12日112φT

MφφT

Kφ瑞利商 R(φ)

2 i

φ(i

)T

Mφ(i

)φ(i

)T

Kφ(i

)(n)N N1 N 2 N

＋a

φ(1)

aφ(2)

aφT1 2 na

[a

,

a

,

,

a

]NNaT

ΦT

MΦ aaT

ΦT

KΦ a可以证明，和分别为瑞利商的极小值和极大值21

2n

221n

R(

)

线性振动的近似计算方法

/

瑞利法

n

j Nj

1

N aφ(j)

Φ a(2)(1)(n)NNNN,φ ,

,φΦ

[φaT

Ia]aT

ΛaR(

)

N N

jn nj ja2j

1 j

12 2a

φ

为真实振型：

R(φ(i

)

)

当φ

非真实振型，

展成

n

个正则振型的线性组合：真实固有频率非真实固有频率《振动力学》

nnN Na

j j

2jj

1

j

12 2a

R(

)

N N

aT

ΦT

MΦ a aT

IaaT

ΦT

KΦ a aT

Λa221n

R(

)

是最低阶固有频率

112 22 2nn

j 1

jj

1 j

1a

a

分析：

j

换为

1R(

)

21R(

)

确为第一阶振型时：由瑞利商公式知，当

φ(1)21因此，瑞利商的极小值为

同理可证明，瑞利商的极大值为2n

线性振动的近似计算方法

/

瑞利法2018年10月12日《振动力学》13

2018年10月12日《振动力学》14nnN Na

j j

2jj

1

j

12 2a

R(

)

N N

aT

ΦT

MΦ a aT

IaaT

ΦT

KΦ a aT

Λa221n

R(

)

如果 接近第

k

阶真实振型φ(

k

)比起

ak

，其它系数很小

j

1k2 2 2j k j2)

(

j

1R(

)

线性振动的近似计算方法

/

瑞利法aj

jak，

j

1,2,

,

n, j

k代入瑞利商，得：n14aj

jaknk2j2k

2jj

12)

(

R(

)

线性振动的近似计算方法

/

瑞利法解释：例如

k＝1aj

ja1，

j

2,

,n212 22 22 22 21 12 nn na2

a2

a

a

a

a

R(

)

n nj ja2jj

1 j

12 2a

R(

)

222 22 23 12 22 12 22 23 12 22 12 22 22 2212nn 1n 1n n

)

(

(

1

)

222018年10月12日《振动力学》2222222nn

(

)1 2 n

i i 1

i

2 1

(1

)

22222212nn

(

)

i i 1

i

2 1

ni

222221

i i 1

(

)

222 22 22 2212nn n

1

2 22 22 112 2 22 2 22 1 22 21 1a2n 1n 1 na

a

a

a

a

约去a1分子上加减1项

愈接近系统的真实振型，算出的固有频率愈准确2018年10月12日《振动力学》16nnNNa

j j

2jj

1

j

12 2a

R(

)

N N

aT

ΦT

MΦ a aT

IaaT

ΦT

KΦ a aT

Λa221n

R(

)

nkkj

12j22j2)

(

R(

)

为二阶小量(k

)因此，若 与φ2k的差异为一阶小量，则瑞利商与

的差别对于基频的特殊情况，令k＝1，则由于212j

0(j

2~

n)

瑞利商在基频处取极大值利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限线性振动的近似计算方法

/

瑞利法

愈接近系统的真实振型，算出的固有频率愈准确2018年10月12日《振动力学》17nnNNa

j j

2jj

1

j

12 2a

R(

)

N N

aT

ΦT

MΦ a aT

IaaT

ΦT

KΦ a aT

Λa221n

R(

)

解释：nk

j

12 2 2j k j2)

(

R(

)

212j

0 (j

2~

n)因为

利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限例如

k＝1

nj

2221 12j21)

(

R(

)

瑞利商：所以21R(

)

得证!线性振动的近似计算方法

/

瑞利法2018年10月12日《振动力学》例：三自由度系统

2

2

x3

0

2

x

0

20

x1

0

k

12

x

3

1

0

0

x

1

2

1m

0

1

0

x

3

0 0

0

2邓克利法，基频：

1

0.3535在2m上施加力所产生的“静变形曲线”作为近似第一阶主振型：

[1, 2, 2.5]T

M

T

TK

R(

)

瑞利商公式：mR(

)

0.142857

kkm1

0.3780与精确值相比，相对误差1.34%17mm2m线性振动的近似计算方法

/

瑞利法常规方法：

1

0.3730 k/

m

2

1.3213 k/

mk/

m

3

2.0286 k/

m2018年10月12日18线性振动的近似计算方法

/

里兹法里茨法里兹法是瑞利法的改进用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶频率和振型瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限—

里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降《振动力学》2018年10月12日里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单个假设振型改进为若干个独立的假设振型的线性组合：(

r

)1 2 r

a

η(1)

aη(

2)

a

ηr

1T1 2 rA

[a

, a

,

, a

]

R元素待定瑞利商：φT

KφR(φ)

φT

Mφ19K

ΠTKΠ

Rr

rM

ΠTMΠ

Rr

r

0, (j

1,2

r)

aj由于R(

) 在系统中的真实主振型处取驻值，所以

A

的各个元素应当从下式确定：

R线性振动的近似计算方法

/

里兹法ATΠTKΠ

AR(

)

R(ΠA)

A Π MΠ

A

A

MA《振动力学》T T TAT

KA

2假设振型η(i)

Rn

1

r

jj

1Π

[η(1)

, η(2)

,

, η(

r

)

]

Rn

r(j

)a

η

ΠA

R

0, (

j

1,2,

,

r)

aj瑞利商：

2

AT

MAAT

KA

ATΠTMΠ

AATΠTKΠ

AR(

)

R(ΠA)

代入：(

j

1,2,

,

r)

aj

aj(

AT

KA)

2

(ATMA)

0,jjjjj

a

a

a

a

A)TKA

2e

T

KA, (

j

1,2,

,

r)(ATKA)

(

A)TKA

AT

K

(

A)

2(

e

j

：

r

阶单位矩阵的第

j

列

A

Tr

个方程合成为： (

A KA)

2KA

A ：将函数分别对

A

各个元素依次求偏导，排成列向量φT

Kφ线性振动的近似计算方法

/

里兹法R(φ)

φT

Mφ2018年10月12日《振动力学》20

R

0, (

j

1,2,

,

r)

aj瑞利商：

2

AT

MAAT

KA

ATΠTMΠ

AATΠTKΠ

AR(

)

R(ΠA)

(

j

1,2,

,

r)

aj

aj

(ATMA)

0,(

AT

KA)

2同理，有：

A

(ATKA)

2KA

A

(ATMA)

2MA

(

AT

KA)

2

(ATMA)

0

A

A线性振动的近似计算方法

/

里兹法(K

2

M

)

A

02018年10月12日《振动力学》22(K

2

M

)

A

0由于K、M 阶数

r

一般远小于系统自由度数

n，上式矩阵特征值问题比原系统的矩阵特征值问题解起来容易得多里兹法是一种缩减系统自由度求解固有振动的近似方法K、M ：自由度缩减为

r

的新系统的刚度矩阵和质量矩阵2 2 21 2 r

，

,

,

A(1)

,

A(2)

,

,

A(r

)r

个特征根r

特征向量(

j

1,2,

,

r)(

j

1,2,

,

r)原系统的前

r

阶固有频率：

j

,2 2j前

r

阶主振型：

(

j

)

ΠA(

j

)

,

ΠA

rj

a

η

j

1(j

)(r

)(1)

aη(

2)1 2 ra

a

η线性振动的近似计算方法

/

里兹法可求出：2018年10月12日《振动力学》23(K

2

M

)

A

0

j

2 2j(

j

1,2,

,

r)

(

j

)

ΠA(

j

)

,正交性分析得出的近似主振型式关于矩阵

M

和

K

相互正交A(i)TMA(j)

0，

A(i)TKA(j)

0i

j

时成立

(i

)T

K

(

j

)

A(i

)T

Π

T

KΠ

A(j

)

A(i

)T

KA(

j

)

0线性振动的近似计算方法

/

里兹法

0

(i

)T

M

(

j

)

A(i

)T

Π

T

MΠA(

j

)

A(i)T

MA(

j

)同理，有：2018年10月12日《振动力学》24例：三自由度系统

2

2

x3

0

2

x

0

20

x1

0

k

12

x

3

1

0

0

x

1

2

1m

0

1

0

x

3

0 0

0

2邓克利法，基频：

1

0.3535 k/

m瑞利法，基频：

1

0.3780 k/

m

32

1 1

－1

η（2）]

2假设的振型：

Π

[η（1）mmkk2m2k线性振动的近似计算方法

/

里兹法常规方法：

1

0.3730 k/

m

2

1.3213 k/

m

3

2.0286 k/

m2018年10月12日《振动力学》252018年10月12日25

3

－1

η（2）]

2 2

Π

[η（1）

4k 20k

4k

23m

m

Κ

ΠTKΠ

4k M

ΠTMΠ

TTTT缩减后的新系统的刚度矩阵和质量矩阵：特征值问题：

0

20

7

4

4

0

4

23

k

m 7m

m

2

2(K

M

)

A

0Κ

ΠM

ΠKΠMΠ《振动力学》

1

0.139853A(1)

4.927547,

1

T

2

2.860147A(

2)

0.018449,

1

T线性振动的近似计算方法

/

里兹法

1 1

2018年10月12日

32

1 1

－1

Π

[η（1） η（2）]

2

0

20

7

4

4

0

4

23

k

m

2

1

0.139853A(1)

4.927547,

1

T

2

2.860147A(

2)

0.018449,

1

Tkm2

mk

2

2

1.691197固有频率：km26《振动力学》1

m1 1

k

0.373969

1.860148 1

T0.860147 1

T主振型：

(1)

ΠA(1)

0.4300731

(2)

ΠA(2)

0.9300742

1

和

2

是主振型归一化时产生的常数，不必考虑线性振动的近似计算方法

/

里兹法k

/

m

2

2

1.691197 k/

m固有频率：

1

1

0.373969

1.860148 1

T

(2)

ΠA(2)

0.9300742主振型：

(1)

ΠA(1)

0.430073 0.860147 1

T1k/

m,

2

1.3213 k/

m固有频率精确值：

1

0.3730主振型精确值：

(1)

0.4626 0.8608 1

T

0.7458

1

T

(

2)

2.9339邓克利法，基频：

1

0.3535 k/

m瑞利法，基频：

1

0.3780 k/

m里兹法所得基频精度比瑞利法高，但第二阶固有频率精度欠佳2018思年1考0月1：2日将所得结果作为初值，迭代计算，结果如何？《振动力学》28线性振动的近似计算方法

/

里兹法线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和主振型多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动特点：将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的传递矩阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵法对全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加以综合，从而大大减少计算工作量（1）轴盘扭转振动系统 （2）梁的横向弯曲振动系统2018年10月12日《振动力学》29（1）轴盘扭转振动系统(2)(3)(1) (n-2)(n-1)123n-1 nn-1个圆盘(i-1)(i)i2018年10月12日《振动力学》30li

kiJiJi-1第

i

个单元圆盘和轴自左至右编号第

i-1

个和第

i

个圆盘以及连接两盘的轴段构成第

i

个单元li：轴段长度Ji-1、

Ji：圆盘转动惯量 ki：轴段扭转刚度轴不计质量，只计刚度线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法(i-1)(i)il ki iJiJi-1第

i

个圆盘两侧状态传递关系：

iiT

RLTiJiL

iRi

1

T

Ri

1iT

Li il k第

i

个单元定义状态变量：

X

(

,

T

)T

：盘转角 T

：盘侧面扭矩定义：上角标

L

和

R

表示盘的左侧和右侧截面LiRi

TR

TL

J

i i i ii i2

i i i i2TR

TL

J

第

i

个圆盘两侧的状态变量满足：当圆盘以频率 作简谐振动时：i

i

T

i

J

R1

T

0

L12线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法第i-1个圆盘右端状态第i个圆盘左端状态2018年10月12日《振动力学》31第i个圆盘右端状态第i个圆盘左端状态(i-1)(i)il ki iJiJi-1

iiT

RLTiJiL

ii

1

RT

Ri

1iT

Li il k第

i

个单元定义状态变量：

X

(

,

T

)T

：盘转角 T

：盘侧面扭矩定义：上角标

L

和

R

表示盘的左侧和右侧截面XR

SPX

Li i i

1

1 0

2i

Pi

JS点传递矩阵i

i

T

i

J

R

1

T

0

L12线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法第i-1个圆盘右端状态第i个圆盘左端状态2018年10月12日《振动力学》32第

i

个轴段左右两端状态变量的传递关系：状态变量：

X

(

,

T

)T第

i

个轴段上扭矩平衡条件：RLi

1i i

1

i

i

)TL

T

R

k

(

(i-1)(i)il ki iJiJi-1第

i

个单元

iiT

RLTiJiL

iRi

1

T

Ri

1iT

Li il ki

1

T

i

1

0

T

i

1 1/

k

R

L线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法第i-1个圆盘右端状态第i个圆盘左端状态2018年第10i月个12圆日盘左端状态《振动力学》第i-1个圆盘右端状态332018年10月12日XL

SFX

Ri i i

1

0 1

i

1 1/

ki

S

F场传递矩阵(i-1)(i)il ki iJiJi-1第

i

个单元状态变量：

X

(

,

T

)T第

i

个轴段：

iiT

RLTiJiL

iRi

1

T

Ri

1iT

Li il kii

1i

1

T

0

T

1 1/

k

R

L线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法第i-1个圆盘右端状态第i个圆盘左端状态34《振动力学》2018年10月12日《振动力学》34iLiF Ri

1S XX

1

1 0

2i

Pi

J点传递矩阵

S

ii

0 1

1 1/k

场传递矩阵

S

F第

i

个圆盘：第

i

个轴段：P LiiRiS XX

第

i-1

个圆盘右侧到第

i

个圆盘右侧的状态变量传递关系：XR

SPSF

X

R

SX

Ri i i i

1 i i

1S

SPS

Fi i i单元传递矩阵(i-1)(i)il ki iJiJi-1第

i

个单元状态变量：

X

(

,

T

)T

iiT

RLTiJiL

iRi

1

T

Ri

1iT

Li il k线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法第i-1个圆盘右端状态第i个圆盘左端状态2018年10月12日35第

i

个轴段：FiLiRi

1X

SX

1

1 0

2iP

JSi

点传递矩阵

i

0 1

1 1/

ki

S

F场传递矩阵第

i

个圆盘：P LiiRiS XX

第

i-1

个圆盘右侧到第

i

个圆盘右侧：XR

SPSF

X

R

SX

Ri i i i

1 i i

1S

SPS

Fi i i单元传递矩阵

1

0 1

1 0

12 22

i

i

i

i

1/

ki1/ki

1

J 1

(J /k

)

JS

SPS

Fi i iRnR1SXX

n

个圆盘的轴系，最左端和最右端状态变量传递关系：S：第1至第n单元通路中所有单元传递矩阵的连乘积利用两端边界条件可确定固有频率和模态（ 的函数）S

SnSn

1

S1线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法《振动力学》2018年10月12日36例：三圆盘扭振系统k1

k2

k用传递矩阵法求固有频率和振型J1《振动力学》J3J

2k1k2J1

J3

JJ2

2J线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法2018年10月12日《振动力学》37例：三圆盘扭振系统k1

k2

kJ1J3J

2k1k2J1

J3

JJ2

2J解：

两端无约束，边界条件：

T

L

T

R

01 3令：

1

1

0

1

第一个圆盘左端状态：

T

L

1

1

1 0

2i

Pi

JS

XR

SPX

Li i i

第一个圆盘右端状态：

T

2

2

1

10

1

1

J

J

1

0

R线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法2018年10月12日《振动力学》381J3JJ

2k1k2k1

k2

k J1

J2

J J3

2J两端边界条件：

T

L

T

R

01 3令：

1

1

0

T

L

1

2

1

T

11

J

R

ii i

1XR

SX

RX

R、 R：2 X

3

3)

1122

2JkJk

k

2J

T

2

J

(2

21

J1k

2

2

J 1

2

R

122i i

ii

1/

ki

J 1

(J /k

)S

3)

112222

3k

J

k

J

4J24

J

kJkJk

22J

k

T

3

2

2)

2

2

J

4

4

1k

2

k1

2

1

J

(2

2

J

R线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法39J1J3J

21k2k两端边界条件：

T

L

T

R

01 3

0

1

1

1

T

L

1

T

2

1

1

J

R

2k

J k

J

T

2

J

(2

2

3)

1

2

R

1442

3kJ

k

JJk

k

J

2

T

R

3

2

2)

2

J

4

22

4

kJ

k

J

4

3

2

2)

02

2

J

4

32

2k/

J

k/

J

1

0代入各单元状态的第一个元素，得振型：2018年10月

12

日《振动力学

》1

1

1

1

φ(1)

1

φ(2)

0

1

1

φ(3)

1

线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法2018年10月12日《振动力学》40（2）梁的横向弯曲振动系统n2 3 n

1(0) (1) (2) (3) (n

2) (n

1)1(n)传递矩阵法可用于分析梁的横向弯曲振动梁上有

n-1

个集中质量梁段质量不计，只计刚度s状态变量构成： X

(

y

M F

)T集中质量处梁的横向位移、截面转角、弯矩和剪力支座、梁段、集中质量自左向右分别编号第

i-1

个和第

i

个质量以及连接两质量的梁段构成第

i

个单元梁段长

li，抗弯刚度

EiIi，集中质量mi-1、mii(i

1)mi

1(i)miliEi

Ii第

i

个单元i

1i

1X

L X

RiiX

L X

R线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法41n12 3 n

1(0) (1) (2) (3) (n

2) (n

1)(n)iliEi

Ii(i

1)mi

1(i)mi质量两侧满足：第

i

个质量受力分析imF

Ls,iF

Rs,iiM

RiM

L

i iLRLi

R

i

R Li iymM

MF

F

y

R

y

L

s,i s,i

i

ii2y

y

当系统以频率 作简谐振动时：iiL2s,im

y

F质量左右两侧的传递关系：2018年10月12日《振动力学》XR

SPX

Li i i点传递矩阵第

i

个单元i

M

Fs

i

y

R

1

Fs

i

0

M

0

0

y

Li1 0 00 1 00 0 1

m

0

02线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法剪力F,弯矩M2018年10月12日n123(0)

(1)

(2)(n

1)(n

2)n

1(3)(n)i(i

1)mi

1(i)mi第

i

个梁段受力分析RFs,i

1F

Ls,iiM

LM

Ri

1Ri

1

L i

y

Ri

1iy

Lys,i

1

ii i

1F

R lML

M

R平衡条件：

F

Ls,is,i

1

F

R梁段两端位移和转角分析设第

i

个梁段距离左端

x

远的截面的弯矩、转角和挠度分别为：Mi

(x)，

i(x)，yi(x)对于弯矩，有：is,i

1i

1F

R xM(x)

M

RliEi

Ii第

i

个单元lii

1X

Li

1X

RiiX

L X

R线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法第i-1个质量右端状态第i个质量左端状态

x43《振动力学》2018年10月12日Mi

(x)，

i(x)，yi(x)对于转角，由材料力学有：

xii iRiE

I0i

1M

(x)dx1

(x)

M(x)

M

R

F

R xi i

1 s,i

1112E

IE

IF

R x2i iM

Ri is,i

1i

1Ri

1x

对于挠度：

xi0y(x)

y

R

i i

1

(x)dx116E

I2E

IF

R x3i iMR

x2i is,i

1i

1Ri

1i

1

x

y

R

F

Rs,i

1F

Ls,iiM

LM

Ri

1Ri

1

Li

y

Ri

1iy

Llixy线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法44《振动力学》1 1E

I 2E

IF

R x2M

Ri i i iis,i

1i

1Ri

1x

(x)

116E

I2E

IF

R x3i iMR

x2i is,i

1i

1Ri

1

x

y(x)

y

R

i i

1令

i

(x)、yi

(x) 中

x=li：i ii iLiE

IMR

l2E

IF

R l

2Ri

1

i

1

i

s,i

1

i

i ii iR2E

I 6E

IF

R l

3

s,i

1

i

MRl

2

i

1

i

i i

1 i

1

i

yL

y

R

l

F

Rs,i

1F

Ls,iiM

LM

Ri

1Ri

1

Li

y

Ri

1iy

Llixy线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法Mi

(x)，

i(x)，yi(x)M(x)

M

R

F

R xi i

1 s,i

12018年10月12日《振动力学》45i i

1 s,i

1

iML

M

R

F

R lF

Ls,is,i

1

F

Ri ii iLiE

IMR

l2E

IF

R l

2Ri

1

i

1

i

s,i

1

i

R6Ei

Ii2Ei

IiMRl

2F

R l

3

s,i

1

i

i

1

i

yL

y

R

l

i i

1 i

1

iRFs,i

1F

Ls,iLMiM

Ri

1R

i

1

Li

y

Ri

1iy

Llixy梁段受力平衡方程：第

i

个梁段左右两端状态变量的传递关系：XL

SFX

Ri i i

1Ri iii iii iii iii3li110

s

i

1

F

M

0 1 l/(E

I

) l2/(2EI

)

00 0

0

1

y

F

M

s

i

y

L l l2/(2E

I

) l /(6EI

)

线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法第i-1个质量右端状态第i个质量左端状态2018年10月12日《振动力学》46场传递矩阵第

i

个质量左右两侧：XR

SPX

Li i i第

i

个梁段左右两端：XL

SFX

Ri i i

1第

i

-1

个质量右侧至第

i个质量右侧的状态变量传递关系：XR

SPS

FX

R

SX

Ri i i i

1 i i

1S

SPS

Fi i i单元传递矩阵对于带

n

个集中质量得梁，总能利用各单元传递矩阵的连乘积导出梁的最左端和最右端状态变量传递关系：XR

SX

Rn 1i(i

1)mi

1(i)miliEi

Ii第

i

个单元i

1i

1X

L X

RiiX

L X

R线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法2018年1利0月用12日两端边界条件可确定固有频率和振型《振动力学》47

2018年10月12日《振动力学》48

100

010

001

2

m

i000

0

PSi

P Fi iiSS

S单元传递矩阵：

1

0

13ii ii i i ii i iiil0 1 l/(E

I

) l2/(2EI

)0

0 0l /(6EI

)l l2/(2EI

)i i iS

F

1101002 32 222i i

i

ii

i

i

ii

iiiiill2/(2EI

)i i ili/(EiIi

)l3/(6EI

)i i il2/(2EI

)i i il1

m

l /(6EI

)

m

l /(2EI

)

m

l

mS

代入，得：

0

1

点传递矩阵10场传递矩阵线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法例：用传递矩阵法求解固有频率梁的抗弯刚度

EI解：对支座、质量、梁段编号两端边界已知条件：0yL

ML

03 3yR

MR

0,s

M F

)T状态变量：X

(

ymmlll无量纲边界条件：yL

ML

03 3yR

MR

0,0 0EIEIEIMl0

ylsFl

2ml

3

2

, M

, F

s ,引入无量纲变量：

y

无量纲状态变量：sM F

)TX

(

y

(1)(2)123(0)(3)

RX

0X

L X

R1 1RLX

2 X

232018年10月12日《振动力学》49X

L线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法

yL

ML

03 3yR

MR

0,0 0点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域sM F

)TX

(

y

1

0

00

0

1 0 0 0

1 00 10 0

PiS

1

1

0

01/

2

1 1 1/

2 1/

6

0 1 10 10 0iS

F(1)(2)31

2

(0)(3)0X

R11X

L X

R22X

L X

R3X

L无量纲变量：EI50场传递矩阵《振动力学》点传递矩阵EIEIsy

, M

, F

s ,

2018年10

月

1l1000100012

m 0 02日iMl

yFl

2ml

3

2

0

1

00

PiS

110

0

13ii iii iii i ii i i iil0 1 l/(E

I

) l2/(2EI

)0

0 0l /(6EI

)l l2/(2EI

)S

F线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法2018年10月12日50

yL

ML

03 3yR

MR

0,0 0sM F

)TX

(

y

1

0

0

1 0 0 0

1 0

0 0 1 0

0 0

PiS

1

01/

2

0

1 1 1/

2 1/

6

1 1

0 0 1 1

0 0FiS第

i

个梁段左右两侧的传递关系：iiL F Ri

1X

S

X两支座之间的传递矩阵3 2 2 1 1S

SFSPSFSPS

F梁段1：X

L

S

F

X

R1 1 0梁段2：

X

L

S

F

X

R2 2 1梁段3：X

L

S

F

X

R3 3 2(1)(2)31

2

(0)(3)0X

R11X

L X

R22X

L X

R3X

L两支座之间的状态关系：L F R3 23X

S

X质量1：X

R

S

PX

L1 1 1质量2：

X

R

S

PX

L2 2 2i ii《振动力学》第

i个质量左右两侧的传递关系：

X

R

S

PX

L线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法2 23F P L2 13 2F RF P

S

(S

X

)

S

S

(S

X

)1 13 2 2P LF P F

S

S

S

(S

X

)3 2 2 1 1 0 0

S

F

S

P

S

F

S

P

(S

F

XR

)

SXR2018年10月12日51

yL

ML

03 3yR

MR

0,0 0sM F

)TX

(

y

3 2 2 1 1S

SFSPSFSPS

F(1)(2)31

2

(0)(3)0X

R11X

L X

R22X

L X

R3X

L两支座之间的状态关系：XL

SX

R3 0

31 32 33 34

24

2322213 2 2 1 1

44

42

43

41

11

12

13

14

S

SFSPSFSPS

F线性振动的近似计算方法

/

传递矩阵法

1

0

0

1 0 0 0

1 0

0 0 1 0

0 0

PiS

1

01/

2

0

1 1 1/

2 1/

6

1 1

0 0 1 1

0 0FiS《