考研数学一随机变量的数字特征

考研数学一随机变量的数字特征1.【单项选择题】设随机变量X服从参数为2的指数分布，则Y=2X+e-2x的期望EY=（）．A.（江南博哥）B.C.D.正确答案：A参考解析：所以

2.【单项选择题】设随机变量X～B(n，p)，且EX=2.4，DX=1.44，则（）．A.n=8，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=4，p=0.5D.n=12，p=0.1正确答案：B参考解析：解

得n=6，p=0.4．3.【单项选择题】设EX与E(X2)均存在，则（）．A.E(X2)≥(EX)2B.E(X2)<(EX)2C.E(X2)<EXD.E(X2)>EX正确答案：A参考解析：

4.【单项选择题】设随机变量x，有EX=μ，DX=σ2(μ，σ为常数)，则对任意常数C，下列选项正确的是（）．A.E[(X-C)2]=E(X2)-C2B.E[(X-C)2]=E[(X-μ)2]C.E[(X-C)2]<E[(X-μ)2]D.E[(X-C)2]≥E[(X-μ)2]正确答案：D参考解析：因为E[(X-C)2]=E[(X-μ+μ-C)2]=E[(X-μ)2]+(μ-C)2，其中(μ-C)2≥0，所以E[(X-C)2]≥E[(X-μ)2]，故D正确。B当且仅当μ=C时才成立。

5.【单项选择题】设(X，Y)服从二维正态分布，则U=X+Y与V=X-Y不相关的充要条件是（）．A.EX=EYB.E(X2)=E(Y2)C.E(X2)+(EY)2=E(Y2)+(EX)2D.E(X2)+(EX)2=E(Y2)+(EY)2正确答案：C参考解析：

6.【单项选择题】设X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且ρXY=1，则（）．A.P{Y=2X+1}=1B.P{Y=-2X+1}=1C.P{Y=-2X-1)=1D.P(Y=2X-1)=1正确答案：A参考解析：由Pxy=1可得P{Y=aX+b}=1，且a>0，排除B，C，又1=EY=E(aX+b)=aEX+b，由于EX=0，故b=1，所以A正确。7.【单项选择题】设随机变量X在[-1，1]上服从均匀分布，Y1=arcsinX，Y2=arccosX，则ρY1Y2=（）A.1B.-1C.D.正确答案：B参考解析：8.【单项选择题】设袋中有6只红球，4只白球，任意摸出一只球，记住颜色后放回袋中，共进行4次，设X表示摸到红球的次数，则EX=（）．A.B.C.D.正确答案：C参考解析：依题设，可知试验为有放回摸球，故每次摸到红球的概率为3/5，所以

9.【单项选择题】设X～N(0，1)，Y=X2+X+1，则X与Y（）．A.相关且相互不独立B.相关且相互独立C.不相关且相互独立D.不相关且相互不独立正确答案：A参考解析：判别X与Y是否相关，需计算Cov(X，Y)．

10.【单项选择题】设随机变量X与Y相关，相关系数为ρXY，Z=aX+b(a，b为常数)，则ρYZ=ρXY的充分必要条件为（）．A.a>0B.a<0C.a≠0D.a=1正确答案：A参考解析：

11.【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A参考解析：12.【单项选择题】设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E[(x-2)2e2x]=A.1．B.2．C.e2．D.2e2．正确答案：C参考解析：13.【单项选择题】假设随机变量X与y相互独立具有非零的方差，DX≠DY，则A.3X+1与4Y-2相关．B.X+Y与X-Y不相关．C.X+Y与2Y+1相互独立．D.eX与2Y+1相互独立．正确答案：D参考解析：14.【单项选择题】设X，Y为两个随机变量，若E(XY)=E(X)E(y)，则(  )．A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X，Y独立D.X，Y不独立正确答案：B参考解析：因为E(XY)=E(X)E(Y)，所以Coy(X，Y)=0，又D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)．15.【单项选择题】设X，Y为随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y)，则(  )．A.X，Y独立B.X，Y不独立C.X，Y相关D.X，Y不相关正确答案：D参考解析：因为Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，所以若E(XY)=E(X)E(Y)，则有Cov(X，Y)=0，于是X，Y不相关，选(D)．16.【单项选择题】设随机变量X～U[0，2]，Y=X2，则X，Y()．A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立正确答案：D参考解析：17.【单项选择题】设随机变量X～U[-1，1]，则随机变量U=arcsinX，V=arccosX的相关系数为()．A.-1B.0C.D.1正确答案：A参考解析：18.【单项选择题】设随机变量X～E(1)，记Y=max{X，1)，则EY=(  )．A.1

B.1-e-1

C.1+e-1

D.e-1正确答案：C参考解析：19.【单项选择题】设随机变量X1，X2相互独立，且都服从标准正态分布N(0，1)，记Y=X1-X2，Z=X1X2，则Y，Z的相关系数ρyz=(  )．A.-1B.0C.D.1正确答案：B参考解析：20.【单项选择题】设随机变量(X，Y)的概率密度f(x，y)满足f(x，y)=f(-x，y)，且ρXY存在，则ρXY=(  )．A.1

B.0

C.-1

D.-1或1正确答案：B参考解析：因为21.【填空题】一袋中有N个球，其中白球数目X是一个随机变量，且EX=n，从袋中任取一球，则取得的球是白球的概率为．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

22.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

23.【填空题】从1，2，3，4，5中任取一数X，再从1，…，X中任取一数Y，则EY=_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：2【解析】

先求y的分布律．Y的所有可能取值为1，2，3，4，5，由全概率公式得

24.【填空题】正态分布的分布函数，则EX=_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：0.5【解析】

先求X的概率密度，再求EX．

25.【填空题】设随机变量X的概率分布为P{X=k}=(k=0，1，2，…)，则E(X2)=________.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：2【解析】

注意到X服从泊松分布，

26.【填空题】设随机变量X在(0，a)(a≤12)上服从均匀分布，则X位于EX与DX之间的概率为________．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

27.【填空题】设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且有相同的概率密度，则概率P{Xn>min{X1，X2，…，Xn-1}}=________．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

28.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】用期望的定义计算．

29.【填空题】设15000件产品中有1000件次品，从中任取150件进行检测，则检测到次品数X的期望EX=________．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：10【解析】

30.【填空题】设(X，Y)～N(1，1，2，2；0)，U=X+2Y，V=X-2y，则ρUV=________．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

且X与Y相互独立．

31.【填空题】设随机变量x～B(n，p)，且E(x)=3.2，D(X)=0.64，则P{X≠0)=_____.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：0.9984【解析】X～B(n，P)则E(X)=np，D(X)=np(1-p)．现E(X)=3.2，D(X)=0.64则3.2(1-p)=0.64，1-p=0.2，p=0.8，E(X)=3.2=np=0.8n，n=4．P{X≠0}=1-P{X=0}=1-(1-p)4=1-(0.2)4=0.9984．32.【填空题】设X1，X2，…，Xn来自总体x～N(μ，σ2)的简单随机样本，记样本方差S2，则D(S2)=____.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】33.【填空题】已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，已知P{X1+X2>0}=1-e-1，则E(X1+X2)2=．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：2【解析】34.【填空题】望E(X)=______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】35.【填空题】设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1，则λ=请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：1【解析】36.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】37.【填空题】设X表示12次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为0.5，则E(X2)=_______请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：X～B(12，0.5)，E(X)=6，D(X)=3，E(x2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=3938.【填空题】设常数a∈[0，1]，随机变量X～U[0，1]，Y=|X—a|，则E(XY)=_____．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：39.【填空题】设X，Y为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且ρXY=-，则E(X-2Y+3)2=______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：E(X-2Y+3)=E(X)-2E(Y)+3=2，40.【填空题】已知随机变量X～N(-3，1)，Y～N(2，1)，且X，Y相互独立，设随机变量Z=X-2Y+7，则Z～______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：N(0，5)【解析】Z服从正态分布，且X，Y相互独立，则EX=E(X-2Y+7)=EX-2EY+7=-3-4+7=0，DZ=D(X-2Y+7)=DX+22DY=1+4=5。故Z～N(0，5)。41.【填空题】随机变量Z=3X-2的数学期望EZ=___．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：4【解析】EZ=3EX-2=4．42.【填空题】设随机变量Y服从参数为1的指数分布，记则E(X1+X2)=______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】43.【填空题】独立重复试验中事件A发生的概率为，若随机变量X表示事件A第一次发生时前面已经发生的试验次数，则EX=_____．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：2【解析】方法一

X的所有可能取值为0，1，2，…，其概率分布为44.【填空题】设X和Y相互独立，且(X，Y)的分布律如下，则E(XY)=．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】求a，b的值有两种方法．45.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】依题设，X应服从参数为λ的指数分布，从而知46.【填空题】一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，设备部件状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，则X的方差为_____．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：0.46【解析】X的全部可能取值为0，1，2，3，且P{X=0}=(1-0.1)*(1-0.2)*(1-0.3)=0.504，P{X=1}=(1-0.1)*(1-0.2)*0.3+(1-0.1)*(1-0.3)*0.2+(1-0.2)*(1-0.3)*0.1=0.398，P{X=2}=(1-0.1)*0.2*0.3+(1-0.2)*0.1*0.3+(1-0.3)*0.1*0.2=0.092，P{X=3}=0.1*0.2*0.3=0.006，所以EX=0*0.504+1*0.398+2*0.092+3*0.006=0.6，E(x2)=02*0.504+12*0.398+22*0.092+32*0.006=0.82，故DX=E(X2)-(EX)2=0.82-(0.6)2=0.4647.【填空题】设随机变量X的数学期望EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估计得P{X-75≥k)≤0.05，则k=____．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：10【解析】

48.【填空题】已知随机变量X1，X2，X3的方差都是σ2，任意两个随机变量之间的相关系数都是ρ，则ρ的最小值为______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】49.【解答题】设X与Y的概率分布分别为且P{X2=Y2)=1．(Ⅰ)求(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)求ρXY请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)由P{X2=Y2}=1，知P{X2≠Y2}=0，故

(Ⅱ)由(Ⅰ)，知XY的概率分布为

50.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

51.【解答题】设X与Y相互独立，且均服从请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：由X，Y相互独立，可知

52.【解答题】设X的概率密度为(Ⅰ)求EX和DX；(Ⅱ)求Cov(X，|X|)，并判别X与|X|是否不相关；(Ⅲ)问X与|X|是否相互独立?请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

53.【解答题】设X～N(1，1)，Y～N(-2，1)，且X与Y相互独立．(Ⅰ)求Z=2X+Y的概率密度；(Ⅱ)求E(|2X+Y|)，D(|2X+Y|)．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)由X，Y相互独立，知2X+Y～N(2×1-2，22+12)，即Z～N(0，5)，

(Ⅱ)

54.【解答题】在区间(0，1)内随机取n个数X1，X2，…，Xn．(Ⅰ)求最大数与最小数之间距离d的数学期望；(Ⅱ)若用Y表示n个数中大于的个数，求EY和DY．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)依题设，Xi(i=1，2，…，n)相互独立，且都在(0，1)上服从均匀分布，其概率密度为

(Ⅱ)先求Y的分布，用X表示在(0，1)内任取的数，则X在(0，1)内服从均匀分布，其概率密度为

55.【解答题】设X1，X2，…，Xn(n>2)为独立同分布的随机变量，且均服从N(0，1)，Yi=(Ⅰ)求DYi(i=1，2，…n)；(Ⅱ)求PY1Yn.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

56.【解答题】设随机变量X1，X2，X3相互独立，且均服从参数为A的指数分布，记Y=min{X1，X2}，T=max{Y，X3)．(Ⅰ)求Y的概率密度fY(y)；(Ⅱ)求期望ET．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)由已知，X1与X2相互独立，故(X1，X2)的概率密度为

(Ⅱ)先求T的分布函数与概率密度．

57.【解答题】设随机变量X与y相互独立，X的概率分布为P{X=0}=P{X=1}=，Y在[0，1]上服从均匀分布．(Ⅰ)求Z=X+Y的分布函数与概率密度；(Ⅱ)求相关系数ρXZ．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)由已知，Y的概率密度为

(Ⅱ)由于

58.【解答题】设随机变量X1与X2相互独立，且X1～B(1，p)，X2～B(2，p)，其中0<p<1，令Y1=2X1+X2，Y2=X1-X2．(Ⅰ)求相关系数ρY1Y2；(Ⅱ)问Y1与Y2是否相互独立?并说明理由．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)

由x1与x2相互独立及x1~B(1,p)，x2~B(2,p)，可知

(Ⅱ)由于

59.【解答题】(Ⅰ)求(X1，X2)的联合分布及边缘分布；(Ⅱ)求Cov(X1，X2)，D(X1-X2)．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)由

(11)由(Ⅰ)，知

60.【解答题】设随机变量X和Y独立同分布，已知X～N(μ，σ2)，求Z=min(X，Y)的数学期望E(Z).请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：61.【解答题】求Cov(X，Z).请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：62.【解答题】试证：(1)(2)请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)(2)63.【解答题】游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的5分、25分、55分从底层上行，设一游客早上8点X分到达底层，且X在[0，60)上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：64.【解答题】设随机变量X，Y独立同分布，且X～N(0，σ2)，再设U=aX+bY，V=aX-by，其中a，b为不相等的常数．求：(1)E(U)，E(V)，D(U)，D(V)，ρuv；(2)设U，V不相关，求常数a，b之间的关系．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)(2)65.【解答题】设由自动生产线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格产品．销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大?请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：66.【解答题】(1)求E(