考研数学一二次型

考研数学一二次型1.【单项选择题】二次型f(x1，x2，x3)=x1x2+x2x3+x1x3的矩阵为（）．A.INCLU（江南博哥）DEPICTURE\d"/2021-09/16/163175894243471.png"INET

B.

C.

D.

正确答案：B参考解析：2.【单项选择题】二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2的标准形为（）．A.

B.

C.

D.

正确答案：B参考解析：

用配方法，

3.【单项选择题】A.

B.

C.

D.

正确答案：B参考解析：

4.【单项选择题】设A是行阶方阵，将A的第i列与第j列互换，再交换第i行与第j行得到B，则（）．A.A与B等价、相似且合同B.A与B相似、合同但不等价C.A与B相似但不合同D.A与B等价但不相似正确答案：A参考解析：

A的第i列与第j列、第i行与第j行交换，相当于右乘、左乘初等矩阵，即B=Ei,jAEi,j，又E-1i,j=Ei,j，ETi,j=Ei,j，故B=Ei,jAEi,j=E-1i,jAEi,j=ETi,jAEi,j，所以A与B等价，且相似且合同

5.【单项选择题】二次型f(x1，x2，x3)=的规范形为（）A.

B.

C.

D.

正确答案：A参考解析：

判定规范形，只要确定二次型的秩及正、负惯性指数，可以通过求二次型矩阵A的特征值来确定．

6.【单项选择题】设二次型f(x1，x2，x3)=，则f(x1，x2，x3)=1在空间直角坐标系下表示的二次曲面为（）．A.椭球面B.柱面C.单叶双曲面D.双叶双曲面正确答案：C参考解析：

7.【单项选择题】A是n阶实对称矩阵，则A合同于矩阵B的充分必要条件是（）．①r(A)=r(B)，②A与B的正惯性指数相等，③A与B均正定矩阵，④B是实对称矩阵．A.①成立B.④成立C.①②④均成立D.③成立正确答案：C参考解析：首先④是必要条件．

8.【单项选择题】方程(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=1表示的曲面是（）．A.椭球面B.单叶双曲面C.双叶双曲面D.柱面正确答案：D参考解析：令

9.【单项选择题】A.B.C.2D.3正确答案：D参考解析：因为r(A)=2，所以λ1=0是A的特征值，又A的各行元素之和均为2，所以10.【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：B参考解析：由题意知A是可逆的实对称矩阵，从而A*也为实对称矩阵，故11.【单项选择题】实二次型f(x1，x2，…，xn)的秩为r，符号差为s，且f和-f对应的矩阵合同，则必有(  )．A.r是偶数，s=1B.r是奇数，s=1C.r是偶数，s=0D.r是奇数，s=0正确答案：C参考解析：设f的正惯性指数为p，负惯性指数为q，-f的正惯性指数为p1，负惯性指数为q1，则有p=q1，q=p1，又f，-f对应的矩阵合同，故有p=p1，q=q1，从而有r=p+q=p+p1=2p，s=p-q=p-p1=0，故选c。12.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-2<a<1．【解析】

解

得-2<a<2且-2<a<1，故-2<a<1．13.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

求规范形的关键是确定正、负惯性指数．由A，B合同，知pA=pB，qA=qB．由

14.【填空题】设A是n阶矩阵，方程组Ax=b有唯一解，则二次型xT(ATA)X的正惯性指数为_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：n【解析】

由已知，Ax=b有唯一解

，故Ax=0只有零解

．

15.【填空题】设A是3阶实对称矩阵，二次型xTAx经过正交变换x=Qy后的标准形为，则二次型xTA*x的规范形为．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

16.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-1<a<2【解析】由特征多项式17.【填空题】二次型f(x1，x2，x3，x4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2的秩为_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：3【解析】由于18.【填空题】二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3的正惯性指数为_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：2【解析】所给二次型不含平方项，故令x1=y1+y2，x2=y1-y2，x3=y3，有f(x1，x2，x3)=2y12-2y22-4y1y3+8y2y3，再用配方法，有f(x1，x2，x3)=2(y1-y3)2-2(y2-2y3)2+6y32.令z1=y1-y3，z2=y2-2y3，z3=y3，得f(x1，x2，x3)=2z12-2z22+6z32，又上述所做变换均为可逆线性变换，故其正惯性指数为2.19.【填空题】若二次型的正、负惯性指数都是1，则a=_____．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-2【解析】二次型f的矩阵20.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

21.【解答题】证明：n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PTP．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(充分性)

22.【解答题】设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=的正负惯性指数都是1．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求可逆线性变换x=By，将f(x1，x2，x3)化为标准形．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，二次型为

23.【解答题】是方程组A*x=4a的解向量．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交变换x=Oy，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)

(Ⅱ)由于α1，α2，已正交，所以只需将α1，α2，α3单位化，得

24.【解答题】设n阶实对称矩阵A只有两个不同的特征值λ1=1和λ2，且A属于λ1=1的特征向量仅有k(1，0，…，0，1)T(k≠0)．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)当λ2满足什么条件时，A是正定矩阵．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)

(Ⅱ)由于A是实对称矩阵，所以A正定的充要条件是其特征值全大于0，故λ2>0．25.【解答题】设A为3阶实对称矩阵，二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为，其中Q的第1列为，且|A|=-4(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求正交矩阵Q．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

26.【解答题】(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)(2)27.【解答题】设A是行阶正定矩阵，证明：|E+A|>1．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：【证明】方法一28.【解答题】设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：必要性：设BTAB是正定矩阵，则对任意的X≠0，XTBTABX