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文档简介

考研数学一二次型1.【单项选择题】二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3+x1x3的矩阵为().A.INCLU(江南博哥)DEPICTURE\d"/2021-09/16/163175894243471.png"INET

B.

C.

D.

正确答案:B参考解析:2.【单项选择题】二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2的标准形为().A.

B.

C.

D.

正确答案:B参考解析:

用配方法,

3.【单项选择题】A.

B.

C.

D.

正确答案:B参考解析:

4.【单项选择题】设A是行阶方阵,将A的第i列与第j列互换,再交换第i行与第j行得到B,则().A.A与B等价、相似且合同B.A与B相似、合同但不等价C.A与B相似但不合同D.A与B等价但不相似正确答案:A参考解析:

A的第i列与第j列、第i行与第j行交换,相当于右乘、左乘初等矩阵,即B=Ei,jAEi,j,又E-1i,j=Ei,j,ETi,j=Ei,j,故B=Ei,jAEi,j=E-1i,jAEi,j=ETi,jAEi,j,所以A与B等价,且相似且合同

5.【单项选择题】二次型f(x1,x2,x3)=的规范形为()A.

B.

C.

D.

正确答案:A参考解析:

判定规范形,只要确定二次型的秩及正、负惯性指数,可以通过求二次型矩阵A的特征值来确定.

6.【单项选择题】设二次型f(x1,x2,x3)=,则f(x1,x2,x3)=1在空间直角坐标系下表示的二次曲面为().A.椭球面B.柱面C.单叶双曲面D.双叶双曲面正确答案:C参考解析:

7.【单项选择题】A是n阶实对称矩阵,则A合同于矩阵B的充分必要条件是().①r(A)=r(B),②A与B的正惯性指数相等,③A与B均正定矩阵,④B是实对称矩阵.A.①成立B.④成立C.①②④均成立D.③成立正确答案:C参考解析:首先④是必要条件.

8.【单项选择题】方程(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=1表示的曲面是().A.椭球面B.单叶双曲面C.双叶双曲面D.柱面正确答案:D参考解析:令

9.【单项选择题】A.B.C.2D.3正确答案:D参考解析:因为r(A)=2,所以λ1=0是A的特征值,又A的各行元素之和均为2,所以10.【单项选择题】A.B.C.D.正确答案:B参考解析:由题意知A是可逆的实对称矩阵,从而A*也为实对称矩阵,故11.【单项选择题】实二次型f(x1,x2,…,xn)的秩为r,符号差为s,且f和-f对应的矩阵合同,则必有(  ).A.r是偶数,s=1B.r是奇数,s=1C.r是偶数,s=0D.r是奇数,s=0正确答案:C参考解析:设f的正惯性指数为p,负惯性指数为q,-f的正惯性指数为p1,负惯性指数为q1,则有p=q1,q=p1,又f,-f对应的矩阵合同,故有p=p1,q=q1,从而有r=p+q=p+p1=2p,s=p-q=p-p1=0,故选c。12.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:-2<a<1.【解析】

得-2<a<2且-2<a<1,故-2<a<1.13.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:【解析】

求规范形的关键是确定正、负惯性指数.由A,B合同,知pA=pB,qA=qB.由

14.【填空题】设A是n阶矩阵,方程组Ax=b有唯一解,则二次型xT(ATA)X的正惯性指数为_______.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:n【解析】

由已知,Ax=b有唯一解

,故Ax=0只有零解

15.【填空题】设A是3阶实对称矩阵,二次型xTAx经过正交变换x=Qy后的标准形为,则二次型xTA*x的规范形为.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:【解析】

16.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:-1<a<2【解析】由特征多项式17.【填空题】二次型f(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2的秩为_______.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:3【解析】由于18.【填空题】二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3的正惯性指数为_______.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:2【解析】所给二次型不含平方项,故令x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3,有f(x1,x2,x3)=2y12-2y22-4y1y3+8y2y3,再用配方法,有f(x1,x2,x3)=2(y1-y3)2-2(y2-2y3)2+6y32.令z1=y1-y3,z2=y2-2y3,z3=y3,得f(x1,x2,x3)=2z12-2z22+6z32,又上述所做变换均为可逆线性变换,故其正惯性指数为2.19.【填空题】若二次型的正、负惯性指数都是1,则a=_____.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:-2【解析】二次型f的矩阵20.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:

21.【解答题】证明:n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P,使得A=PTP.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:(充分性)

22.【解答题】设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=的正负惯性指数都是1.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求可逆线性变换x=By,将f(x1,x2,x3)化为标准形.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:(Ⅰ)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,二次型为

23.【解答题】是方程组A*x=4a的解向量.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)求正交变换x=Oy,将二次型f(x1,x2,x3)=xTAx化为标准形.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:

(Ⅰ)

(Ⅱ)由于α1,α2,已正交,所以只需将α1,α2,α3单位化,得

24.【解答题】设n阶实对称矩阵A只有两个不同的特征值λ1=1和λ2,且A属于λ1=1的特征向量仅有k(1,0,…,0,1)T(k≠0).(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)当λ2满足什么条件时,A是正定矩阵.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:

(Ⅰ)

(Ⅱ)由于A是实对称矩阵,所以A正定的充要条件是其特征值全大于0,故λ2>0.25.【解答题】设A为3阶实对称矩阵,二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为,其中Q的第1列为,且|A|=-4(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求正交矩阵Q.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:

(Ⅰ)

(Ⅱ)

26.【解答题】(1)求a;(2)用正交变换法化二次型为标准形.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:(1)(2)27.【解答题】设A是行阶正定矩阵,证明:|E+A|>1.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:【证明】方法一28.【解答题】设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明:BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:必要性:设BTAB是正定矩阵,则对任意的X≠0,XTBTABX

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