初一数学三角形与全等三角形知识点大全,经典练习-含问题详解

初一数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形：三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中,相等的两边都叫腰,另一边叫底,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边注：1〕在实际运用中,只需检验最短的两边之和大于第三边,如此可说明能组成三角形2〕在实际运用中,已经两边,如此第三边的取值围为：两边之差＜第三边＜两边之和3〕所有通过周长相加减求三角形的边,求出两个答案的,注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从AABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做448©的边BC上的高9、三角形的中线：连接448©的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做^ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x^□此存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性,四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形角和定理：三角形三个角的和等于180度.证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角5、三角形的外角和为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形与其角和1、多边形：在平面,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形.3、角：多边形相邻两边组成的角叫做它的角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的角和：n边形角和等于〔n-2〕*1808、多边形的外角和：360度注：有些题,利用外角和,能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分成n—2个4注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线n(n-3)2条.全等三角形复习一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形.2、全等三角形有哪些性质〔1〕：全等三角形的对应边相等、对应角相等.〔2〕：全等三角形的周长相等、面积相等.〔3〕：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等〔可简写成"SSS〃>边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等〔可简写成"SAS〃>角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等〔可简写成"ASA〃>角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等〔可简写成"AAS〃>斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔可简写成"HL〃>4、证明两个三角形全等的根本思路：二、角的平分线：熟悉根本图形1、〔性质〕角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、〔判定〕角的部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.三、学习全等三角形应注意以下几个问题：〔1>要正确区分"对应边〞与"对边〞,"对应角〞与"对角〞的不同含义；〔2表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；〔3〕"有三个角对应相等〞或"有两边与其中一边的对角对应相等〞的两个三角形不一定全等；〔4〕时刻注意图形中的隐含条件,如"公共角〞、"公共边〞、"对顶角〞轴对称一、轴对称图形把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的局部能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线〔成轴〕对称.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称.这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系①关于某直线对称的两个图形是全等形.②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.二、线段的垂直平分线熟悉根本图形比拟区分角平分线模型.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线..线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于X轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.ΛCx,y〕关于X轴对称的点的坐标为.ΛCx,y〕关于y轴对称的点的坐标为.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等四、〔等腰三角形>知识点回顾.等腰三角形的两个底角相等.〔等边对等角〕.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.〔三线合一〕2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.〔等角对等边〕五、〔等边三角形〕知识点回顾1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600.2、等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形.②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形..在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半..直角三角形,斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形练习一、填空题〔每一小题2分,共20分〕.如图，△ABC^^DEB,AB=DE,∠E=∠ABC,如此/C的对应角为，BD的对应边为..如图，4口=4匕/1=/2田0^匕如此有^ABD0△,理由是，4ABE0△,理由是.BE△ABC04DEF,BC=EF=6cm,△ABC自CmAA题〕平方厘米,如此£及，边4.如图，4口、A'D'分别是锐角WABC和9'B'CC'中A〔第4题〕A^勺高是BC与B>C'边上的高，且DB=c'CA'B',AD=A'D',假设使^ABC@AA'B'C',请你补充条件〔只需填写一个你认为适当的条件〕.假设两个图形全等,如此其中一个图形可通过平移、或与另一个三角形完全重合..如图，有两个长度一样的滑梯〔即BC=EFJ,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，如此/ABC+∠DFE=度〔第6题〕 〔第7题〕 〔第8题〕.：如图，正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，如此DN+MN的最小值为 ．.如图，在AABC中，ZB=90o,D是斜边AC的垂直平分线与BC的交点，连结AD,假设ZDAC：NDAB=2：5,出口上匕NDAC=..等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90o,BD平分NABC交AC于点D,假设AB+AD=8cm,如此底边BC上的高为..锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H,且BH=AC,如此NABC=度.〔第9题〕 〔第10题〕 〔第13题〕二、选择题〔每一小题3分,共30分〕.d⅛ΔABCψ,AB=AC,ZA=56o,如此高BD与BC的夹角为〔JA.28o B.34o C.68o D.62°.在AABC中，AB=3,AC=4,延长BC至D,使CD=BC,连接AD,如此AD的长的取值围为〔〕A.1<AD<7B.2<AD<14C.2.5<AD<5.5D.5<AD<11.出口图，在AABC中，NC=90°,CA=CB,AD平分NCAB交BC于D,DE_LAB于点、E,且AB=6,出口此ADEB的周长为〔 JA.4B.6C.8D.10.用直尺和圆规作一个角等于角的示意图如下,如此说明NA'0,B,=NAoB的依据是A.〔S.S.S.〕B.〔S.A.S.〕C.〔A.S.A.〕D.〔A.A.S. （第14题）.对假命题"任何一个角的补角都不小于这个角〃举反例，正确的反例是〔JZα=605,za的补角Nβ二120。,Zβ>ZaZa=905,Na的补角NB=9005,Zβ=ZaZa=1005,Za的补角Nβ=805,Zβ<Za.AABC与^A'B'C中，条件①AB=A'B',②BC=B'C',③AC=A，C：④NA=NA',⑤NB=NB',⑥NC=NC',如此如下各组条件中不能保证^AB34A'B'C'的是〔〕A.①②③B.①②⑤C.①③⑤D.②⑤⑥.如图，在AABC中，AB=AC,高BD,CE交于点0,Ao交BC于点F,如此图中共有全等三角形〔JA.7对18.⅜

白

A

19.成

立ABF,

20.4一第巨毒胤.度数等于〔J第IE题图一--- ，VD.4对A.10oB.80oC.100o D.80°或100三、解答题〔每一小题5分,共30分〕.如图，点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为,

你得到的一对全等三角形是A=A.〔第21题〕.如图，£6〃人匕请你从下面三个条件中再选两个作为

条件,另一个为结论,推出一个正确的命题〔只需写

出一种情况〕，并给予证明.①AB=AC,②DE=DF,③BE=CF,:EG〃AF,求证：证明：〔第22题〕.如图，在AABC和^DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件,请你在其中选择3个作为题设,余下的1个作为结论,写一个真命题,并加以证明.①AB=DE,②AC=DF,③∠ABC=∠DEF,④BE=CF〔第23题〕.如图，四边形ABCD中，点E在边CDAE、BF,给出如下五个关系式：①AD〃BC；②DE=CE③.∠1=∠2④.∠3=∠4.⑤AD+BC=AB将其中的三个关系式作为假设,另外两个作为结论,构成一个命题.＜1＞用序号写出一个真命题，书写形式如：如果……，那么……，并给出证明；＜2＞用序号再写出三个真命题〔不要求证明〕；〔3〕真命题不止以上四个,想一想就能够多写出几个真命题25.,如图，口是^ABC的边AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,AB〃FC.问线段4口、CF的长度关系如何？请予以证明.A〔第25题〕26.如图，∆ABC是等腰直角三角形，∠C=90°. zL∖e-F-SF〔1〕操作并观察,如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合,使这个角落在2版8的部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的部旋转,观察在点E、F的位置发生变化时,AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF?写出观察结果.〔2〕探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明.四、探究题〔每题10分,共20分〕①,OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答如下问题：〔1〕如图②,在AABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD∖CE分别是∠BAC∖∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；〔2〕如图③,在AABC中，如果/ACB不是直角，而＜1＞中的其它条件不变，请问，你在＜1＞中所得结论是否仍然成立？假设成立,请证明；假设不成立,请说明理由.B28.如图a,△ABC和ACEF年两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点。连接AF和BE.OPA_N

图①＜1＞线段AF和怎样的大小关系？请证明你的结论;FDEDC图③CA＜2＞将图a中的ACEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,＜1＞中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；＜3＞假设将图a中的AABC绕点C旋转一定的角度,请你画山一个变换后的图形＜草图即可＞,＜1＞中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由；＜4＞根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现〕.图a 图b参考答案一、1.∠DBE,CA2.AACE, SAS,AACD, ASA〔或SAS〕3.6CD=C'D'〔或AC=A'C',或NC=NC'或NCAD=NC'A'D'〕5.平移，翻折6.9010 8.20°9.8-4√210.45三、21.可选择CE=DE、/CAB=/DAB、BC=BDAACE@AADE或AACB0AADB等.22.结合图形，条件以与所供选择的3个论断,认真分析它们之间的在联系可选①AB=AC,②DE=DF,作为条件，③BE=CF作为结论；推理过程为：∙.∙EG"AF,.∙.NGED=NCFD,NBGe=NBCA,VAB=AC,ΛNB=NBCA,.∙.NB=NBGE.∙.BE=EG,在ADEG和ADFC中，NGED=NCFD,DE=DF,NEDG=NFDC,.∙.ADEG0ADFC,.∙.EG=CF,而EG=BE,.BE=CF;假设选①AB=AC,③BE=CF为条件，同样可以推得②DE=DF,23.结合图形，认真分析所供选择的4个论断之间的在联系由④BE=CF还可推得BC=EF,根据三角形全等的判定方法，可选论断：①AB=DE,②AC=DF,④BE=CF为条件，根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到：AABC^ADEF,进而推得论断③NABC=NDEF,同样可选①AB=DE,③NABC=NDEF,④BE=CF为条件,根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到：AABC@ADEF,进而推得论断②AC=DF.〔1〕如果①②③，那么④⑤证明：如图，延长AE交BC的延长线于F因为AD〃BC所以N1=NF又因为NAED=NCEF,DE=EC所以AADE@AFCE,所以AD=CF,AE=EF因为N1=NF,N1=N2所以N2=NF所以AB=BF.所以N3=N4所以AD+BC=CF+BC=BF=AB〔2〕如果①②④，那么③⑤；如果①③④，那么②⑤;如果①③⑤，那么②④.＜3＞如果①②⑤，那么③④；如果②④⑤，那么①③;如果③④⑤，那么①②.〔1〕观察结果是：当45°角的顶点与点C重合,并将这个角绕着点C在重合,并将这个角绕着点C在NACB部旋转时,AE、EF、FB中最长的线段始终是EE〔2〕AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：在NECF的部作NECG=NACE,使CG=AC,连结EG,FG,△ACE^△GCE,ZA=Z1,同理ZB=Z2,VZA+ZB=90o,ΛZ1+Z2=90o,ΛZEGF=90o,EF为斜边.四、27.〔1〕FE与FD之间的数量关系为FE二FD答：〔1〕中的结