2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法第12讲数形结合与巧用放缩法含解析

Page1Page1Page1第12讲数形结合与巧用放缩法知识与方法数形结合思想就是根据试题中给出的条件和结论,考虑几何含义来证明不等式.若想要运用好数形结合思想,必须灵活地把抽象笼统的数量关系式与直观明了的图形结合起来,然后在几何与代数的背景下寻找解题的突破口.数形结合有两种情况:一是以数解形,二是以形助数,而通常情况下我们是以形助数来解题,所谓“以形助数”就是构造出与题意相吻合的图形,并通过图象的性质来帮助解决“数”的问题.典型例题【例1】已知函数f(x)=(1)求实数a的取值范围;(2)求证:fx1+【解析】(1)由于f(x)=设g(x)=令g'(x所以当x∈(-∞,0)时,g'(x)所以g((1)当a⩽1时,g(x(2)当a>1时,g(x)当x→+∞时,g此时,g(x)=f'(x)=ex-x-(2)由(1)知,x1,x2为g(下面先证x1<-由于gx2=所以g-设h(x)=所以h(x)所以h(x)由于函数f(x)在x要证fx1+fx2>2,只需证设φ(x)=所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增,φ所以k(x)在(0,+∞)故当x∈(0,+∞)时,ex+所以f-x2【点睛】第一问函数f(x)有两个极值点实质上就是其导数f'(x)有两个零点,亦即函数y第二问是极值点偏移问题的泛化,是拐点的偏移,依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系,如本题中的x1【例2】已知函数f(x)=ex-a（1）求函数f((2)求证:x>0时,【解析】(1)由f(x)=因为曲线y=f(x)所以f'(1)=e-2a=e-2,所以令g(x)=所以x∈(-∞,ln⁡2)时,gx∈(ln⁡2,+∞)时,g所以g(x)min=g(ln⁡2)=2-2ln⁡2(2)由(1)知f(所以y=(x)在x=1处的切线为令h(则h'且h'x∈(-∞,ln⁡2)时,hx∈(ln⁡2,+∞)时,h因为h'(1)=0,所以因为h'所以存在x0∈(0,1),使x∈x∈x0x∈(1,+∞)时,h又h(0)=h(1)=0,所以x即ex-x今ेφ(x)=ln⁡所以x∈(0,1)时,φx∈(1,+∞)时,φ'(x)因为x>0,所以x(ln⁡x+1)⩽即x>0时,强化训练1.若关于x的不等式a-ax>ex(2x-1)(a>-1)【答案】C【解析】设g(不等式a-ax>h'(x)=ex(2x+1)h(x)在-∞,-作出g(x)的图象如图所示,直线g(x)=a-ax过定点(1,0).若不等式g(x)>h2.已知关于x的不等式ln⁡x+x-4ex>ax的解集中只有两个整数,则实数a的取值范围为（）【答案】A【解析】依题意,a<令h(则h'令φ(x)=ln⁡x+x-5又φ(3)=ln⁡3-2所以存在t∈(3,4),使得φ(即h'(x当x∈(t,+∞),φ(因为h(1)=-且当x>3时,又|h故要使不等式ln⁡x+x-4e故选:A.3.已知函数f(x)=ln⁡(2)定义:对于函数f(x),若存在x0,使fx0=x0【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),(1)当Δ=a2-4⩽0时,即-2⩽a⩽2所以f'(x所以f(x)(2)当Δ>0,即a<-2当a<-2时,由得x<-a-a2-4在-a在-a当a>2时,由f'所以f(x)综上:当a<-2时,f(在-a在-a当a⩾-2时,f(x(2)F(因为F(x)存在不动点,所以方程F令h(h'令h'(x当x∈(0,1)时,h当x∈(1,+∞)时,h所以h(x)⩾h(1)=e+1,当a⩾e+1时,【点睛】导数式含参数时,如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点,般采用求根法和图像法.(1)对函数f(x)求导,结合二次函数的性质讨论a的范围,即可判断f(x)的单调性;(2)由F(x)存在不动点,得到F(x巧用放缩法知识与方法放缩法就是针对不等式的结构特征,运用不等式的性质,将不等式的一边或两边进行放大或缩小,也就是对代数式进行恰到好处的变形,使问题便于解决.放缩法大致分为以下几类:1.将代数式中的分母和分子同时扩大和缩小;2.利用均值不等式或其它的不等式放缩数式;3.也可以在不等式两边同时加上或减去某一项;4.可以把代数式中的一些项进行分解再重新组合,这样就可以消去一些项便于求解,这也是我们常用的裂项法.导数的解答题中,经常会用到一些不等式进行放缩,主要分为五类:1.切线不等式(1)ex⩾x+1;(2)2.与三角有关的一些不等式(1)当x⩾0时,sin⁡(2)当0⩽x⩽π(3)当0<x<π(4)当0<x⩽π3.一些常见不等式(稍微提高)(1)当x>1时,(2)当0<x<1(3)对数平均不等式:∀x4.一些不常见的不等式(1)当x>0时,(2)当0<x<1时,ln⁡1+x5.偶尔用上的不等式当n>1,n∈（当且仅当x=0在解答导数问题时,我们经常使用到函数的切线、割线逼近进行放缩,两个常用的结论为ln⁡x⩽x-1(当且仅当x=1典型例题指数放缩【例1】已知函数f(x)=(1)讨论f((2)证明:对任意的a⩾1,当x>0【解析】(1)求导,得f'当a⩾0时,f'(当a<0时,令f'当x∈-∞,ln⁡-当x∈ln⁡-综上,当a⩾0时,f(x当a<0时,f(x)(2)解法1:指对处理技巧xe当a⩾1,x>即aex-令g(则g'(i)当a⩾3e故当x∈(0,1)时,g当x∈(1,+∞),所以g(x)⩾(ii)当1⩽a<3e吋,令g'当x∈(0,3-当x∈(3-又g(0)=1-1a⩾0,g综上,对任意的a⩾1,当x>0解法2:指对处理技巧ex当a⩾1,x>0时,要证即证ex令g(则g'当a⩾1时,aex令h(x)=ex故h(x)单调递增,h所以x∈(0,1)时,g当x∈(1,+∞)时,g所以g(x)⩾g(1)=0综上,对任意的a⩾1,当x>0解法3:直接讨论法当a⩾1,x>即aex-e则g'(x)=a(i)当a⩾2时,g故g'(x)单调递增,又g'当x∈(1,+∞)时,g所以g(x)⩾当1⩽a<2时,令g当x∈当x∈(ii)当2e-1⩽a又g'(1)=0,g'ln⁡当x∈(1,+∞)时,g所以g(x)⩾(iii)当1⩽a<2又g'ln⁡2a<当x∈0,x当x∈x0又g(0)=a-1⩾0,g(1)=0综上,对任意的a⩾1,当x>0解法4:主元放缩+指数放缩法当a⩾1,x>0时,要证令g(x)=ex-ex当x∈(-∞,1),当x∈(1,+∞),所以g(x)⩾g(1)=0故aex-e要证aex-e策略一:直接讨论法令h(则h'(x)=e当x∈(0,ln⁡2)时,h当x∈(ln⁡2,+∞)时,h又h'因此存在唯一x0∈(0,ln⁡2),使得当x∈0,x0时,又h(0)=0,h(1)=0,故此时h综上,对任意的a⩾1,当x>0策略二:指数处理,同解法1即证1-ex+(则g'令g'(x)=0,得当x∈(0,3-e),(1,+∞)时,g当x∈(3-e,1)时,g又g(0)=0,g(1)=0,故此时g综上,对任意的a⩾1,当x>0策略三:指对处理,同解法2即证ex令g(x)=令h(x)=ex-x从而h(x)>h(0)=0当x∈(0,1)时,g当x∈(1,+∞)时,g所以g(x)⩾g(1)=0综上,对任意的a⩾1,当x>0【点睛】本题的第(2)问是一道开放性较强的试题,可以从多角度入手分析.当a⩾1,x>0时,要证f(x)⩾(即证g(x)=1-x2-(2-ae)x解法1采用的是整理为xex型函数,解法2则是整理为exx型的函数,解法2采用的是直接讨论.对于解法4,观察到所证不等式中含有ex与ex,即可联想到ex⩾e对数放缩【例2】已知函数f((1)求函数f((2)证明:在x>12且x【解析】(1)f'(令g(x)=ln⁡当x∈(0,1)时,g当x∈(1,+∞)时,g故g(x)>g(1)=0,即f综上,f(x)(2)解法1:放缩法今h(x)=当x∈(0,1),h'故h(x)⩾h(1)=0因此,当x∈12而此时x2+3另一方面,x∈(1,+∞),由(1)可知ln⁡因此x-1而x2+34-综上,不等式x-1ln⁡x<x解法2:等价变形当x∈12当x∈(1,+∞),即证x令F(x)=则F'(x则G'故G(x)故F'(x)<0故当x∈12,1时,当x∈(1,+∞)时,F(x综上,不等式x-1ln⁡x<x指对混合放缩【例3】已知函数f((1)讨论函数g((2)证明:f(【解析】(1)g((1)若a⩽0时,g'((2)若a>当x<-1当x>-1综上若a⩽0时,g(x若a>0时,g(x)(2)证明:要证f(只需证xln⁡由(1)可知当a=1时,ex-当x+1>0时,上式两边取以e为底的对数,可得用x-1代替x可得ln⁡x⩽所以ln⁡x所以x=从而不等式f(【例4】已知函数f(x)=ex-a(1)求a,(2)求函数f(x)(3)证明:当x>0时,【解析】(1)a=1,(3)即证:ex+(1-e)x-xln⁡x-1⩾0,因为故可猜测:当x>0且x≠1时,f下面证明:当x>0时,解法1:设φ(x)=今F(当x∈(0,ln⁡2)时,F当x∈(ln⁡2,+∞)时,F又φ所以,存在x0∈(0,1),使得当x∈0,x0∪(1,+∞)故φ(x)在0,x0又φ(0)=φ(1)=0,所以φ故ex由(2)知,ex⩾x+1,故x⩾ln⁡(所以ex+(2-e)x所以ex即ex+(1-e)x故当x>0时,解法2:要证xln⁡x-又x>0,可转化为证明令F(x)=ln⁡因为x>0,所以当x∈(0,1)当x∈(1,+∞)时,F所以F(x)有最大值F(1)=0,故F(三角放缩【例5】设a>0,且a≠1(1)若f(x)在区间(0,2π)(2)若f(x)在区间(0,2【解析】(1)f'(x)=acos⁡ax-acos⁡x=a(cos⁡ax-cos⁡x)=-2asin⁡a+12xsin⁡a-12x,若a>1解法1:将x0=2(1)当2aa+1⩽12,即0<a(2)当2aa+1>12,即当13<a由(1)(2)知fx解法2:由x0fx0=sin⁡以下用分析法可证:fx(2)(1)当a>1时,fπa=sin⁡a⋅(2)当12<afπ由零点存在定理可知,f(x)(3)当0<a⩽1令g(x)=cos⁡在区间(0,π)上,在区间(π,2π)上,g'(x故f(x)在(0,又f(0)=0,f(π)=sin⁡所以f(x)综上所述,若f(x)在区间(0,2π)含三角函数的指对放缩【例6】已知函数f(x)=(1)求证:当a⩽-1时,f(2)若函数g(x)=f(x)+ln⁡(【解析】(1)证明:f'(x当a⩽-1时,ex-所以函数f(x)(2)g(显然x=0是g(x)的极小值点的必要条件,为此时g'(xg'当x∈-1故11+令m(x)=1+x故当x<0时,m(令h(x)=sin⁡x-12x,则h'故当-1<x<0时,h故当x∈g'因此,当a=2时,x=0是综上,存在a=2,使得g(x【点睛】本题第(2)问先由必要性探路可知a=2,再证明当a=2时,x=0【例7】已知函数f(x)=2ln⁡(x+1)+sin⁡(1)讨论函数g((2)证明:当x⩾0时,f(3)证明:当x>-1时,【解析】(1)g(x)当a<0时,g'(x当a>0时,令g'(x)>0令g'(x)<0,得0综上所述,当a<0时,g(当a>0时,g(x)(2)解法1:作差法+直接求导设函数h(x)=因为x⩾0,所以2x+1从而h(x)所以h(x)=解法2:常用不等式+兵分两路当a=1时,g(x)=x所以ln⁡x⩽x令φ(x)=x-sin⁡所以当x⩾0时,有φ(x所以f((3)证明:当a=1时,g由(1)知g(x)min=g(1)=0所以(x从而x2所以f(强化训练1.已知函数f(x)=(1)求a,并求f((2)证明:当0<m⩽e,x【解析】(1)f由题意可得,f'(0)=1-af(由f'(x)>0由f'(x)<0(2)证明:由(1)可知f(x)在(-∞,0)故f(即x+1ex所以ex-2⩾又因为x>0,所以所以xe因为x>1,所以因为0<m⩽e,所以令g(x)=由g'(x)>0可得,x由g'(x)<0可得,x所以g(x)⩾g(e)=0所以xe由于取等条件不同,所以xe2.已知函数f((1)若曲线y=f(x)(2)证明:f(【解析】(1)f'(x)=1x-因为曲线y=f(x)解得a<0或a>e,则(2)f'当x∈(0,e)时,f'(x)所以f(设函数g(x)=当x∈0,22时,g'