河北省承德实验中学人教版高中数学选修1-1导学案3.2.2

承德实验中学高二年级（数学）导学案班级：；小组：；姓名：；评价：；选修11第三章导数的运算法则课型课时2主备人：张君昕审核人鲁文敏时间能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数．重点：导数的四则运算法则及其运用．难点：导数的四则运算法则的理解运用．方法：合作探究一新知导学思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y＝sinx，y＝cosx的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，则：(f(x)±g(x))′＝________________；(f(x)·g(x))′＝______________________．2．设函数f(x)、g(x)是可导函数，且g(x)≠0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A．1B．eq\r(2)C．－1D．02．函数y＝x4＋sinx的导数为()A．y′＝4x3 B．y′＝cosxC．y′＝4x3＋sinx D．y′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是()A．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′C．(eq\f(sinx,x2))′＝eq\f((sinx)′－(x2)′,x2)D．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx4．求下列函数的导数(1)y＝2x2－3x＋1，y′＝__________.(2)y＝(x＋2)2，y′＝__________.(3)y＝sinx＋cosx，y′＝__________.(4)y＝tanx，y′＝__________.(5)y＝(x＋2)(3x－1)，y′＝__________.二．例题分析例1函数的下列导数求：(1)y＝(x＋1)2(x－1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝eq\f(1,x)＋eq\f(2,x2)＋eq\f(3,x3)；(4)y＝xtanx－eq\f(2,cosx).（5）y＝sin2x练习：求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝x－sineq\f(x,2)·coseq\f(x,2).例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式．作业基础题一、选择题1．曲线y＝－x2＋3x在点(1,2)处的切线方程为()A．y＝x＋1B．y＝－x＋3C．y＝x＋3 D．y2．函数y＝x·lnx的导数是()A．y′＝xB．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx＋1 D．y′＝lnx＋x3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A．eq\f(19,3)B．eq\f(16,3)C．eq\f(13,3)D．eq\f(10,3)4．曲线运动方程为s＝eq\f(1－t,t2)＋2t2，则t＝2时的速度为()A．4B．8C．105．函数y＝eq\f(cosx,x)的导数是()A．y′＝－eq\f(sinx,x2) B．y′＝－sinxC．y′＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2) D．y′＝－eq\f(xcosx＋cosx,x2)6．若函数f(x)＝f′(1)x3－2x2＋3，则f′(1)的值为()A．0B．－1C．1二、填空题7．函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，则f′(x)＝________.8．若函数f(x)＝eq\f(1－sinx,x)，则f′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．三、解答题10．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x)的图象在x＝a处的切线平行于直线AB．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq\f(3,2)，则切点的横坐标为()A．ln2B．－ln2C．eq\f(ln2,2)D．－eq\f(ln2,2)2．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为()A．eq\f(π,2)B．0C．钝角D．锐角3．曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－24．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()A．e－1B．－1C．－e－1D．－e二、填空题5．直线y＝4x＋b是曲线y＝eq\f(1,3)x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.三、解答题7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd7.1－eq\f(1,x2)eq\f(π－1,π2)310.[解析]直线AB的斜率kAB＝－1，f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(a)＝－1(0<a<1)，即3a2－2a－1＝－1，解得a＝eq\f(2,3).提高题acac－eq\f(4\r(2),3)y＝－3x7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，可知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2b＋c＝6，,－1＋b－c＋2＝1.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－c＝－3，,b－c＝0，))解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.8.[解析](1)∵f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为13x－y－32＝0.(2)解法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，又∵直线l过原点(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)，又∵k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，解之得，x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1，∴eq