2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第38讲零点存在的判定与证明含解析

第38讲零点存在的判定与证明零点问题是导函数的一个重要研究方向,也是一个重点和难点,属于一元等式问题,其求解需要综合前面的极值、单调性和最值来考虑.而极值点本身又是导函数的零点,所以这里会层层环绕,分析起来比较麻烦,这是零点问题的一个难点.第二个难点是结合函数单调性和零点存在定理来赋值找零点,这里会涉及不等式放缩法,如果不太理解赋值问题,等学习了不等式放缩法后,专门讲解赋值问题,那时再回过头来理解.下面我们先来学习与零点相关的定义和定理.1.函数的零点:一般的,对于函数,我们把方程的实数根叫作函数的零点.2.零点存在性定理:如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,并有,那么函数在区间内必有零点,即,使得.注意:零点存在性定理使用的前提是在区间连续,如果是分段的,那么零点不一定存在.3.零点存在定理的推论:若在上是严格单调函数且连续,则在的零点唯一.4.函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系.设函数为,则的零点即为满足方程的根,若,则方程可转变为,即方程的根在坐标系中为交点的横坐标,其范围和个数可从图像中得到.由此看来,函数的零点,方程的根,两图像的交点这三者各有特点,且能相互转化:函数的零点方程的根方程的根函数与的交点.在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化.【例】对于方程,无法直接求出根,可以拆分构造函数图像的交点,画出图像可判定其零点必在中.求无参函数零点求解无参函数零点的一般解题步骤:第一步:利用导函数求出原函数的单调性和极值点,画出函数大概的趋势图(能够描述函数性质的图像).第二步:在严格的单调区间上找点,使得在上存在唯一零点.注意:若在区间,,存在唯一极大值,且极大值小于零或者存在唯一极小值,且极小值大于零,则这个区间上不存在零点.【例1】已知函数.(1)求的单调区间.(2)判断的零点的个数,并说明理由.【解析】(1)由题意知,的定义域为,令,得或,当,即或时,单调递增.当,即时,单调递减.的单调递增区间是和,单调递减区间是.(2)由(1)题可知,当时,,在上无零点.当时,,又在上单调递增,在上仅有一个零点.综上可知,函数在上仅有一个零点.【例2】已知函数.(1)求函数的单调区间.(2)判断函数零点的个数,并说明理由.【解析】(1)由题意得,令得.与在区间上的情况如下表所示:, 3 0 0 单调递增单调递减单调递增函数在区间上单调递增.函数在区间上单调递减.(2)根据(1)题,由函数单调性可知:当时,有极大值.当时,有极小值.在区间单调递增,在区间上单调递减,可知在上,恒有,无零点.当时,.(举【例】不唯一)函数在上单调递增,由零点存在定理可知,有且只有一个实数,使得.函数有且只有一个零点.讨论含参函数零点个数——分类讨论讨论含参函数在区间上零点个数的一般解题步骤:第一步:利用导函数求出原函数的单调性和极值点,通常极值点用参数表示:.第二步:讨论出函数在区间上的单调性,通常分为极值点在区间的左、中、右三种情况讨论.第三步:结合函数单调性和极值和零点存在定理的推论来确定零点个数,我们通常分为情况讨论:(1)函数在区间上严格单调,若满足在上存在唯一零点.若不满足在上不存在零点.(2)若在区间上,存在唯一极大值,则分为下面三种情况:①极大值在上不存在零点.②极大值在上存在唯一零点.③极大值若,,则在上存在两个零点.若,则在上存在一个零点.若,则在上无零点.【例1】已知函数是自然对数的底数),讨论在区间上零点的个数.【解析】(1)当时,在上单调递增且,在上有一个零点.(2)当时,在上单调递减,在上有一个零点(3)当时,在上单调递减,在上单调递增.而,①当,即时,在上有两个零点.②当,即时,在上有一个零点.综上所述,当或时,在上有一个零点.当时,在上有2个零点.【例2】已知函数,其中是自然对数的底数,,讨论函数零点的个数,并说明理由.【解析】由,得或.设,又,即不是的零点.只需再讨论函数零点的个数.,当时,单调递减.当时,单调递增.当时,取得最小值.①当,即时,无零点.②当,即时,,有唯一零点.③当,即时,,在上有且只有一个零点.令,则.设,则,在上单调递增.,都有.在上有且只有一个零点.当时,有两个零点.综上所述,当时,有一个零点.当时,有两个零点.当时,有三个零点.求含参函数零点个数——参变分离【例1】已知函数是自然对数的底数),求函数的零点的个数.【分析】由,得,构造函数,然后利用导数求出其单调区间和极值,画出此函数的图像,再判断图像与直线的交点情况,从而可得答案.【解析】显然0不是函数的零，点,由得.令,则.或时,时,.在和上都是减函数,在上是增函数.时取极小值,又当时,,时,关于的方程无解.或时关于的方程只有一个解.时,关于的方程有两个不同解.因此,时函数没有零点.或时函数有且只有一个零点.时,函数有两个零点.由零点个数求参数取值范围——分类讨论这里分类讨论的步骤和前面讨论零点个数的步骤类似,不再复述,不同的是需要选取符合题设零点个数要求的参数范围,以及会用不等式放缩来赋值找零点(在后面的章节中会有详细讲解),我们也可以通过取极限的方式来粗糙地确定零点,在考试时,这也是一种较快的解题方式,一般来说,判卷不严格也算对,但也可能会扣分.【例1】已知函数R).(1)讨论的单调性.(2)若有两个零点,求实数的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为.①当时,由,知函数在内单调递增.②当时:由,即得.由,即得.函数在内单调递增,在内单调递减.综上,当时,在内单调递增.当时,在内单调递增,在内单调递减.(2)当时,则函数在上为增函数,函数最多一个零点,不合乎题意,舍去.当时,由(1)题知,函数在内单调递增,在内单调递减.且当时,.当时,,则,即,解得.因此,实数的取值范围是.【例2】已知函数,(为自然对数的底数,且).（1）讨论的单调性.（2）若有两个零点,求的取值范围。【解析】(1).①当时,,则当时,,故在单调递减.当时,,故在单调递增.②当时,由得,.若,则,故在上单调递增.若,则当或时,,故在和单调递增.当时,,故在单调递减.(2)①当时,在上单调递增,不可能有两个零点.②当时,在,单调递增,在单调递减,故当时,取得极大值,极大值为.此时,不可能有两个零点.③当时,,由得.此时,仅有一个零点.④当时,在单调递减.在单调递增..有两个零点,.解得.而.取,则.故在各有一个零点.综上,的取值范围是.【例3】已知函数,若函数有两个零点,求实数的取值范围.【解析】函数的定义域为.由..①当时,,此时单调递增,最多只有一个零点.②当时,令.由,可知函数单调递增.又,可得存在,使得,有,可知函数的单调递减区间为,单调递增区间为.若函数有两个零,点,必有 得.又由令,有,令,可得.故函数的单调递增区间为,单调递减区间为,有.当时,.可得此时函数有两个零点.由上可知,若函数有两个零点,则实数的取值范围是.由零点个数求参数取值范围——参变分离参变分离法解已知含参函数在区间上零点个数,反求参数取值范围问题的一般步骤:第一步:的零点方程的解,参变分离后得.第二步:利用导函数研究出函数的函数图像.第三步:讨论常值函数和函数图像在区间上的交点个数，即为在区间上零点个数.【例1】已知函数R),若有唯一零点,求的取值范围.【解析】由有唯一零点,可得方程,即有唯一实根.令，则由,得.由,得.在上单调递增,在上单调递减.又,当时,.又当时,,由得图像(如下图所示)可知,或.【例2】已知函数,若有两个零点,求的取值范围.【解析】若有两个零,点,即有两个解.从方程可知,不成立,即有两个解.令,则有.令,解得.令,解得或.函数在和上单调递减,在上单调递增,且当时,,而时,.当时,.当有两个解时,有,满足条件的的取值范围是.【例3】已知函数,若有3个零点,求实数的取值范围.【解析】由得,即,(1)显然是方程0的一个解,即为的一个零点.(2)当时,由,得.令