2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第21讲定值问题的核心思路含解析

第21讲定值问题的核心思路所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些量在变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变，即为定值．定值问题的解题目的：消掉所有参数，得到某个量为一个无参的数值，即为定值，可以是面积、线段长度、向量积和斜率为定值．常用消参方法：（1）等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．（2）分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．（3）因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．（4）参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．面积定值所谓面积定值问题，就是证明一个图形的面积为定值，我们需要把所有参数消掉，这里消参的方式主要会用到两种：分式相除消参和等式带用消参，这两种方法也往往是结合起来的，请慢慢体会．方法一：分式相除消参【例1】如下图所示，已知双曲线，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于，两点，为坐标原点．求证：面积为定值，并求出该定值．【解析】证明由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，消整理得，．设与轴交于一点，则，，双曲线两条渐近线方程为：，联立得．联立得．则（定值）．【例2】如下图所示，点为椭圆：上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：四边形的面积为定值．【解析】证明∵椭圆的方程为：，∴，．设，则1，即．则直线的方程为：，令，得．同理，直线的方程为：，令，得．∴．即四边形的面积为定值2．等式带入消参【例1】如下图所示，若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于．试探求的面积是否为定值，并说明理由．【解析】证明由直线与椭圆交于两点，联立方程，整理得．设，，则，，．∵，∴．∴．原点到的距离，∴．【例2】直线与椭圆交于两点，在椭圆上且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．【解析】证明设，，，联立，消去并整理得，则，，．∵四边形为平行四边形，∴，得点，将点坐标代入椭圆方程得．点到直线的距离为，，∴平行四边形的面积为，故四边形的面积为，为定值．【例3】点在椭圆上，点是椭圆上与点不重合的任意两点，若的重心是坐标原点，试证明：的面积为定值，并求出该定值．【解析】证明最多只有条边所在直线与轴垂直，不妨设所在直线与轴不垂直，其方程为．∵的重心是，∴不在直线上，．联立，消去整理得．设，，则，且，．从而．设点．∵的重心是坐标原点，∴．∴，．∵点在粗圆上，∴，即，且符合．点到直线的距离为，的面积，∵即，∴，为常数．向量积定值【例1】如下图所示，过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．【解析】证明设直线的方程为（一定存在，且）．联立，消去并整理得．【解析】得，于是．易知点，∴的斜率为．∵，∴直线的方程为．联立，【解析】得．故，为定值．【例2】设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求出此定值．存不是，说明理由．【解析】证明（1）当切线的斜率不存在时，其方程为．将代入得．不妨设，，又由于点，∴．同理，当时，也有．（2）当切线的斜率存在时，设方程为，点，点．∵直线与苦相切，∴，即．将代入得，∴，．又．又．将代入上式得．综上，，为定值．斜率定值所谓斜率定值是关于两直线斜率的和、积或者商为定值的问题，其【解析】题思路依然是想办法消参．题型一：斜率的和为定值【例1】过点的直线与椭圆：相交于两点，设点，直线的斜率分别为，是否为定值？并证明你的结论．【解析】（1）当直线的斜率不存在时，由，解得．设，，，为定值．（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入，整理化简得．依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，则，，又，，∴．综上得为定值2．【例2】已知点，，过点的直线交椭圆于两点，直线的斜率分别为．求证：为定值．【解析】证明∵过点的直线与椭圆交于两点，∴直线的斜率一定存在，设斜率为，则直线的方程为：．设，．联设，消得，∴．∵，∴．∴．综上，为定值2．斜率的积为定值【例1】如下图所示，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，的面积为1．（1）求椭圆的方程．（2）若点，点是椭圆上的两点，且，记直线的斜率分别为．证明：为定值．【解析】（1）由题意知，由于，解得，故的方程为．（2）由（1）题得，，直线的斜率为．∵，故可设的方程为．设点，点，联立，消去得，∴，从而．直线的斜率，直线的斜率．∴．故为定值．【例2】已知椭圆的方程为，若直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与圆交于两点，直线的斜率分别记为．试判断是否为定值，若是，求出该定值．否则，请说明理由．【解析】为定值．理由如下：（1）当过点的直线斜率不存在时，直线的方程为．①当时，，，则．②当时，，，则．（2）当过的直线斜率存在时，设其方程为，，．联立，消去整理得．由题意知得．联立，消去整理得．则，．∴．综上，为定值．斜率的商为定值【例1】如下图所示，点为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值．【解析】证明法一：设直线为，代入椭圆方程消去可得．∴，．则，即，∴，即为定值．法二：设直线为，代入椭圆方程消去得，则，．∴∵，，代入得．即为定值．【例2】过点斜率为的直线交抛物线于两点，点，延长分别与抛物线交于两点，设的斜率为．证明：为定值．【解析】设点，点，点，点，由题意可知直线的方程为，代入抛物线中，消去得，则，．由直线过点，可得，∴，．于是，即，故为定值，命题得证．线段定值【例1】设椭圆的左、右顶点分别为点，左焦点为点，过点的直线与椭圆交于两点（点和点均不在坐标轴上），直线分别与轴交于点，直线分别与轴交于点．求证：为定值，并求出该定值．【解析】证明由题意知，，，．∵直线不与轴垂直，且不过椭圆的上、下顶点，∴可设直线的方程为．设，．联立，消去整理得．．由韦达定理得，．直线的方程为，∴点．同理，．∴．直线的方程为，点．同理，点．∴．由题意，，故．【例2】过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且．求证：为定值．【解析】证明设直线方程：，，联立得．由韦达定理得，，，则，，．设直线方程为且令，联立，得，由韦达定理得，，∴，，∴定值为．【例3】过椭圆的右焦点的直线（的斜率存在）交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点．问：是否是定值？若是，求出定值：老不是，说明理由．【解析】分以下两种情况讨论．（1）当直线斜率不为时，设其方程为，且，，联立，消去得，则，且，∴弦的中点的坐标为，则弦的垂直平分线方程为，令，得，∴，又，∴．（2）当直线斜率为时，则，，则．综合（1）式，（2）式得是定值，且为．【例4】如下图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点