2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第15讲参数方程解决最值和范围问题含解析

第15讲参数方程解决最值和范围问题参数方程的核心在于引入参数作为中间变量来统一坐标,把双元问题转化为单元问题,结合三角函数来求解距离最值问题和范围问题.解题时需要设出曲线上的点,的参数坐标,再代人距离公式计算即可.坐标最值【例1】已知圆的极坐标方程为。.(1)将极坐标方程化为直角坐标方程.(2)若点在该圆上,求1的最大值和最小值.【解析】(1)已知圆的极坐标方程为,整理得,即,圆的直角坐标方程为.(2)由(1)题知,圆的直角坐标方程为,圆的参数方程为（其中为参数,),点的坐标为在该圆上,的坐标为,【例2】在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线和曲线的直角坐标方程.(2)设为曲线上的任意一点,求的取值范围.【解析】(1)已知直线的参数方程是(其中为参数),消去参数可得直线的直角坐标方程:.由得,整理得,故由线的直角坐标方程为.(2)根据(1)题得曲线的直角坐标方程:.令,则,.的取值范围是.点到点的距离【例1】在直角坐标系中,曲线的直角坐标方程为,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程.(2)点为曲线上一动点,点为曲线上一动点,试求的最小值.【解析】(1)将代入曲线的极坐标方程,整理得曲线的直角坐标方程为.(2)根据已知,设点坐标为,,曲线是一个圆,其圆心为,.【例2】在极坐标系中,点的坐标为的坐标为,曲线的极坐标方程:.以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)在直角坐标系中,求点的直角坐标及曲线的参数方程.(2)设点为曲线上的动点,求的取值范围.【解析】(1)已知,【解析】得.,,即.曲线的参数方程为(其中为参数).(2)不妨设点的坐标为,,点线距离问题【例1】在平面直角坐标系中,直线的参数数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线和直线的直角坐标方程.(2)设点为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值.【解析】(1)曲线的直角坐标方程为,将代入直线的极坐标方程,得的直角坐标方程为.(2)设点,的坐标为,则点.到直线的距离,当时,距离最小,最小值.【例2】在极坐标系中,直线4,圆.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.(1)求直线的直角坐标方程和圆的参数方程.(2)已知点在圆上,点到和轴的距离分别为,求的最大值.【解析】(1)的极坐标方程为4,整理得.直线的直角坐标方程为.圆的极坐标方程为,整理得,圆的直角坐标方程为.由得圆的参数方程为（其中为参数,且.(2)设点的坐标为,则.当时,取得最大值7.【例3】已知曲线,直线:(其中为参数).(1)写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程.(2)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.【解析】(1)曲线的参数方程为 直线的直角坐标方程为.(2)曲线上任意一点到的距离,则.其中为锐角,且.当时,取到最大值，最大值为.当时,取到最小值,最小值为.【例4】在平面直角坐标系中,椭圆的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(1)求经过椭圆右焦点且与直线垂直的直线的极坐标方程.(2)若点为椭圆上任意一点,当点到直线的距离最小时,求点的直角坐标.【解析】(1)已知椭圆的参数方程为（其中为参数）,消去参数,整理得,椭圆的标准方程为.椭圆的右焦点为