2023届高考数学二轮复习微专题5三角形中的范围最值问题含解析

Page1微专题5三角形中的范围(最值)问题三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，解决此类问题要善于利用三角形的性质或者巧妙地引入参数．本专题主要对以三角形为载体的最值问题进行探究，并在解题过程中感受三角、解集、函数、不等式等知识的整体联系.例题：(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD＝1，求4a＋c的最小值．变式1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a＋c，b)，n＝(cosB，cosC)，且m，n垂直．(1)求角B的大小；(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD＝1，设BC＝x，BA＝y，试确定y关于x的函数关系式，并求边AC的取值范围．

变式2如图，某水域有两条直线型岸边l1和l2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A相距1km的D处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B，C分别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区，且AB和AC的长都不超过5km，设AB＝xkm，AC＝ykm，(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？串讲1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，△ABC周长为7，求BC边上的中线AD的最小值．串讲2在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝eq\f(π,2)，OP＝2eq\r(2)，点M在线段PQ上，点N在线段MQ上，且∠MON＝eq\f(π,6).(1)设∠POM＝α，试用α表示OM，ON，并写出α的范围；(2)当α取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．(2018·全国大联考)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(c＋a，b)，n＝(c－a，b＋c)，且a＝3，m⊥n.(1)求△ABC面积的最大值；(2)求b＋c的取值范围．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且4S＝eq\r(3)(a2＋c2－b2)．(1)求∠B的大小；(2)设向量m＝(sin2A，3cosA)，n＝(3，－2cosA)，求m·n的取值范围．答案：(1)eq\f(π,3)；(2)(－6，3eq\r(2)－3]．解析：(1)由题意，有4×eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3)(a2＋c2－b2)，2分则sinB＝eq\r(3)×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，所以sinB＝eq\r(3)cosB.4分因为sinB≠0，所以cosB≠0，所以tanB＝eq\r(3).又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).6分(2)由向量m＝(sin2A，3cosA)，n＝(3，－2cosA)，得m·n＝3sin2A－6cos2A＝3sin2A－3cos2A－3＝3eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,4)))－3.8分由(1)知B＝eq\f(π,3)，所以A＋C＝eq\f(2π,3)，所以0<A<eq\f(2π,3).所以2A－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(13π,12))).10分所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,4)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1)).12分微专题5例题1答案：9.解法1由S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，得eq\f(1,2)c·1·sin60°＋eq\f(1,2)a·1·sin60°＝eq\f(1,2)acsin120°，所以，a＋c＝ac.即eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝1.所以4a＋c＝(4a＋c)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,c))＝5＋eq\f(c,a)＋eq\f(4a,c)≥5＋2eq\r(\f(c,a)·\f(4a,c))＝9.当且仅当c＝2a即a＝eq\f(3,2)，c＝3取等号，所以4a＋c的最小值为9.解法2如图作DE∥AB交BC点E，所以∠EDB＝∠DBA＝∠DBE＝60°，因为BD＝1，所以△BDE是边长为1的正三角形，eq\f(CE,CB)＝eq\f(DE,AB)，即eq\f(a－1,a)＝eq\f(1,c)，变形得a＋c＝ac，变形得eq\f(4,4a)＋eq\f(1,c)＝1.于是1＝eq\f(4,4a)＋eq\f(1,c)≥eq\f(（2＋1）2,4a＋c)，解得4a＋c≥9，当且仅当4a＝2c，当且仅当c＝2a即a＝eq\f(3,2)，c＝3时取等号，所以4a＋c的最小值为9.解法3设∠BDC＝θ，易得60°<θ<120°，在△BDC中，eq\f(BC,sinθ)＝eq\f(BD,sinC)，因为BD＝1，sinC＝sin(θ＋60°)，所以a＝eq\f(sinθ,sin（θ＋60°）)，同理c＝eq\f(sinθ,sin（θ－60°）).所以4a＋c＝eq\f(4sinθ,sin（θ＋60°）)＋eq\f(sinθ,sin（θ－60°）)＝eq\f(4sinθ,\f(1,2)sinθ＋\f(\r(3),2)cosθ)＋eq\f(sinθ,\f(1,2)sinθ－\f(\r(3),2)cosθ)＝eq\f(8,1＋\f(\r(3),tanθ))＋eq\f(2,1－\f(\r(3),tanθ))≥eq\f(（2\r(2)＋\r(2)）2,（1＋\f(\r(3),tanθ)）＋（1－\f(\r(3),tanθ)）)＝9.当且仅当2eq\r(2)(1－eq\f(\r(3),tanθ))＝eq\r(2)(1＋eq\f(\r(3),tanθ))时取等号，即tanθ＝3eq\r(3)时4a＋c取最小值9.解法4以B为坐标原点，BC为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则A落在第二象限，设直线AC的方程为y－eq\f(\r(3),2)＝k(x－eq\f(1,2))，其中－eq\r(3)<k<0，令y＝0得xC＝eq\f(k－\r(3),2k)>0，即a＝eq\f(k－\r(3),2k)，由于直线BA的方程为y＝－eq\r(3)x代入y－eq\f(\r(3),2)＝k(x－eq\f(1,2))，解得xA＝eq\f(k－\r(3),2（k＋\r(3)）)<0，所以c＝－2xA＝eq\f(\r(3)－k,（k＋\r(3)）)>0，则4a＋c＝eq\f(2（k－\r(3)）,k)＋eq\f(\r(3)－k,\r(3)＋k)＝1＋2eq\r(3)(eq\f(1,－k)＋eq\f(1,k＋\r(3)))≥1＋2eq\r(3)×eq\f(（1＋1）2,－k＋k＋\r(3))＝9.当且仅当－k·1＝(k＋eq\r(3))·1，即k＝－eq\f(\r(3),2)时取等号，所以4a＋c的最小值为9.变式联想变式1答案：(1)eq\f(2π,3)；(2)[2eq\r(3)，＋∞)．解析：(1)因为m⊥n，所以(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，在△ABC中，由正弦定理得(4R·sinA＋2R·sinC)cosB＋2R·sinBcosC＝0，所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0，即2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0，即sinA(2cosB＋1)＝0，因为A，B∈(0，π)，所以sinA≠0，解得cosB＝－eq\f(1,2)，B＝eq\f(2π,3).(2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，S△ABC＝eq\f(1,2)xysineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),4)xy，S△ABD＝eq\f(1,2)ysineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),4)y，S△BCD＝eq\f(1,2)xsineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),4)x，所以xy＝x＋y，即y＝eq\f(x,x－1)，x∈(1，＋∞)．在△ABC中，由余弦定理得AC2＝x2＋y2－2xycoseq\f(2π,3)＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝(x＋y－eq\f(1,2))2－eq\f(1,4)，因为x＋y＝xy≤eq\f(（x＋y）2,4)，x>0，y>0，所以x＋y≥4，所以AC2≥(4－eq\f(1,2))2－eq\f(1,4)，所以AC≥2eq\r(3).所以AC的取值范围是[2eq\r(3)，＋∞)．变式2答案：(1)y＝eq\f(x,x－1)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(5,4)≤x≤5))；(2)eq\r(3).解析：(1)由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得，eq\f(1,2)xsin60°＋eq\f(1,2)ysin60°＝eq\f(1,2)xysin120°，所以x＋y＝xy，所以y＝eq\f(x,x－1)，又0<y≤5，0<x≤5，所以eq\f(5,4)≤x≤5，即定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(5,4)≤x≤5)).(2)设△ABC的面积为S，则结合(1)得S＝eq\f(1,2)xysinA＝eq\f(1,2)x·eq\f(x,x－1)·sin120°＝eq\f(\r(3)x2,4（x－1）)(eq\f(5,4)≤x≤5)，因为eq\f(x2,x－1)＝(x－1)＋eq\f(1,x－1)＋2≥4，当且仅当x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝2时取等号．故当x＝y＝2时，面积S取得最小值eq\r(3)平方千米．答：该渔民至少可以围出eq\r(3)平方千米的养殖区．串讲激活串讲1答案：eq\f(7\r(2),6).解析：设∠BDA＝θ，AD＝x，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠BDA，可得eq\f(15a2,4)－28a＋49＝x2－xacosθ，①在△ACD中，由余弦定理得eq\f(3a2,4)＝x2＋xacosθ，②，由①＋②可得2x2＝eq\f(9,2)a2－28a＋49＝eq\f(9,2)(a－eq\f(28,9))2＋eq\f(49,9)≥eq\f(49,9)，所以x≥eq\f(7\r(2),6)，当且仅当a＝eq\f(28,9)时等号成立，所以中线AD的最小值为eq\f(7\r(2),6).串讲2答案：(1)OM＝eq\f(2,sin（α＋\f(π,4)）)，ON＝eq\f(2,sin（α＋\f(5π,12)）)，0≤α≤eq\f(π,3)；(2)α＝eq\f(π,6)，8－4eq\r(3).解析：(1)在△OMP中，由正弦定理，得eq\f(OM,sin∠OPM)＝eq\f(OP,sin∠OMP)，即OM＝eq\f(2,sin（α＋\f(π,4)）)，同理ON＝eq\f(2,sin（α＋\f(5π,12)）)，0≤α≤eq\f(π,3).(2)S△OMN＝eq\f(1,2)OM·ONsin∠MON＝eq\f(1,sin（α＋\f(π,4)）×sin（α＋\f(5π,12)）)＝eq\f(1,sin（α＋\f(π,4)）×sin（α＋\f(π,4)＋\f(π,6)）)＝eq\f(1,\f(\r(3),2)sin2（α＋\f(π,4)）＋\f(1,2)sin（α＋\f(π,4)）cos（α＋\f(π,4)）)＝eq\f(1,\f(\r(3),4)[1－cos（2α＋\f(π,2)）]＋\f(1,4)sin（2α＋\f(π,2)）)＝eq\f(1,\f(\r(3),4)＋\f(\r(3),4)sin2α＋\f(1,4)cos2α)＝eq\f(1,\f(1,2)sin（2α＋\f(π,6)）＋\f(\r(3),4))，因为0≤α≤eq\f(π,3)，eq\f(π,6)≤2α＋eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，所以当α＝eq\f(π,6)时，sin(2α＋eq\f(π,6))的最大值为1，此时△OMN的面积最小．即α＝eq\f(π,6)时，△OMN的面积的最小值为8－4eq\r(3).新题在线答案：(1)eq\f(3\r(3),4)；(2)(3，2eq\r(3)]．解析：(1)因为m⊥n，所以(c＋a)(c－a)＋b(b＋c)＝0，即c2－a2＋b2＋bc