直线的点斜式方程教学设计高二上学期数学人教A版选择性

直线的点斜式方程一、内容和内容解析直线的点斜式方程、直线斜截式方程.（1）内容的本质教材关于直线的方程安排了三节内容：直线的点斜式方程、直线的两点式方程，直线的一般式方程.直线的方程是对平面直角坐标系中直线的代数刻画，是确定直线位置几何要素的完全代数刻画.虽然倾斜角是刻画直线倾斜程度的几何要素，但它无法直接用直线上任意两点的坐标定量刻画.而倾斜角的正切值可以用直线上任意两点的坐标定量刻画，这种刻画为我们研究直线的方程带来方便.直线的点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，从代数角度表达的是直线上任意一点坐标与直线的斜率以及所经过的定点坐标之间所满足的关系式，从几何角度表达的是已知定点坐标和倾斜角，则直线可唯一确定，那么给定任意一点是否在直线上就可以确定.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基础的，利用给定的点和斜率建立直线上任意一点满足的代数关系.直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推导出来的，斜截式是特殊的点斜式方程.点斜式从给定一点和一个方向向量可以唯一确定一条直线引入，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手，充分体现坐标法建立方程的一般思路，帮助学生体会直线的方程一方面表示直线上点的坐标都满足这个方程，另一方面表示满足这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础.发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.（2）知识上下位（3）育人价值直线点斜式和斜截式方程的推导、直线与方程之间的关系，培养学生的逻辑推理能力，直线方程的应用培养了学生的数学运算，在推导过程中体会数形结合、特殊与一般，分类讨论等数学思想方法，能用联系的观点看问题，发展几何直观和数学抽象等数学核心素养.（4）教学重点基于以上分析，本节课的重点是直线点斜式方程的建立及应用.目标和目标解析目标（1）经历利用斜率公式探索得到直线点斜式方程的过程，能准确的写出直线的点斜式方程，知道直线的点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，认识到点斜式方程的重要地位，发展学生的直观想象及逻辑推理核心素养.（2）通过点斜式方程中将几何要素“点”特殊化的过程，得到直线的斜截式方程，学会直线点斜式方程与斜截式方程的相互转化，发展学生的逻辑推理及数学运算核心素养.（3）体会特殊与一般、分类讨论等的数学思想方法的应用，能用联系的观点看问题，发展几何直观和数学抽象等数学核心素养.达成上述目标的标志是：（1）能说出平面直角坐标系中直线的几何特征及其代数表示，知道直线方程是对直角坐标系中直线几何特征的代数刻面.直线上所有点的坐标都满足这个方程，以这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.（2）学生经历由确定直线的几何要素（一点和方向）建立直线点斜式方程的过程，知道点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“交式”表达：知道斜截式方程是点斜式方程的特例，能够初步感悟平面解析几何中蕴含特殊与一般的数学思想.会根据已知点的坐标以及直线的斜率写出直线的点斜式方程.（3）学生会根据确定直线的几何要素写出直线方程，能说出直线的点斜式、斜截式中相关要素的几何意义，能进行方程的转化．知道点斜式方程是其他形式方程的基础.三、教学问题诊断分析学生在前一节课，已经学习了倾斜角和斜率的概念以及用坐标法表示过两点的直线斜率公式，经历了在平面直角坐标系中用代数方法刻画直线的几何特征的过程，在本单元中，学生要通过直线方程的建立，系统地学习在平面直角坐标系中用代数形式表示一个几何对象，体会坐标法的思想.由此本节的难点在于推导直线点斜式方程的过程中，对直线上点的坐标都满足这个方程，满足这个方程的点都在这条直线上的理解.为了突破以上难点，可以采用从特殊到一般、分类讨论的的思想，帮助学生从分析确定直线位置的几何要素入手，分析如何用代数方法刻画这些几何元素以及元素间的关系，认识直线的方程就是直线上所有点的几何特征的代数表示，进而是寻找如何用点的坐标刻画直线的几何特征，通过两点的直线斜率公式的变形，建立直线的点斜式方程.四、教学过程设计（一）旧知回顾问题1：直线的倾斜角和斜率之间的关系是怎样的？预设：.问题2：如果已知直线上两点的坐标，如何求解直线的斜率？预设：.问题3：怎样确定一条直线？师生活动：要求学生自主思考，举手回答，教师总结.预设：两点确定一条直线；给定一点和一个方向也可以唯一确定一条直线.在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率k（或倾斜角），就能唯一确定一条直线.也就是说，这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点的坐标和斜率k之间的关系是完全确定的.那么，这一关系如何表示呢？下面我们来研究这个问题.设计意图：本节课以直线几何要素为出发点，有利于课程的顺利展开.（二）概念生成及巩固应用问题1：在平面直角坐标系中，直线过点，斜率，是直线上不同于点的任意一点，则它的横坐标与纵坐标所满足的关系式是什么？预设：化简得追问1：请同学们思考当点与重合时，上面得到的关系式是否也成立？预设：成立.追问2：是否直线上的点都满足上式？预设：满足.追问3：横纵坐标满足关系式的点都是否都在该直线上？预设：若点的坐标满足关系式，则，当与重合，显然有在直线上.当，有，这表明过，的直线的斜率为2，因为直线与的斜率都为2，且都过点，所以它们重合，所以点在直线上问题2：在平面直角坐标系中，给定直线上一个定点和斜率，则直线上不同于该定点的任意一点的横坐标与纵坐标所满足的关系式是什么？预设：.设计意图：为直线点斜式方程的推导做准备.追问1：是否可以变形？变形前后有没有什么变化？预设：；变形前.设计意图：通过对直线上任意一点坐标与确定该直线的点和斜率关系的探究，体会直线上任意一点的坐标可以由给定点的坐标和斜率确定，这个关系式是唯一的.追问2:直线上每一个点的坐标都满足关系式吗？预设：满足.追问3:坐标满足关系式的每一个点都在直线l上吗？预设：若点满足关系式，则有当时，，这时点与重合，显然有点在直线l上；当时，有，这表明过点，的直线的斜率为k.因为直线l，的斜率都为k，且都过点，所以它们重合.所以点在直线l上.由此可得：直线l上任意一点的坐标一定满足关系式；坐标满足关系式的点一定在直线l上.我们把方程称为过点，斜率为k的直线l的方程.设计意图：通过追问的思考与分析，让学生明确：直线上每一个点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点都在直线上.从而理解解析几何中直线与它的方程是一一对应的关系.定义：方程由直线上一个定点及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.例1.直线l经过点，且倾斜角，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.师生活动：学生独立完成相互交流，在教师的指导下，共同完成以下作图过程预设：解：直线l经过点，斜率，代入点斜式方程得.画图时，只需再找出直线l上的另一点，例如，取，则，得点的坐标为，过，两点的直线即为所求，如下图所示.追问：例1中当倾斜角时，直线方程是什么？当倾斜角时，则直线方程是什么？预设：；.设计意图：巩固直线点斜式方程，学会利用直线的要素画出直线.问题3：直线经过点，且倾斜角为时，直线的方程是什么？它是点斜式么？直线经过点，且倾斜角为时，直线的方程是什么?它是点斜式么？预设：如图，当直线l的倾斜角为0°时，，即，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是，即，是点斜式.如图，当直线l的倾斜角为90°时，由于无意义，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，即.设计意图：进一步加深对点斜式的认识，结合图形了解特殊形式的方程.得出点斜式方程适用于斜率存在.问题4：如果斜率为k的直线l过点，这时直线的点斜式方程是什么?师生活动：学生思考，独立完成.预设：，即.定义：我们把直线l与y轴的交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.这样，方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中，k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.追问：截距是距离吗？预设：截距不是距离，截距可正可负可为零.设计意图：巩固直线点斜式方程，推导直线斜截式方程.斜截式方程中，最容易出错的就是截距的概念，这里将概念落实到位.问题5：如何从直线方程的角度认识一次函数？你能说出一次函数，，对应的图像的斜率和直线在轴上的截距是什么？预设：（1）从直线方程的角度看，它表示的是平面直角坐标系中一条直线上点的坐标所满足的代数关系.（2）一次函数中的x的系数k≠0,是常数，但直线的斜截式方程中的有实际意义，k可以为0，表达与x轴平行或重合的直线.（3）一次函数的解析式与直线的斜截式方程的形式一致，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，就是方程y=kx+b的直线.（4）对应的直线斜率为2，与轴交点为，直线在轴上的截距为；对应的直线斜率为，与轴交点为，直线在轴上的截距为3；对应的直线斜率为3，与轴交点为，直线在轴上的截距为0.设计意图：在问题3的基础上，通过问题4用不同的眼光看，了解一次函数与斜截式方程的联系与区别.例2已知直线，试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？预设：解：（1）若，则，此时与y轴的交点不同，即；反之，若，当时，重合，当，则.（2）若，则；反之，若，则.，；.设计意图：体会如何利用直线方程研究两直线平行、垂直的关系.（三）归纳总结、布置作业归纳总结：教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：什么是直线点斜式方程？通过这个方程能找到哪些直线要素？什么是直线斜截式方程？通过这个方程能找到哪些直线要素？两直线平行、垂直的充要条件是什么？本节课涉及到数学思想有哪些？课堂练习作业A1.已知直线的方程为，则()A.该直线过点，斜率为 B.该直线过点，斜率为1C.该直线过点，斜率为 D.该直线过点，斜率为1答案：C2.经过点，倾斜角为的直线方程是_________答案：3.已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为()解析：因为直线的斜率为2，所以直线的斜率为.又直线过点，故所求直线的方程为.4.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为________________.答案：解析：直线的倾斜角是45°，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，直线的倾斜角是90°.又直线过点，直线的方程为.5.已知点和直线.（1）求过点且与直线平行的直线的点斜式方程；（2）求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程.答案：（1）因为直线的方程为，所以该直线的斜率，所以过点且与直线平行的直线的点斜式方程为.（2）易知与直线垂直的直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线的点斜式方程为.作业B6．(多选)下列说法错误的是()A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程x－x0＝m(y－y0)表示C．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示D．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)答案：ABCD7.与直线2x＋3y＋5＝0平行，且与x，y轴交点的横、纵坐标之和为eq\f(5,6)的直线的方程为________．答案：由题意知，直线的斜率为－eq\f(2,3)，设其方程为y＝－eq\f(2,3)x＋b，分别令x＝0，y＝0，得直线在y，x轴上的截距分别为b，eq\f(3,2)b，则b＋eq\f(3,2)b＝eq\f(5,6)，解得b＝eq\f(1,3)，故直线的方程为y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(1,3).8.已知直线l的斜率为eq\f(1,6)，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求的斜