版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
一、不变子空间的概念二、线性变换在不变子空间上的限制§7.7线性变换的定义三、不变子空间与线性变换的矩阵化简四、线性空间的直和分解7.7不变子空间一、不变子空间的概念二、线性变换在不变子空间上的限制§7.1设是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的
的子空间,若有则称W是的不变子空间,简称为-子空间.
V的平凡子空间(V及零子空间)对于V的任意一个变换来说,都是-子空间.
一、不变子空间1、定义注:7.7不变子空间设是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的的子空间,21)两个-子空间的交与和仍是-子空间.2)设则W是-子空间证:显然成立.任取设
则
故W为的不变子空间.2、不变子空间的简单性质由于
7.7不变子空间1)两个-子空间的交与和仍是-子空间.2)设31)线性变换的值域与核都是的不变子空间.证:
有
故为的不变子空间.又任取有3、一些重要不变子空间也为的不变子空间.
7.7不变子空间1)线性变换的值域与核都是42)若则与都是-子空间.
证:
对存在
使于是有,
为的不变子空间.
其次,由
对有
7.7不变子空间2)若则与都是5于是
故为的不变子空间.
的多项式的值域与核都是的不变子空间.这里为中任一多项式.注:7.7不变子空间于是故为的不变子空间.的多项式64)线性变换的特征子空间是的不变子空间.
有
5)由的特征向量生成的子空间是的不变子空间.
证:设是的分别属于特征值
的特征向量.
3)任何子空间都是数乘变换的不变子空间.
任取设则
为的不变子空间.
7.7不变子空间4)线性变换的特征子空间是的不变子空间.有7事实上,若
则为的一组基.因为W为-子空间,即必存在使是的特征向量.
特别地,由的一个特征向量生成的子空间是一个一维-子空间.
反过来,一个一维-子空间必可看成是的一个特征向量生成的子空间.
注:7.7不变子空间事实上,若则为的一组基.因为W为-子空间8二、在不变子空间W引起的线性变换定义:不变子空间W上的限制.记作
在不变子空间W上引起的线性变换,或称作在
设是线性空间V的线性变换,W是V的一个的
不变子空间.把看作W上的一个线性变换,称作7.7不变子空间二、在不变子空间W引起的线性变换定义:不变子空间W上的限制9①当时,
③任一线性变换在它核上引起的线性变换是零
变换,即即有
注:当时,无意义.
②在特征子空间上引起的线性变换是数乘变换,7.7不变子空间①当时,③任一线性变换在它核上引起的线性101、设是维线性空间V的线性变换,W是V
的-子空间,为W的一组基,把它扩允为V的一组基:若在基下的矩阵为,则
在基下的矩阵具有下列形状:
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简7.7不变子空间1、设是维线性空间V的线性变换,W是V的-子空间,11反之,若
则由生成的子空间必为的不变子空间.
事实上,因为W是V的不变子空间.
即,均可被线性表出.7.7不变子空间反之,若则由生成的子空间必为的不12从而,
设7.7不变子空间从而,设7.7不变子空间13在这组基下的矩阵为
若,则
为V的一组基,且在这组基下的矩阵为准对角阵
2、设是维线性空间V的线性变换,都是的不变子空间,而是的一组基,且
(1)
7.7不变子空间在这组基下的矩阵为若14的子空间为的不变子空间,且V具有直和分解:
由此即得:下的矩阵为准对角矩阵(1),则由生成
V的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形V可分解为一些的不变子空间的直和.反之,若在基7.7不变子空间的子空间为的不变子空间,且V具有直和分解:由此即15定理12:设为线性空间V的线性变换,是
四、线性空间的直和分解是的特征多项式.若具有分解式:
再设则都是的不变
子空间;且V具有直和分解:7.7不变子空间定理12:设为线性空间V的线性变换,是四、线16证:令则是的值域,是的不变子空间.
又
(2)7.7不变子空间证:令则是的值域,是的不变子空间.又17下证分三步:
证明
∴存在多项式使
于是
∴对有
证明是直和.
证明
7.7不变子空间下证分三步:证明∴存在多项式18这里
7.7不变子空间这里7.7不变子空间19其中(也即,),则
∴存在使
于是
(3)
即证,若证明是直和.7.7不变子空间其中(也即,),则∴存在20用作用(3)的两端,得
又
7.7不变子空间用作用(3)的两端,得又7.7不变子空21从而
所以是直和.∴有多项式,使7.7不变子空间从而所以是直和.∴有多项式22证明:首先由(2),有即
其次,任取设即
令
7.7不变子空间证明:首先由(2),有即其次,任取设即令7.723由(2),有从而有又
又由,是直和,它的零向量分解式即唯一.7.7不变子空间由(2),有从而有又又由,24
综合,即有于是
故
即有
是的不变子空间,且
7.7不变子空间综合,即有于是故即有是的不变子空间,且25练习:设3维线性空间V的线性变换在基下的矩阵为
证明:
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 二零二五年度砂石料开采与环境保护合作协议3篇
- 二零二五年度个人消费分期贷款质押担保合同书2篇
- 2025版铁路货运特点与业务流程规范合同3篇
- 香烟店卫生标准规范
- 二零二五年度高校科研成果转化委托实施协议3篇
- 2025版环保设备维修与改造承包协议书2篇
- 二零二五版学生顶岗实习实习单位实习教育与培训合作协议3篇
- 二零二五年大学食堂食品安全保障协议范本3篇
- 二零二五版新风机销售与技术支持合作合同2篇
- 二零二五年度个人二手房交易房屋租赁续约合同
- 2025年病案编码员资格证试题库(含答案)
- 2025新译林版英语七年级下单词表
- 新疆2024年中考数学试卷(含答案)
- 魏宁海超买超卖指标公式
- 2024-2030年中国连续性肾脏替代治疗(CRRT)行业市场发展趋势与前景展望战略分析报告
- (正式版)FZ∕T 80014-2024 洁净室服装 通 用技术规范
- 跨学科主题学习:实施策略、设计要素与评价方式(附案例)
- 场地委托授权
- 剪映专业版:PC端短视频制作(全彩慕课版) 课件 第3章 短视频剪辑快速入门
- 湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年九年级下学期一模历史试题
- 2024年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷(含答案)
评论
0/150
提交评论