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文档简介

一、不变子空间的概念二、线性变换在不变子空间上的限制§7.7线性变换的定义三、不变子空间与线性变换的矩阵化简四、线性空间的直和分解7.7不变子空间一、不变子空间的概念二、线性变换在不变子空间上的限制§7.1设是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的

的子空间,若有则称W是的不变子空间,简称为-子空间.

V的平凡子空间(V及零子空间)对于V的任意一个变换来说,都是-子空间.

一、不变子空间1、定义注:7.7不变子空间设是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的的子空间,21)两个-子空间的交与和仍是-子空间.2)设则W是-子空间证:显然成立.任取设

故W为的不变子空间.2、不变子空间的简单性质由于

7.7不变子空间1)两个-子空间的交与和仍是-子空间.2)设31)线性变换的值域与核都是的不变子空间.证:

故为的不变子空间.又任取有3、一些重要不变子空间也为的不变子空间.

7.7不变子空间1)线性变换的值域与核都是42)若则与都是-子空间.

证:

对存在

使于是有,

为的不变子空间.

其次,由

对有

7.7不变子空间2)若则与都是5于是

故为的不变子空间.

的多项式的值域与核都是的不变子空间.这里为中任一多项式.注:7.7不变子空间于是故为的不变子空间.的多项式64)线性变换的特征子空间是的不变子空间.

5)由的特征向量生成的子空间是的不变子空间.

证:设是的分别属于特征值

的特征向量.

3)任何子空间都是数乘变换的不变子空间.

任取设则

为的不变子空间.

7.7不变子空间4)线性变换的特征子空间是的不变子空间.有7事实上,若

则为的一组基.因为W为-子空间,即必存在使是的特征向量.

特别地,由的一个特征向量生成的子空间是一个一维-子空间.

反过来,一个一维-子空间必可看成是的一个特征向量生成的子空间.

注:7.7不变子空间事实上,若则为的一组基.因为W为-子空间8二、在不变子空间W引起的线性变换定义:不变子空间W上的限制.记作

在不变子空间W上引起的线性变换,或称作在

设是线性空间V的线性变换,W是V的一个的

不变子空间.把看作W上的一个线性变换,称作7.7不变子空间二、在不变子空间W引起的线性变换定义:不变子空间W上的限制9①当时,

③任一线性变换在它核上引起的线性变换是零

变换,即即有

注:当时,无意义.

②在特征子空间上引起的线性变换是数乘变换,7.7不变子空间①当时,③任一线性变换在它核上引起的线性101、设是维线性空间V的线性变换,W是V

的-子空间,为W的一组基,把它扩允为V的一组基:若在基下的矩阵为,则

在基下的矩阵具有下列形状:

三、不变子空间与线性变换的矩阵化简7.7不变子空间1、设是维线性空间V的线性变换,W是V的-子空间,11反之,若

则由生成的子空间必为的不变子空间.

事实上,因为W是V的不变子空间.

即,均可被线性表出.7.7不变子空间反之,若则由生成的子空间必为的不12从而,

设7.7不变子空间从而,设7.7不变子空间13在这组基下的矩阵为

若,则

为V的一组基,且在这组基下的矩阵为准对角阵

2、设是维线性空间V的线性变换,都是的不变子空间,而是的一组基,且

(1)

7.7不变子空间在这组基下的矩阵为若14的子空间为的不变子空间,且V具有直和分解:

由此即得:下的矩阵为准对角矩阵(1),则由生成

V的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形V可分解为一些的不变子空间的直和.反之,若在基7.7不变子空间的子空间为的不变子空间,且V具有直和分解:由此即15定理12:设为线性空间V的线性变换,是

四、线性空间的直和分解是的特征多项式.若具有分解式:

再设则都是的不变

子空间;且V具有直和分解:7.7不变子空间定理12:设为线性空间V的线性变换,是四、线16证:令则是的值域,是的不变子空间.

(2)7.7不变子空间证:令则是的值域,是的不变子空间.又17下证分三步:

证明

∴存在多项式使

于是

∴对有

证明是直和.

证明

7.7不变子空间下证分三步:证明∴存在多项式18这里

7.7不变子空间这里7.7不变子空间19其中(也即,),则

∴存在使

于是

(3)

即证,若证明是直和.7.7不变子空间其中(也即,),则∴存在20用作用(3)的两端,得

7.7不变子空间用作用(3)的两端,得又7.7不变子空21从而

所以是直和.∴有多项式,使7.7不变子空间从而所以是直和.∴有多项式22证明:首先由(2),有即

其次,任取设即

7.7不变子空间证明:首先由(2),有即其次,任取设即令7.723由(2),有从而有又

又由,是直和,它的零向量分解式即唯一.7.7不变子空间由(2),有从而有又又由,24

综合,即有于是

即有

是的不变子空间,且

7.7不变子空间综合,即有于是故即有是的不变子空间,且25练习:设3维线性空间V的线性变换在基下的矩阵为

证明:

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