14年新人教版22.1.2-二次函数y=ax2的图象和性质

xyO－222464－4822.1.2二次函数二次函数y=ax2的图象和性质14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质复习一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数:

下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？(1)y=3x-l(2)y=2x²＋7(4)y=x-2(5)y=(x+3)²-x²(6)y=3(x-1)²+1一次函数的图象是一条_____，(2)通常怎样画一个函数的图象？直线列表、描点、连线(3)二次函数的图象是什么形状呢？

结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法．我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质x…-3-2-101

23…y=x2二次函数的图像画函数y=x2的图像解:(1)列表…9410149…(2)描点(3)连线12345x12345678910yo-1-2-3-4-5根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图像.还记得如何用描点法画一个函数的图像吗?y=x214年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质x…-3-2-101

23…y=-x2二次函数的图像请画函数y=－x2的图像解:(1)列表…-9-4-10-1-4-9…(2)描点(3)连线根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=-x2的图像.12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=－x214年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质xyoxyo从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线.这样的曲线叫做抛物线.y=x2的图像叫做抛物线y=x2.y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.实际上,二次函数的图像都是抛物线.它们的开口向上或者向下.一般地,二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c.二次函数的图像还可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点.抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.y=x2y=－x214年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.对称轴、顶点、最低点、最高点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质

抛物线

y=x2在x轴上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展;

当x=0时,函数y的值最小，最小值是0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质y抛物线y=-x2在x轴下方(除顶点外)，顶点是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴

在x轴上方(除顶点外)

在x轴下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0当x=0时,最大值为0在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

y=x2、y=-x214年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质

在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象，会是什么样?探究探究14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质例题与练习x…-4-3-2-101

234…y=x2例1.在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图像解:(1)列表(2)描点(3)连线12345x12345678910yo-1-2-3-4-512x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x28…20.500.524.58

…4.58…20.500.524.58…4.512函数y=x2,y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?12观察14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质顶点坐标例2.画出函数y=x2、y=2x2、y=x2的图象：12y=x2y=2x2y=x212a>0，开口都向上;对称轴都是y轴;增减性相同只是开口大小不同二次项系数越大，开口越小顶点都是原点(0,0)探究14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10例题与练习x…-4-3-2-101

234…在同一直角坐标系中画出函数y=－x2和y=－2x2的图像解:(1)列表(2)描点(3)连线12x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=－2x2-8…-2-0.50-0.5-2-4.5-8…-4.5-8…-2-0.50-0.5-2-4.5-8…-4.5函数y=-x2,y=-2x2的图像与函数y=－x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?12观察12y=-x214年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质例3.画出函数y=-x2、y=-2x2、y=-x2的图象：12y=-x2y=-2x2y=-x212a<0，开口都向下;对称轴都是y轴;增减性相同.只是开口大小不同二次项系数越小，开口越小14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质归纳12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-1012345x12345678910yo-1-2-3-4-5一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.

当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小当a<0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最高点,a越小,抛物线的开口越小;

在同一坐标系内,抛物线y=ax2与抛物线y=－ax2是关于x轴对称的.a>0a<014年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质小结1.二次函数的图像都是抛物线.2.抛物线y=ax2的图像性质:(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;|a|越大,抛物线的开口越小;(1)抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.xyoa>0a<0a<0xyo14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质例题与练习1、函数y=2x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;2、函数y=－3x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)例题与练习已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m2+m解:依题意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1∴m=1此时,二次函数为:y=2x2,14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。y=ax2顶点对称轴开口图象左侧右侧xyxya＞0a＜0增大(0,0)最低点(0,0)最高点y轴y轴向上向下增大减小增大增大增大减小增大14年新人教版22.1.2_二次函数y=ax2的图象和性质思考题

已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）