北师大版八年级数学下册 （等腰三角形）三角形的证明课件(第3课时)

北师版八年级下册等腰三角形（第3课时）第一章三角形的证明

1、学会证明等角对等边,并进行等腰三角形的判定;2、体会反证法，并会用反证法进行证明;3、规范证明的书写过程.学习目标请同学们回答下面的问题：1、等腰三角形的性质是什么？①有两个相等的角.②有两条相等的边.③底边上的中线、高和顶角的平分线重合.讲授新课等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.请一位同学说出已知、求证.已知:在△ABC中,∠B=∠C求证：AB=ACABC讲授新课ABCD证法一：作∠BAC的平分线AD.在△BAD和△CAD中，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C,AD=AD(公共边），∵△BAD≌△CAD（AAS）,∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.讲授新课ABCD证法二：作AD⊥BC，垂足为D.在△BAD和△CAD中，∠ADB=∠ADC，∠B=∠C,AD=AD(公共边），∵△BAD≌△CAD（AAS）,∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.请同学们想一想：作等腰三角形底边上的中线可以证明吗？为什么？讲授新课ABCD从以上讲解我们可以得到什么结论？已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C求证：AB=AC=BC讲授新课这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的一种方法.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.讲授新课ABCD60°60°你又可以得到什么？已知：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°(或者∠B=60°）求证：AB=AC=BC讲授新课推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.这是由判定定理推导出的又一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的另外一种方法.讲授新课小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.即CAB在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.

你认为这个结论成立吗?

如果成立,你能证明它吗?小明是这样想的:

如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时,AB与AC要么相等,要么不相等.

假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C,但已知条件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此，AB≠AC.讲授新课论证的新方法----反证法

小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reductiontoabsurdity)

假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C.但已知条件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾,因此,AB≠AC.反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.CAB讲授新课求证:一个三角形中不能有两个角是直角。(用反证法来证)证明：假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，那么∠A+∠B+∠C=180°+∠C＞180°，

这与三角形的内角和定理相矛盾∴假设不成立∴△ABC中不能有两个直角已知：△ABC求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角讲授新课求证:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,

那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都得小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.(用反证法来证)证明:讲授新课例1如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°,计算∠1和∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.ABCD36°36°2172°讲授新课解：∵∠A=36°∠DBC=36°∠C=72°∴∠2=180°－∠A－∠DBC－∠C＝36°(三角形内角和定理）∴∠A＝∠2∴AD=BD(等角对等边）∵∠1=∠A＋∠2=72°=∠C∴BD=BC(等角对等边）∴图中的等腰三角形有△ADB、△ABC、△BDC三个.讲授新课例2如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。CADB讲授新课答：图中的等腰直角三角形有：等腰Rt△ABC、等腰Rt△ADC和等腰Rt△CDB讲授新课ABC等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形的两个底角相等.简称:等边对等角.顶角ABC底边腰腰底角底角【定义】【性质定理】【性质定理的推论】有两边相等的三角形叫做等腰三角形;D高(简称:“三线合一”)【判定定理】有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称:等角对等边.课后小结

等腰三角形：底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等。ACBD●●E●●●●ACBMNACBPQ等边三角形（特殊的等腰三角形）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。【定义】【性质定理】有三边相等的三角形叫做等边三角形;课后小结用反证法证题的一般步骤1.假设命题的结论不成立;2.从这个假设出发,应用正确的推理方法,得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果;3.由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.课后小结北师版八年级下册等腰三角形（第4课时）第一章三角形的证明

1、探索一个三角形成为等边三角形的条件并证明正确性2、探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程3、运用所学知识进行相关的证明和计算学习目标复习旧知问题已知△ABC中，∠A=60°,（

）.请你在括号内补充一个条件，使△ABC能成为等边三角形.∠B=60°（或∠C=60°）AB=BC、AC=BC、AB=BC=AC

ABC思考2这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？思考1等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？讲授新课活动用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．ABDCABCD讲授新课BC=

AB．问题你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC的直角边BC与斜边AB之间有什么数量关系吗？ABDC讲授新课思考这个命题是真命题吗？请进行证明．问题请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.讲授新课证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延长BC到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD是等边三角形．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：ABC

BC=AB

D讲授新课∴BC=BD=AB．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.追问：你还能用其他方法证明吗？证明：由等边三角形的性质可知，AC也是BD边上的中线，ABCD证明：BC=AB

讲授新课另证：作∠BCE=60°，交AB于E，连接CE，

则∠ACE=90°-60°=30°．在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．在△BCE中，∵∠BCE=60°，∠B=60°，∴△BCE是等边三角形．∴

BC=BE=CE．EABC讲授新课符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABC∴

BC=AB．

讲授新课1例1

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=

.ABCD强化训练例2.已知：如图，在△ABC中,高线BD和CE相交于H，∠BHC=120°,HD=1,HE=3,求BD和CE的长。ACDEBH13?120°CH=2CE=5BH=6BD=7强化训练例3.已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD,垂足是Q,(1)求∠BPD的度数

(2)求证:BP=2PQACDBPEQ60°强化训练例5矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF展开后再折成如图所示,使点A落在EF上的点A'处,求第二次折痕BG的长.ABCEDGA'F36强化训练例6.已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N,(1)求证:MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任