高二数学数列的概念与简单表示法

高二数学数列的概念与简单表示法第一页，共41页。在日常生活中，我们经常会遇到如存款利息、购房贷款等与人们生活密切相关的问题．“花明天的钱，圆今天的梦”是一种新的消费观念．一则流传很广的小笑话是：一名中国老妇与一名美国老妇在天国相遇，中国老妇说：“我存了一辈子钱，临终时终于买到了一套住房！”而美国老妇则说：“我在临终前，终于把分期付款的买房款全部还清了！”如今，分期付款的方式被越来越多的人接受了．你能明白其中的奥妙吗？第一页第二页，共41页。本章通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列——等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式的研究．首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式、简单的递推公式)．等差数列是从现实生活中的一些实例引入，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式．等差数列的前n项和公式是通过1＋2＋3＋…＋100的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法．第二页第三页，共41页。与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂，计算机病毒感染，银行存款利息，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究，探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项和，并用错位相减法探索发现等比数列的前n项和公式．

第三页第四页，共41页。完全免费,无需注册,天天更新！第四页第五页，共41页。最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活的联系．本章内容设计突出了某些重要的数学思想方法，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及由特殊到一般的思想方法等．本章内容设计体现了现代信息技术的应用．实际学习中可根据具体情况适当地、适度地应用现代教育技术，以做到真正有利于我们的学习，帮助我们认识丰富多彩的大自然，帮助理解数学，提高学习数学的兴趣．第五页第六页，共41页。§2.1数列的概念与简单表示法第六页第七页，共41页。第1课时数列的概念与通项公式第七页第八页，共41页。第八页第九页，共41页。第九页第十页，共41页。1．数列、数列的项：按照

排列着的一列数叫做数列，

叫做这个数列的项．2．数列的通项公式：

与

之间的关系可以用一个公式表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．一定顺序数列中的每个数数列{an}的第n项序号n第十页第十一页，共41页。3．数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}的函数，当自变量

取值时对应的一列函数值．4．数列可用图象来表示．在直角坐标系中，

来表示一个数列．图象是一些

，它们位于

．以序号为横坐标相应的项为纵坐标描点画图孤立的点第一象限、第四象限或x轴的正半轴从小到大依次第十一页第十二页，共41页。第十二页第十三页，共41页。答案：B

第十三页第十四页，共41页。解析：逐项验证．答案：B第十四页第十五页，共41页。解析：由题意知，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20.答案：20第十五页第十六页，共41页。4．已知数列{an}的通项公式为an＝4n＋7，则数列中三位数的个数有________个．解析：令100≤an≤999，即100≤4n＋7≤999，解得23.25≤n≤248，又n∈N＋，∴24≤n≤248，n∈N＋.故数列中三位数共有248－24＋1＝225个．答案：225第十六页第十七页，共41页。5．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2)，问：(1)80、90是不是该数列的项？如果是，是第几项？(2)从第几项开始，该数列的项大于10000?解：(1)令n(n＋2)＝80，得n1＝8，n2＝－10(舍)，∴80是数列的第8项．令n(n＋2)＝90，而此方程无正整数解．∴90不是该数列的项．(2)∵a99＝99×101<10000，而a100＝100×102>10000，∴从第100项开始，该数列的项大于10000.第十七页第十八页，共41页。第十八页第十九页，共41页。第十九页第二十页，共41页。其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)[分析]

由题目可获取以下主要信息：①注意省略号“…”及其位置；②观察数列的项的变化趋势与规律；③利用数列的通项公式．解答本题要紧扣数列的有关概念完成判断．第二十页第二十一页，共41页。[答案]

(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)(5)第二十一页第二十二页，共41页。[点评]若数列{an}满足an<an＋1，则是递增数列；若数列{an}满足an>an＋1，则是递减数列；若存在正整数T(T为常数)使an＋T＝an，则数列的周期为T.解答本题应体现出“概念优先”原则．第二十二页第二十三页，共41页。迁移变式1分别写出下面的数列．(1)正整数1,2,3,4,5，…的倒数顺次构成的数列；(2)0到10的奇数按照从小到大的顺序构成的数列；(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，…顺次构成的数列．第二十三页第二十四页，共41页。[分析]

观察数列的前几项与序号之间的关系，即可写出．第二十四页第二十五页，共41页。第二十五页第二十六页，共41页。第二十六页第二十七页，共41页。[点评]由数列的前几项写出一个通项公式，应尽量避免盲目性，要善于从数值an与序号n之间的对应关系中发现规律，并且写出通项后要进行验证或调整．第二十七页第二十八页，共41页。第二十八页第二十九页，共41页。第二十九页第三十页，共41页。第三十页第三十一页，共41页。第三十一页第三十二页，共41页。[点评]通项公式直接反映了an与n之间的关系，给出一个数a，可以通过通项公式来判断数a是否为数列中的项，判断时只要看an＝a是否有正整数解即可．研究数列中项的某些性质时一般利用通项公式，如由本例(2)的证明可知该数列具有周期性．第三十二页第三十三页，共41页。迁移变式3已知数列的通项公式为an＝(n＋1)(n＋2)．若an＝9900，问an是第几项？解：由an＝(n＋1)(n＋2)得(n＋1)(n＋2)＝9900即n2＋3n－9898＝0(n－98)(n＋101)＝0∴n＝98.第三十三页第三十四页，共41页。[例4]在数列{an}中，an＝(n＋1) n(n∈N*)．(1)求证：数列{an}先递增，后递减；(2)求数列{an}的最大项．[分析]

∵an＝(n＋1) n是积幂式子的形式，∵an>0，∴可用作商法比较an与an－1的大小．第三十四页第三十五页，共41页。第三十五页第三十六页，共41页。[点评]数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性，或用证明不等式的方法证明数列的单调性．第三十六页第三十七页，共41页