北师大版九年级数学上册 （相似三角形的性质）图形的相似教育教学课件(第2课时)

相似三角形的性质第2课时

学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.学习目标我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？新课引入如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.(1)△ABC与△A′B′C′相似比是

.(2)如果△ABC的周长是9cm，那么△A′B′C′的周长是

.(3)如果S△ABC

=3cm2，那么△A′B′C′的面积是

.

问题思考：??我们发现，还不能有相似比确定相似三角形的周长比与面积比，这节课我们就来探究一下.例1 已知：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为2.(1)请你写出图中所有成比例的线段；新知学习解：(1)===2.CABC′A′B′(2)△ABC与△A'B'C'的周长比是多少？面积比呢？解：(2)∵===2，∴==2，即△ABC与△A'B'C'的周长比为2.分别过点C与C′作△ABC和△A′B′C′的高CD，C′D′，∵△ABC∽△A′B′C′，∴==2

.∴=2×2=4.CABC′A′B′DD′由已知，得===k，

∴

==k.分别过点C与C′作△ABC和△A′B′C′的高CD，C′D′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴

==k

(相似三角形对应高的比等于相似比).∴

=k2.(3)若相似比为k(k>0)，你能求△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比吗？CABC′A′B′DD′归纳定理：相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.如果是四边形呢？你能通过类比得出四边形的结论吗？例2 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k(k>0).(1)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比是多少？ABDCA′B′D′C′解：(1)∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴====k.∴

=k.即四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比是k.

例2 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k(k>0).(2)连接相应的对角线BD，B′D′，所得的△BCD与△B′C′D′相似吗？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？ABDCA′B′D′C′解：(2)∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴==k.∴△BCD与△B′C′D′各边均成比例.∴△BCD∽△B′C′D′.

ABDCA′B′D′C′解：(3)∵△ABD∽△A′B′D′，△BCD∽△A′B′D′，且相似比都为k.∴

与都是k2.例2 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k(k>0).(4)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？ABDCA′B′D′C′解：(4)∵

与都是k2，又∵S四边形ABCD

=

S△ABD+

S△BCD，S四边形A′B′C′D′=S△A′B′D′+

S△B′C′D′，即四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为k2.换成五边形，结论一样.例3 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.DEFGABC解：根据题意，可知EG∥AB.∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)，∴=

(相似三角形的面积比等于相似比的平方)，即 =.∴EC2=2，∴EC=(负值舍去).

∴BE=BC–EC=2–，即△ABC平移的距离为2–.DEFGABC温馨提示相似多边形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.(1)△ABC与△A′B′C′相似比是

.(2)如果△ABC的周长是9cm，那么△A′B′C′的周长是

.(3)如果S△ABC

=3cm2，那么△A′B′C′的面积是

.

问题回顾：18cm12cm2针对训练1.判断正误：(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍.

(

)(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边的长都扩大为原来的9倍.(

)√×

BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且=

=，∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为3:5，∴面积比为9:25.课堂小结相似三角形的性质2相似三角形周长之比等于相似比相似三角形面积之比等于相似比的平方强调：以上结论，相似多边形也成立.附加：如图，

在△ABC中，

点D，E分别在边AB和AC上，且DE//BC.(1)若AD:DB=1:1，则S△ADE

:S四边形DBCE

=

.(2)若S△ADE

=

S四边形DBCE，则DE:BC=

，AD:DB=

.实践与拓展解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵AD:DB=1:1，∴S△ADE:S△ABC=1:4，∴S△ADE

：S四边形DBCE=1:3.1:3附加：如图，

在△ABC中，

点D，E分别在边AB和AC上，且DE//BC.(1)若AD:DB=1:1，则S△ADE

:S四边形DBCE

=

.(2)若S△ADE

=

S四边形DBCE，则DE:BC=

，AD:DB=

.1:3实践与拓展解：(2)∵S△ADE

=

S四边形DBCE，∴S△ADE

:S△ABC=1:2，则△ADE与△ABC的相似比为=，∴DE:BC=，AD:DB=.4.5相似三角形判定定理的证明

学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.会证明相似三角形判定定理；2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.学习目标1.判定两个三角形全等的方法有哪些？2.判定两个三角形相似的方法有哪些？新课引入(1)

SSS；(2)

SAS；(3)

AAS；(4)

ASA；(5)

HL(1)

两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似.

如何对三角形相似的三条定理进行证明？新知学习命题1

两角分别相等的两个三角形相似.命题2

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.命题3

三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.命题1

两角分别相等的两个三角形相似.C′ABCA′B′DE证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).过点D

作AC

的平行线，交BC

于点F，则(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).∴.∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形.∴DE=CF.∴.ABCDEC′A′B′F∴.而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.ABCDEC′A′B′F命题2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A′B′C′中，∠A=∠A′，.求证：△ABC∽△A′B′C′.C′ABCA′B′DE证明：在△ABC

的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，过D

作BC

的平行线，交AC

于点E，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).∴.∵，AD=A′B′，∴∴∴AE=A′C′.而∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.C′ABCA′B′DE命题3三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A′B′C′中，.求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC

的边AB，AC

(或它们的延长线)上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE.∵，AD=A′B′，AE=A′C′，∴C′ABCA′B′DE而∠BAC=∠DAE，∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴.又，AD=A′B′，∴∴∴DE=B′C′.ABCA′B′DEC′∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.1.判断题：(1)所有的等边三角形都相似.()(2)所有的直角三角形都相似.()(3)所有的等腰三角形都相似.()(4)所有的等腰直角三角形都相似.()针对训练√××√2.如图，AD⊥BC

于点D，CE⊥AB

于点E

，且交AD

于点F，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDFBC