第2章控制系统的数学模型

第2章控制系统的数学模型第一页，共40页。2.1引言描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。第一页第二页，共40页。物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。电子放大器看成理想的线性放大环节。通讯卫星看成质点。第二页第三页，共40页。建立控制系统数学模型的方法有：分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。第三页第四页，共40页。分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。第四页第五页，共40页。实验法－基于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的实验设计--选择实验条件模型阶次--适合于应用的适当的阶次参数估计--最小二乘法模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近第五页第六页，共40页。LCR例：由电阻R、电感L、和电容C组成的无源网络，是列写以UI(t)为输入量，以u0(t)为输出量的网络方程第六页第七页，共40页。求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。设系统已处于平衡状态，相对于初始状态的位移、速度、加速度弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统m第七页第八页，共40页。控制系统微分方程的建立基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量第八页第九页，共40页。速度控制系统的微分方程-k2SM负载-k1TG第九页第十页，共40页。系统输出系统输入参考量控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机运放1运放2功放直流电动机第十页第十一页，共40页。减速器（齿轮系）测速发电机消去中间变量控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为第十一页第十二页，共40页。*比较R-L-C电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系第十二页第十三页，共40页。1拉氏变换的定义

（2）单位阶跃2常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数第十三页第十四页，共40页。

课程小结(3)（2）微分定理3L变换重要定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理第十四页第十五页，共40页。用拉氏变换方法解微分方程L变换系统微分方程L-1变换第十五页第十六页，共40页。线性系统的性质：具有可叠加性、均匀性（齐次性）线性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应）变换域求解法：Laplace变换方法第十六页第十七页，共40页。运动的模态微分方程的解：齐次方程的通解+特解通解由特征根所决定，若n阶微分方程的特征根均为单根，称为该微分方程的运动模态特征根具有重根的情况时的运动模态特征根具有共轭复根时的运动模态第十七页第十八页，共40页。非线性元件微分方程的线性化实际的物理元件都存在一定的非线性，例如弹簧系数是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区小偏差线性化法设连续变化的非线性函数平衡状态A为工作点在平衡状态点运用台劳级数展开为第十八页第十九页，共40页。具有两个自变量的非线性函数的线性化增量线性方程例1、线性化例2、求解微分方程第十九页第二十页，共40页。取一次近似，且令

既有

例1已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。解.在工作点(x0,y0)处展开泰勒级数第二十页第二十一页，共40页。解.在处泰勒展开，取一次近似

代入原方程可得在平衡点处系统满足

上两式相减可得线性化方程

例2某容器的液位高度h与液体流入量Q满足方程式中S为液位容器的横截面积。若h与Q在其工作点附近做微量变化，试导出h关于Q的线性化方程。第二十一页第二十二页，共40页。2-2控制系统的复域数学模型复域数学模型传递函数传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念频率法、根轨迹法一、传递函数的定义与性质定义设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：第二十二页第二十三页，共40页。在零初始条件下，由传递函数的定义得例1：试求：RLC串联无源网络的传递函数第二十三页第二十四页，共40页。传递函数的性质（1）因果系统的传递函数是s的有理真分式函数，具有复变函数的性质。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关。G(s)（3）传递函数与微分方程可相互转换。（4）传递函数的Laplace反变换是系统的脉冲响应。第二十四页第二十五页，共40页。二、传递函数的零点与极点z1z2第二十五页第二十六页，共40页。称为传递系数或根轨迹系数传递函数写成因子连乘积的形式称为传递系数或增益或放大系数第二十六页第二十七页，共40页。传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。三、传递函数极点和零点对输出的影响传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，例如第二十七页第二十八页，共40页。输入信号，零状态响应分别为各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零点相对于极点的距离。例如：z1z2第二十八页第二十九页，共40页。零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小,如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。

极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。第二十九页第三十页，共40页。四、典型元部件的传递函数1电位器一种线位移或角位移变换为电压量的装置单个线绕式圆环电位器（角位移型）空载时的传递函数由一对电位器组构成的误差检测器，空载时的传递函数第三十页第三十一页，共40页。当负载不能忽略时，必须考虑负载效应。考虑具有负载效应时的电位器输入输出关系E第三十一页第三十二页，共40页。不再具有线性关系，若很大，例如，则有测速发电机

测量角速度并转换为电压量的装置，一般有交流和直流两种。TG第三十二页第三十三页，共40页。3无源网络

用途：在控制系统中引入无源网络作为校正元件，用复阻抗方法可直接求出无源网络的传递函数第三十三页第三十四页，共40页。五、典型环节及其传递函数

任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下六种：

1比例环节式中K-增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。2惯性环节

第三十四页第三十五页，共40页。式中T-时间常数

特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。

实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。3微分环节

理想微分一阶微分二阶微分

特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。第三十五页第三十六页，共40页。振荡环节微分环节第三十六页第三十七页，共40页。4积分环节

特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角