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文档简介

导数复习之知识梳理第一页,共21页。本章知识结构

导数及其应用

导数定积分与微积分基本定理导数概念导数运算导数应用函数的瞬时变化率瞬时速度与导数导数的几何意义基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数单调性研究函数的极值、最值曲线的切线面积

功定理的含义定理的应用路程曲边梯形面积与定积分微积分基本定理最优化问题曲边梯形面积定积分定义第一页第二页,共21页。①函数的平均变化率函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:②函数的瞬时变化率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y导数第二页第三页,共21页。返回第三页第四页,共21页。导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:返回第四页第五页,共21页。

当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.

设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:PQoxyy=f(x)割线切线T返回第五页第六页,共21页。1)如果恒有f′(x)>0,那么y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递增;2)如果恒有f′(x)<0,那么y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递减。一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内定理aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某个区间内恒有,则为常数.返回第六页第七页,共21页。2)如果a是f’(x)=0的一个根,并且在a的左侧附近f’(x)<0,在a右侧附近f’(x)>0,那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.函数的极值1)如果b是f’(x)=0的一个根,并且在b左侧附近f’(x)>0,在b右侧附近f’(x)<0,那么f(b)是函数f(x)的一个极大值注:导数等于零的点不一定是极值点.2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.函数的最大(小)值与导数xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)返回第七页第八页,共21页。

复合函数的导数:注:y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:或返回第八页第九页,共21页。返回过p(x0,y0)的切线1)p(x0,y0)为切点2)p(x0,y0)不为切点第九页第十页,共21页。求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法

(2)取近似求和:任取xi

[xi-1,xi],第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。

(3)取极限:,所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值:xiy=f(x)xyObaxi+1xi

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度△x返回第十页第十一页,共21页。定积分的定义如果当n

∞时,S的无限接近某个常数,这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.第十一页第十二页,共21页。定积分的定义:定积分的相关名称:

———叫做积分号,

f(x)——叫做被积函数,

f(x)dx—叫做被积表达式,

x———叫做积分变量,

a———叫做积分下限,

b———叫做积分上限,

[a,b]—叫做积分区间。第十二页第十三页,共21页。被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限第十三页第十四页,共21页。

说明:

(1)定积分是一个数值,

它只与被积函数及积分区间有关,òbaf(x)dx

=òbaf(x)dx

-(2)返回第十四页第十五页,共21页。定积分的几何意义:Oxyaby

f(x)x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。第十五页第十六页,共21页。

当f(x)

0时,由y

f(x)、x

a、x

b

与x

轴所围成的曲边梯形位于x

轴的下方,xyO=-.aby

f(x)y

-f(x)=-S上述曲边梯形面积的负值。

定积分的几何意义:=-S返回第十六页第十七页,共21页。定理(微积分基本定理)牛顿—莱布尼茨公式

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F’(x)=f(x),则第十七页第十八

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