方向导数与梯度

方向导数与梯度第一页，共39页。1.方向导数的定义设有二元函数沿任何方向的变化率．考虑函数在某点射线是指有方向的半直线,即一、方向导数概念与计算公式方向导数与梯度第一页2第二页，共39页。定义如果极限存在,则将这个极限值称为函数在点记为即注方向导数是函数沿半直线方向的变化率.方向导数与梯度第二页3第三页，共39页。2.方向导数的几何意义的几何意义为曲面,当限制自变量沿方向变化时,对应的空间点形成过的铅垂平面与曲面的交线,这条交线在点M有一条记此半切线与方向的夹角为则由方向导数的半切线,定义得方向导数与梯度第三页4第四页，共39页。ρ一定为正!是函数在某点沿任何方向的变化率.方向导数偏导数分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负！的变化率.注方向导数与梯度第四页5第五页，共39页。事实上,的方向导数存在,事实上,同理,的方向导数存在,方向导数与梯度存在时,第五页6第六页，共39页。????方向导数与梯度问:反之,存在时,是否一定存在?第六页7第七页，共39页。方向导数与梯度例如,函数沿方向的方向导数但不存在.即z在(0,0)点的偏导数不存在.第七页8第八页，共39页。证由于函数可微,得到3.关于方向导数的存在及计算公式充分条件定理可微,则函数且则增量可表示为两边同除以方向导数与梯度第八页9第九页，共39页。故有方向导数方向导数与梯度第九页10第十页，共39页。注即为(1)(2)计算方向导数只需知道l的方向及函数的偏导数.方向导数与梯度在定点的方向导数为(3)(4)关系方向导数存在偏导数存在可微.]0[的方向角是，、lpbaÎ第十页11第十一页，共39页。例考虑函数定点P0(3,1),P1(2,3).求函数在P0沿方向的方向导数.

解

方向导数与梯度第十一页12第十二页，共39页。解由方向导数的计算公式知(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有例方向导数与梯度第十二页13第十三页，共39页。故方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数等于和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?问在怎样的方向上此方向导数有方向导数与梯度第十三页14第十四页，共39页。练习方向导数与梯度求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.用参数方程表示为它在点P

的切向量为解将已知曲线,171cos=\a第十四页15第十五页，共39页。推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数它在空间一点的方向导数,可定义为方向导数与梯度同理,当函数在此点可微时,那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在,且有是l的方向向量.第十五页16第十六页，共39页。解令故其方向余弦为1991年研究生考题,计算,5分例方向导数与梯度)1,1,1(632222Pzyxn在点是曲面设=++,处指向外侧的法向量第十六页17第十七页，共39页。故方向导数与梯度第十七页18第十八页，共39页。练习求函数在点处沿解切线方向的方向向量在此点的切线方向上方向导数与梯度曲线的方向导数.第十八页19第十九页，共39页。1996年研究生考题,填空,3分解此方向的方向向量为方向导数与梯度第十九页20第二十页，共39页。问题?方向导数与梯度二、梯度概念与计算已知方向导数公式方向：模：

方向一致时,方向导数取最大值f变化率最大的方向f的最大变化率之值函数沿什么方向的方向导数为最大(gradient)一个二元函数在给定的点处沿不同方向的方向导数是不一样的.)cos,(cos0ba=lr第二十页21第二十一页，共39页。方向导数与梯度定义记作读作nable.即为函数称向量梯度(gradient),称为或算子,或向量微分算子.引入算符哈米尔顿算子,设函数可偏导,利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成第二十一页22第二十二页，共39页。方向导数与梯度梯度的基本运算公式,grad)(grad2.uCuC=,gradgrad)(grad3.vuvu±=±vuuvvuÑ+Ñ=Ñ)(,grad)()(grad5.uufuf¢=第二十二页23第二十三页，共39页。结论x轴到梯度的转角的正切为函数在某点的梯度是这样一个向量,方向与取得最大方向导数的方向一致,它的而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为方向导数与梯度第二十三页24第二十四页，共39页。在几何上曲面被平面所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线等值线梯度为等值线上的法向量表示一个曲面,所截得方向导数与梯度如图:第二十四页25第二十五页，共39页。

法线的斜率为:为等值线上点P处的法向量.所以梯度事实上,由于等值线上任一点方向导数与梯度等值线第二十五页26第二十六页，共39页。类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数三元函数在空间区域G内则对于每一点都可定义一个向量(梯度)具有一阶连续偏导数,方向导数与梯度第二十六页27第二十七页，共39页。类似地,设曲面为函数此函数在点的梯度的方向与过点P的等量面在这点的法线的一个方向相同,的等量面指向数值较高的等量面,等于函数在这个法线方向的方向导数.且从数值较低而梯度的模方向导数与梯度第二十七页28第二十八页，共39页。解故例并问在哪些点处梯度为零?=0=0=0方向导数与梯度处的梯度,第二十八页29第二十九页，共39页。方向导数与梯度设可导,其中处向径的模,试证证例为点第二十九页30第三十页，共39页。方向导数与梯度例设函数(1)求出沿什么方向具有最大的增长率,方向的变化率.(2)最大增长率为多少?解

(1)

PQ方向的方向向量为第三十页31第三十一页，共39页。方向导数与梯度沿什么方向具有最大的增长率,(2)最大增长率为多少?解

方向具有最大的增长率,最大的增长率为:即为梯度方向.第三十一页32第三十二页，共39页。1992年研究生考题,填空,3分解练习方向导数与梯度第三十二页33第三十三页，共39页。方向导数与梯度函数数量场

(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)(势场

)如:温度场,电位场,密度场等如:力场,速度场等三、数量场与向量场的概念(物理量的分布)第三十三页34第三十四页，共39页。例解其方向余弦为方向导数与梯度第三十四页35第三十五页，共39页。故方向导数与梯度第三十五页36第三十六页，共39页。方向导数的概念梯度的概念方向导数与梯度的关系(注意方向导数是数、方向导数与一般所说偏导数的区别)(注意梯度是一个向量)梯度的方向就是函数在这点增长最快的方向.方向导数与梯度四、小结数量场与向量场的概念第三十六页37第三十七