第10章空间直线与平面（知识清单典型例题）高二数学讲义（沪教版2020）

第10章空间直线与平面（知识清单+典型例题）【知识清单】1、平面的概念（1）平面几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．（2）平面的画法水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.①②（3）平面的表示法上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.题型一：图形语言、文字语言和符号语言的转化【例1】用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解](1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．【规律方法】三种语言的转换方法：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”、“”、．(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．3.直线与平面间的位置关系（1）公理１如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上．符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．（3）公理２不在同一直线上的三点确定一个平面符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．（4）公理２的三个推论：（1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：（2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：（3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：（5）公理３如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．对三个公理的理解（1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．（2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．（3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．题型二：点共线问题【例2】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明.【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.【规律方法】点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．题型三：线共点问题【例3】如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．【分析】利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.【详解】证明连接GE，HF.因为E，G分别为BC，AB中点，所以.因为DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3，所以.从而GE∥HF且，故G，E，F，H四点共面且四边形为梯形，因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD，O∈平面BCD.而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF，GH，BD交于一点．【规律方法】证明线共点问题的步骤证明三线共点的思路是：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题归结为证明点在直线上的问题．4.空间图形的平面直观图的画法为了把空间图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图．题型四：直观图的还原与计算【例4】若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（

）A．12 B．6 C． D．【提示】由斜二测画法的直观图，还原原图形为直角梯形，从而即可计算原图形的面积；【答案】C【解析】方法1、因为，，，，所以由斜二测画法的直观图知可，所以由斜二测画法的画法规则还原原图形，如图：所以，，，，，所以梯形的面积为；方法2、因为，，，，则由直观图的梯形面积为：，则根据；故选：C．【规律方法】1、直观图的还原技巧：由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可；2、直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为，其直观图的面积为，则有或；利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积；5.公理４平行于同一条直线的两条直线互相平行．（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行．（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线，a∥b，b∥c．（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性．公理4证明空间两条直线平行的步骤（1）找到直线；（2）证明，；（3）得到．6.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．图（1）图（2）7.等角定理的2个推论推论１如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．推论２如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．题型五：公理4及等角定理的应用【例5】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.【规律方法】证明两条直线平行及角相等的方法(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)由基本事实4可以想到，平面几何中的有些结论推广到空间仍然是成立的，但有些平面几何的结论推广到空间是错误的．因此，要把平面几何中的结论推广到空间，必须先经过证明．(3)空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．8.异面直线不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线空间的两条直线就有三种不同的位置关系9.异面直线判定定理过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线题型六：空间两条直线位置关系的判断【例6】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析首先看两直线是否有交点，判断是否是相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在一个平面内，如果不在，则两直线异面．本题中直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以(1)应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以(2)(4)都应该填“异面”.【规律方法】判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．10.异面直线所成的角（1）两条异面直线所成的角的定义如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．（2）异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为．（3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b．（4）构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．（5）求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；（2）证明：证明作出的角就是要求的角；（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．题型七：异面直线垂直的判定及异面直线所成的角【例7】如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别是AA1，AB的中点．(1)哪些棱所在的直线与直线EF垂直？(2)求异面直线C1D1与EF所成的角．[解](1)AD，BC，A1D1，B1C1所在的直线与直线EF垂直．(2)∵AB∥DC，DC∥D1C1，∴AB∥D1C1，∴∠EFA是异面直线C1D1与EF所成的角．∵∠EFA＝45°，∴异面直线C1D1与EF所成的角为45°.【规律方法】(1)证明两条直线既不平行又不相交．(2)平面内一点与平面外一点所确定的直线和这个平面内不过该点的直线异面．2．求异面直线所成角的一般步骤(1)平移法找出合适的角．(2)求角．(3)结论：0＜θ≤90°.题型八：直线与平面垂直的定义【例8】下列命题中正确的个数是()①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3[解析]当l与α内的无数条直线垂直时，若这无数条直线为平行直线，则l与α不一定垂直，故①错误；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故②错误；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③错误；④正确．故选B.[答案]B【规律方法】直线与平面垂直的定义的理解直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法．题型九：直线与平面垂直的证明【例9】如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.[证明](1)∵四棱锥S－ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.(2)由(1)知BC⊥平面SAB.同理，CD⊥平面SAD.∵E，F分别是SD，SC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.又SD⊂平面SAD，∴EF⊥SD.【规律方法】应用线面垂直判定定理的注意事项(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．(2)判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把线面垂直转化为线线垂直．即“l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒l⊥α.”题型十直线与平面所成的角【例10】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．[解]由图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝eq\r(22＋22＋12)＝3.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(2,3)，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq\f(2,3).解∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴BE与平面ABCD所成角与所求角相等．连接BD，则∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成的角．设正方体的棱长为2，则在Rt△BDE中，sin∠EBD＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(1,3)，即直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为eq\f(1,3).【规律方法】求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．题型十一线面垂直性质的应用【例11】如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.[证明]如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.证明连接AD1，AB1，B1C，∵E为A1D的中点，由平行四边形的性质可知E为AD1的中点．又∵F为AB的中点，∴EF∥BD1.由例1可知BD1⊥平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C.【规律方法】证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．题型十二直线与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用【例12】如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).[证明]∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，∴eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).【规律方法】(1)线线垂直的证明，常转化为线面垂直来证明，即：把两条直线中一条放在某个平面内，然后证明另一条垂直于这个平面．要证线面垂直，可通过线面垂直的定义及判定定理，体现了eq\x(线线垂直)→eq\x(线面垂直)→eq\x(线线垂直)，解题时要注意这种相互转化关系的合理应用．(2)要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法．11.线面平行（1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（2）性质注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α.(2)直线b在平面α内，即b⊂α.(3)两直线a，b平行，即a∥b.题型十三直线与平面平行的理解【例13】能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b[解析]A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件．故选D.[答案]D【规律方法】平行问题的实质(1)平行问题是以无公共点为主要特征的，直线和平面平行即直线与平面没有任何公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决．(2)正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法．题型十四直线与平面平行的判定【例14】如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．求证：PD∥平面MAC.[证明]如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，∴PD∥平面MAC.【规律方法】证明线面平行的方法、步骤(1)利用判定定理判断或证明直线与平面平行的关键是在已知平面α内找一条直线b和已知直线a平行．即要证直线a与平面α平行，先证直线a与直线b平行．即由立体向平面转化．(2)证明线面平行的一般步骤：①在平面内找一条直线；②证明线线平行；③由判定定理得出结论．(3)在与中点有关的平行问题中，常考虑中位线定理．题型十五直线与平面平行性质定理的应用【例15】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.[证明]因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.【规律方法】利用线面平行的性质定理解题的步骤题型十六直线与平面的位置关系【例16】下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.A．0B．1C．2D．3[解析]如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然正确．故答案为C.[答案]C【规律方法】直线与平面位置关系的判断方法(1)空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．(2)在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．题型十七直线与平面位置关系的证明【例17】求证：两条平行线中的一条直线与已知平面相交，则另一条直线也与该平面相交．[证明]已知：直线a∥b，a∩α＝P，求证：直线b与平面α相交．证明：如图所示，∵a∥b，∴a与b确定平面β，∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过点P的直线l.∵在平面β内l与两条平行直线a，b中的一条直线a相交，∴l必与b相交．设b∩l＝Q，又b不在平面α内，∴直线b和平面α相交．【规律方法】证明直线与平面相交的方法证明直线与平面相交，按定义需证明直线b与平面α有且只有一个公共点，即①直线b与平面α有公共点；②直线b与平面α只有一个公共点．此类问题常转化为平面问题解决．证明直线与平面相交，也常用反证法．12.平面与平面平行（1）平面与平面位置关系位置关系定义符号表示平行平面与平面没有公共点∥相交平面与平面有且仅有一条公共直线（2）平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行图形语言：符号语言：且，那么（3）两个平面平行的性质定理如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行图形语言：符号语言：若，，则（4）几个重要结论（1）垂直于同一条直线的两个平面平行（2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个（4）夹在两个平行平面中的平行线段相等（5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行（5）半平面的定义一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面题型十八平面与平面平行判定定理的理解【例18】下列命题中正确的是()①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④[解析]对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在，故①错误；对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，此时两平面不一定平行．如果这无数条直线都与两平面的交线平行时，两平面可以相交，故②错误；对于③：一个平面内任何一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义，故③正确；对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理，故④正确．故选D.[答案]D【规律方法】应用平面与平面平行判定定理的注意事项(1)平面与平面平行判定定理把判定面面平行转化为判定线面平行，同时应注意是两条相交直线都平行于另一平面．(2)解决此类问题，若认为命题正确，必须用相关定理严格证明；而要否定它，只需要举出一个反例，此时借用常见几何模型是非常有效的方法．题型十九平面与平面平行的判定【例19】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[证明](1)如图，连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接MF，∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，∴MF∥AD，MF＝AD，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.【规律方法】线线平行、线面平行与面面平行的转化(1)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．此即为面面平行判定定理的推论产生的依据．(2)在转化为线面平行证面面平行时，首先观察面内已有的直线是否平行，若不平行，再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线．题型二十平面与平面平行性质定理的应用【例20】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？[解]如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.【规律方法】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤题型二十一直线、平面平行的综合应用【例21】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.[解](1)证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于点O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，又因为O为AC的中点，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.【规律方法】三种平行关系的相互转化线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转化．相互间的转化关系如图．因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向．“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据．充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在．13.二面角（1）二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（2）画法第一种是卧式法，也称为平卧式：第二种是立式法，也称为直立式：（3）二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角【说明】【说明】（1）二面角的平面角范围是；（2）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直；（3）二面角的求法：①几何定义法；②空间向量法；③射影面积法.求解二面角的常用方法：1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法；2、三垂线法：利用三垂线定理，根据“与射影垂直，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法；3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法；4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角；5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。（4）平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面与垂直，记作.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：（5）平面与平面垂直的判定定理

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

符号语言：

图形语言：

特征：线面垂直面面垂直

注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.（6）平面与平面垂直的性质

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

符号语言：

图形语言：

题型二十二求二面角【例22】四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)二面角B－PA－D的平面角的度数；(3)二面角B－PA－C的平面角的度数．[解](1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意可得∠BAD＝90°，∴二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.解∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AB.又BC⊥AB，且AB∩AP＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.又AB⊥BC，∴∠PBA为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PAB中，AP＝AB.∴∠PBA＝45°.∴二面角P－BC－D的平面角的度数为45°.【规律方法】(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．2．求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．题型二十三平面与平面的位置关系【例23】已知正方体ABCD－A1B1C1D1，在图甲中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，请画出图甲、图乙中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．[解]在图甲中，过点E作EN平行于BB1交CD于点N，连接NB，并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．在图乙中，延长DC，过点C1，作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．证明：在图甲中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，EF与BN相交，交点为M.又因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，故AM所在直线为两平面的交线．在图乙中，C1M与DC的延长线交于点M，所以M∈DC.又因为DC⊂平面ABCD，所以M∈平面ABCD，而C1M∥A1B，所以C1，M，B，A1四点共面，所以M∈平面A1C1B.即点M是平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又因为点B也是两平面的公共点，所以BM所在直线即为两平面的交线．【规律方法】平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面的位置关系有两种，平行和相交，相交的判断主要是以基本事实3为依据找出一个交点，平面与平面平行的主要特点是没有公共点．(2)牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊情况，要学会举反例否定．题型二十四线面、面面相交问题【例24】在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面BEF相交．[证明]∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，∴平面ACC1A1与平面BEF相交．【规律方法】判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．题型二十五用定义法证明平面与平面垂直【例25】如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.[证明]∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，∴△ABD与△BCD是等腰三角形．∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．在Rt△ABD中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，∴AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(\r(2),2)a.同理CE＝eq\f(\r(2),2)a.在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，即二面角A－BD－C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD.【规律方法】用定义证明两个平面垂直的步骤利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直．题型二十六利用判定定理证明面面垂直【例26】如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.[证明]∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，G，F分别为PB，PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.【规律方法】证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．题型二十七折叠问题【例27】如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；(2)求二面角P－AD－E的大小．[解](1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE，同理，DP⊥PE.又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD.又PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.(2)如图所示，取AD的中点F，连接PF，EF，则易知PF⊥AD，EF⊥AD，∴∠PFE就是二面角P－AD－E的平面角．又PE⊥平面PAD，PF⊂平面PAD，∴PE⊥PF.∵EF＝AB＝eq\r(2)，∴PF＝eq\r