2021北京景山远洋分校高二（上）期中数学（教师版）

2021北京景山远洋分校高二（上）期中

数学

一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分）

1.（4分）下列命题正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.一条直线和一个点确定一个平面

C.梯形可确定一个平面

D.圆心和圆上两点确定一个平面

2.（4分）如图，四棱柱ABC。-A4GA的底面钻8为平行四边形，已知斗耳=〃，AD=b,AA,=cf则用向量

a,b,可表示向量30为（）

A.a+b+cB.—G+Z?+cC.a-h+cD.-d+h-c

3.（4分）已知正四棱锥的底面边长为1,侧棱长为2,那么它的体积为（）

A.-B.叵C.—D.以上都不对

366

4.（4分）已知向量M=（l,2,3）,b=（-\,0,1）,则@+2b=（）

A.(-1,2,5)B.(-1,4,5)C.(1,2,5)D.(1,4,5)

5.（4分）已知三条不同的直线/,小，〃和两个不同的平面a,/7,下列四个命题中正确的为（）

A.若mUa,n//a,则/«//〃B.若///帆，mca,贝!J///a

C.若///a,////?,则/?//aD.若〃/a,l1/3,则

6.(4分)已知向量G=(l,x,-2),6=(0,1,2),c=(l,0,0),若b,1共面，则x等于()

A.-1B.1C.1或—1D.1或0

7.(4分)如图ABC。-ABC。是正方体，耳耳=O1R=竽，则8月与。耳所成的角的余弦值是()

C.AD.3

172

8.（4分）已知直线a,b,平面a,B=alia,aA.b,那么“a，力”是“a，1''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.（4分）已知长方体A8CO-ABCA中，AB=2,A4,=1,则直线3"与平面BCC4所成角的正弦值为

L.------

32

10.（4分）在棱长为1的正方体A6C£>-AB|G〃中，M,N分别为B2，耳弓的中点，点尸在正方体的表面上运

动，且满足MP_LCN,则下列说法正确的是（）

线段9的最大值为日

B.

C.点尸的轨迹是正方形D.点尸轨迹的长度为2+行

二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）

11.(4分)已知点5是点A(3,4,5)在坐标平面。孙内的射影，贝1]|0豆|=.

12.(4分)已知正方体ABC。-A与G〃的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2,则球的直径是一；球

的表面积是—.

13.(4分)向量函=(1,0,3),OB=(-1,2,6),其中O为坐标原点，点C为线段AB的中点，则点C的坐标

为—.

14.(4分)如图是棱长为。的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线所与所成角的余弦值为一.

15.(4分)已知棱长为1的正方体ABC£)-A4G〃中，E为侧面BBQC中心，F在棱4)上运动，正方体表面上

有一点P满足A户尸+)@£(xj®,y0),则所有满足条件的P点构成图形的面积为.

三、解答题(本大题共6小题，共48分)

16.(4分)已知向量。=(1,-1,2),b=(-2,1,-1),c=(2,-2,1),计算下列各式的值.

(I)(«+c)•a；

(II)\2h+c\；

(III)cos<a,c>.

17.(8分)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面他8为正方形，B41.平面4JC。，M,N分别为棱P£),3c的

中点，P4=AB=2.

(I)求证：MY//平面率3；

(II)求直线MN与平面尸8所成角的正弦值.

18.(6分)已知直三棱柱ABC-A8c中，侧面为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和Cg的中点,

BFLAB-

(1)求三棱锥F-E3C的体积；

(2)已知。为棱4向上的点，证明：BF上DE.

19.(6分)如图，在正四棱锥P—A38中，PA=AB,E,F分别为PB,PD的中点.

(I)求证：AC_L平面尸3D；

(II)求异面直线PC与隹所成角的余弦值；

(III)若平面田与棱PC交于点求丝的值.

20.(8分)如图，在三棱柱43C-A4cl中，四边形411GC是边长为4的正方形，AB=3.再从条件①、条件②、

条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.

(I)求证：平面44CC；

(II)求直线8c与平面ABG所成角的正弦值.

条件①：BC=5；

条件②：ABA.AA,-,

条件③：平面A3C_L平面A41c

（

21.（8分）设〃为正整数，集合A={a|a=（小t?，…’L），"e{0,1}}（女=1,2,n）,对于集合A中的

任意元素a=(X，工2，…，X”)和£=(X，券)，记

M(a,0=-[(^+y-1%-yI)+(x2+y2-\9一%I)+…+区+笫-I%〃-X,1)1•

(1)当九二3时，若a=(l,1,0),£=(0,1,1),求A/(a,a)和M(a,£)的值；

(2)当〃=4时，设6是A的子集，且满足：对于8中的任意元素。、B，当。、尸相同时,M(a、0)是奇数,

当&、/不同时，M(a,0是偶数，求集合3中元素个数的最大值.

2021北京景山远洋分校高二（上）期中数学

参考答案

一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分）

1.【分析】直接利用平面的性质的应用，共面的条件的应用求出结果.

【解答】解：对于选项A：当三点共线时，不能确定一个平面，故错误.

对于选项8：当该点在直线上时，不能确定一个平面，故错误.

对于选项C：由于梯形由两条对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故正确.

对于选项当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故错误.

故选：C.

【点评】本题考查的知识要点：平面的性质的应用，共面的条件的应用，主要考查学生对定义的理解和应用，属

于基础题型.

2.【分析】利用空间向量的平行六面体法则即可得出.

【解答】解：BD^BA+BC+BB^-AB+AD+AA^——ci+6+c•

故选：B.

【点评】本题考查了空间向量的平行六面体法则，属于基础题.

3.【分析】作出正四棱锥的图象，利用勾股定理求出正四棱锥的高，由锥体的体积公式求解即可.

【解答】解：如图所示，在正四棱锥尸-ABC。中，AB=\,PA=2,

设正四棱锥的高为OP,连接AO,

!）!Mo=-AC=—,

22

在RtAPOA中，PO7P解-AO?=J2?-停f=半,

则正四棱锥的体积为丫=L5.6,0=」、12义巫=巫.

3ABCD326

故选：C.

【点评】本题考查了正四棱锥几何性质的理解与应用，锥体体积公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能

力，属于基础题.

4.【分析】直接利用空间向量的坐标运算法则求解即可.

【解答】解：向量1=(1,2,3),6=(-1,0,1),则0+2方=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(-1,2,5).

故选：A.

【点评】本题考查空间向量的坐标运算，是基础题.

5.【分析】由线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质判断线线、线面、面面的位置关系.

【解答】解：逐一考查所给的选项：

A：若，“//or,则加，”可能平行、相交、异面，错误；

B：若//〃“，znua,则〃/a或/ua,错误；

C：若///。，///4，则a,4可能平行或相交，错误；

D：若〃/0,若过/的平面交面a于直线k则〃//,由/_L△知％又kua,由面面垂直的判定知a_L£,

正确；

故选：D.

【点评】本题主要考查线面关系有关命题的判定，属于基础题.

6.【分析】由b,5共面，设G历+)，列出方程组，能求出x.

【解答】解：•.•向量Z=(l,x,-2),B=(0,1,2),1=(1,0,0),a,b,共面，

:.^a=mb+nc,即(1,x,-2)=(0,m,2m)+(n,0,0)=(",m,2m),

n=\m——\

<ni=x,解得</?=1.

2m=-2x=-1

/.x=—1.

故选：A.

【点评】本题考查实数值求法，考查共面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点招，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形

中再利用余弦定理求出此角即可.

【解答】解：如图

先将耳。平移到川,再平移到&E,

Z££,B为8耳与DF、所成的角

设边长为4则，E、E=E\B=旧,BE=2

cosNEE、B=

故选：A.

【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题.

8.【分析】过直线。作平面了,交平面a于直线优，・.・q//a_L。，由aJ_4可推出c_Lq，由。_1力

可推出故是“a，尸”的充要条件.

【解答】解：若aJ_£,

过直线。作平面交平面a于直线a，，；a//a,/.a//",

又a_L夕，"J_尸，

又a'qa,:.aL/J9

若a_LQ,

过直线a作平面y,交平面a于直线a",♦;al/a,：.a//d,

*：a-Lb??.arA.bf

又,：a〕B,=b,

：.a'工0,:.a1°、

故“a_L£”是“aJ_/T的充要条件，

故选：C.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.

9.【分析】长方体4BCO-ABCA中，由AB=2,AD=AA.=\,知BR=C，再由直线BQ与平面BCqq所成

角为NR8G,由此能求出直线BDt与平面BCGA所成角的正弦值.

【解答】解：•.•长方体ABCD-ABCIR中，AB=2,AD=AA,=1,

BD、=J4+1+1=V6,

•.•直线BD,与平面BCG片所成角为,

直线BD,与平面BCCM所成角的正弦值sin力及、=皿=与=圣.

BD.x/63

故选：C.

【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.

10•【分析】以。为坐标原点，分别以ZM，DC,0A为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出语的坐标，

从而得到的最大值，即可判断选项8,通过分析判断可得点P不可能是棱84的中点，从而判断选项A,又

EF=GH=I,EH=FG=—,可判断选项C和选项。.

2

【解答】解：在正方体ABCD-AqGA中，以。为坐标原点，分别以ZM,DC,。。为X轴，y轴，z轴建立

空间直角坐标系，

因为该正方体的棱长为1,M,N分别为BQ,AC的中点，

则£)(0,0,0),1l),/v4,l,l),C(0,l,0),

2222

所以国=d,o,i)，

2

设P(x,y,z),则A/声=(x-g,y-；,z-；),

因为MP_LCV,

所以g(x-g)+z-g=0,2x+4z-3=0,

当x=l时，z=l,

4

当X=O时，z=3,

4

1133

取E(l,0,-),F(l,l,-),G(0,l,-),/f(0,0,-),

4444

连结EF,FG,GH,HE,

则访=而=(0,1,0),由=而=(一1,0,1),

所以四边形EFGH为矩形，则EFCN=0,EHCN=0,

即EF_LCV,EH±CN,又印和EH为平面EFG”中的两条相交直线，

所以CNJL平面EFG”,

又EM=(-:，!，：)，而3=(-!，!，3，

224224

所以M为EG的中点，则Me平面EFG”,

所以为使MPA.CN,必有点PG平面EFGH,

又点P在正方体表面上运动，

所以点P的轨迹为四边形EFGH,

因此点P不可能是棱的中点，

故选项A错误;

又EF=GH=l,EH=FG=—,

2

所以EFwEH,则点尸的轨迹不是正方形，且矩形EFG”的周长为2+2x好=2+后,

2

故选项C错误，选项。正确；

因为函=d,0,1),=

2222

又MP1.CN,贝世(x」)+z」=0,2x+4z-3=0,

222

a41a

所以x=--2z,点尸在正方体表面运动，则噫!)--2z1,解得一熟一，且糜*1,

2244

所以MP=+(5一；)2+。-；)2=不5(z_；y+(y_；)2，

故当z=>!■或z=』，y=0或1时，MP取得最大值为3,

44-4

故选项3错误；

故选：D.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了空间中点、线、面位置关系的应用，直线与平面垂直的判定定

理与性质定理的应用，对于空间中的一些长度问题，经常会选用空间向量来求解，关键是建立合适的空间直角坐

标系，准确求出所需各点的坐标和向量的坐标.

二、填空题(本大题共5小题，每题4分，共20分)

11•【分析】先求出8(3,4,0),由此能求出|而

【解答】解：•.•点3是点A(3,4,5)在坐标平面。町内的射影，

.,.8(3,4,0),

则|OB|=>/33+42+02=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查点到原点的距离的求法，考查射影、空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

12.【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.

【解答】解：正方体ABC。-4与0。的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2,

设外接球的半径为广，

则：(2r)2=22+22+22=12,解得r=

故球的直径为2G.

球的表面积为S=4x%x(行了=12万.

故答案为：2底T2兀.

【点评】本题考查的知识要点：正方体和外接球的关系的应用，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能

力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

13.【分析】先求出点A,8的坐标，然后由中点坐标公式求解即可.

【解答】解：因为向量西=(1,0,3),05=(-1,2,6),其中O为坐标原点，

则A(1,0,3),8(-1,2,6),

又点C为线段AB的中点，

由中点坐标公式可得，点C的坐标为(0,1,g).

故答案为：(011,—).

2

【点评】本题考查了空间向量的坐标与点的坐标之间关系的应用，空间中点坐标公式的应用，考查了化简运算能

力，属于基础题.

14•【分析】根据正方体的平面展开图，画出它的直观图，然后根据㈤B是异面直线跖与MN所成的角，求出

cos/E/中即可.

【解答】解：根据正方体的平面展开图，画出它的直观图如图所示，

连接8R,BE,由MN11BF,得是异面直线砂与MN所成的角，

则AER?是正三角形，二NER3=60。，

二.cosNEFB=—.

2

.•・异面直线EF与MN所成角的余弦值为

2

故答案为：

2

D

【点评】本题考查了根据正方体的平面展开图，求其直观图中异面直线所成角的问题，考查了空间中的位置关系

与应用问题，属中档题.

15.【分析】根据面面平行的性质确定P的轨迹边界，从而得出轨迹图形.

【解答】解：•.•〃户=厂+yDE（x廊,y0）,:.Dt,E,F,P四点共面,

设A，E,F,尸四点确定的平面为a,则a与平面BCGA的交线与平行,

①当尸与。重合时，取3c的中点M,连接EM,DM,则EM//RF,

则此时P的轨迹为折线A-O-仞-E,

②当F与A重合时，EB//DtF,

此时产的轨迹为折线〃-A-B-E,

.♦.当F在棱上运动时，符合条件的尸点在正方体表面围成的图形为AA。，直角梯形RtABME.

01,,1/,、，11111

/.S=—xlxl+—x(—4-l)xl+—X—X—=——.

2222228

故答案为：

8

【点评】本题考查了棱柱的结构特征，平面向量的基本定理，属于中档题.

三、解答题（本大题共6小题，共48分）

16.【分析】（I）根据向量的坐标运算公式计算即可：

（II）求出向量苏+C,求模即可；

（III）根据向量夹角的余弦公式计算即可.

【解答】解：1=（1，-1,2）,坂=（一2,1,-1）,5=（2,-2,1）,

(I)(a+c)-«=-6-3-3=-12；

(II)•/2b+c=(-4,2,-2)+(2,-2,1)=(-2,0,-2),

:.|26+3|=j4+4=20；

(III)1.,a-c=2+2+2=6>|@|=+1+4=屈,|c|=V4+4+1=3)

【点评】本题考查了向量的坐标运算，考查向量求模以及夹角的余弦公式，是基础题.

17.【分析】(I)取F4的中点E,连接砂、EM,证明四边形仞M旺•是平行四边形.然后证明MN〃平面RLB.

(〃)如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD的法向量，求出碗=(2,0,-1).利用空间向量的数量积求解即可.

【解答】解：(1)证明：在四棱锥中，

取P4的中点E,连接EB、EM,

因为M是尸D的中点，

所以EW//4),且EA/=』AO.

2

又因为底面45CQ是正方形，N是的中点，

所以BN//AD,且BN='A£>.

2

//

所以EM=BN.

所以四边形肱VBE是平行四边形.

所以MN//EB.

由于EBu平面R4B,MN0平面

所以MV//平面RW.

(〃)因为底面ABCZ)是正方形，所以"_LAT>.

又因为24d■平面ABCD.

所以以点4为坐标原点，A3、AD.AP分别为x、y、z轴，

如图建立空间直角坐标系.A(0,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),N(2,

1,0).PC=(2,2,-2),CD=(-2,0,0),

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z).

有：\一即《令y=l,则z=l,

m-CD=0,[x=°，

所以沅=（0,1,1）,丽=（2,0,-1）.

设直线MN与平面PCO所成角为0.

——«IMN•m\|0x2+lx0+lx(-l)|V10

有:sin0=|cos〈MN,庆〉|=——

|MN|・|加|75x72-W~

所以直线MN与平面PC£＞所成角的正弦值为巫.

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用,直线与平面所成角的求法，是中档题.

18.【分析】⑴先证明A3,平面BCC4,即可得到A8J.8C,再根据直角三角形的性质可知CE=&=BE,最

后根据三棱锥的体积公式计算即可；

（2）取3c中点G,连接£G,用G,先证明EG//AB//BQ,从而得到E、G、B一。四点共面，再由（1）

及线面垂直的性质定理可得BFLEG,通过角的正切值判断出

NCBF=NBB、G,再通过角的代换可得，再根据线面垂直的判定定理可得防_1_平面,进而

得证.

【解答】解：（1）在直三棱柱ABC—ABC中，BBJAB-

又8尸_LA4，BBICBFMB,BBt,BEu平面8CC4,

_L平面BCC|B|,

ABHA.B,,

.•.A3_L平面8CCM,

/.AB上BC,

又AB=BC,故AC=a2+22=20,

CE=yfi.=BE,

而侧面A4,B田为正方形，

CF=-CC.=-AB=\,

2'2

v

=^5A£BC-CF=^xlx>/2x^xl=l,即三棱锥尸一EBC的体积为g;

(2)证明：如图，取8c中点G,连接EG,BtG,设80门8尸=〃，

•.•点E是AC的中点，点G时BC的中点，

:.EG//AB,

:.EG!IABI/B.D,

：.E,G、B「。四点共面，

由(1)可得平面BCCg,

;.EGJ-平面8CC14,

BFVEG,

■;tanZCBF=—=l,tanZBB,G=-=-,且这两个角都是锐角，

BC22

NCBF=NBB,G,

NBHB、=ZBGB,+NCBF=ZBGB,+NBB、G=90°,

BFVBfi,

又反；「|80=6,EG,8Qu平面EG8Q,

二3尸"1平面反阻。，

又DEu平面EG8Q,

BF^DE.

【点评】本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线，线面间的垂直关系，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属

于中档题.

19.【分析】(I)设ACr|BD=。，则O为底面正方形488中心.连接PO,推导出PO_LAC,BD±AC,由此

能证明AC_L平面

(II)由OA,OB,OP两两互相垂直，建立空间直角坐标系O-孙z,利用向量法能求出异面直线PC与AE所

成角的余弦值.

(III)连接40.设丝=2,其中义40,1],求出平面的法向量，利用向量法能求出丝=L

PCPC3

【解答】(本小题满分14分)

证明：(I)设4。0|8。=。，则O为底面正方形A8C。中心.连接PO.

因为P-/W8为正四棱锥，

所以尸O_L平面/WCD.(1分)

所以PO_LAC.(2分)

又3D_LAC,且「。口8。=。，(3分)

所以AC_L平面尸皮).(4分)

(H)因为。4,OB,OP两两互相垂直，

如图建立空间直角坐标系O-型.(5分)

因为尸3=M，所以RtAPOB三RtAAOB.

所以O4=OP.(6分)

设。4=2.

所以42,0,0),8(0,2,0),C(-2,0,0),

£)(0,-2,0),尸(0,0,2),E(0,1,1),F(0,-1,1).

所以荏=(-2,1,1),PC=(-2,0,-2).(7分)

\AEPC\_V3

所以|cos＜通，无＞|=

\AE\-\PC\~6

即异面直线PC与他所成角的余弦值为迫.(9分)

6

(III)连接A".设当■=2,其中/le[0,1],

则而=4前=(一22,0,-2/1),(10分)

所以前=/+而=(-2-22,0,2-22).

设平面AEMF的法向量为万=(x,y,z),又而=(-2,-1,1),

所以卜.吧=。，即广+y+z=°

n-AF=O[-2x-y+z=0

所以y=0.令x=l,z=2,所以万=（1,0,2）.（12分）

因为AWu平面AEf,所以万•碗=0,（13分）

即-2-22+2（2-24）=0,

解得2=!,所以也=L（14分）

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查线段比值的求法，考查推理论证能力、运

算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查运用意识，是中档题.

20.【分析】(I)若选择①②，先由勾股定理可得A8_LAC,再结合ABLAA，AC^AA,=A,即可得证；若选择

①③，先由勾股定理可得A3LAC,再利用面面垂直的性质定理即可得证；

(II)建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，进而求得平面ABC的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可.

【解答】解：若选择①②，

(I)证明：•.•AC=4,AB=3,BC=5,

:.ABrAC,

又,.•ABJ.AAi，4⑺刈"，

二45，平面MGC；

(II)由(I)可知，AB±AC,ABIA^,

•.•四边形A41GC是正方形，

AC±AA,,

如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0).8(3,0,0),C(0,