2021北京初三（上）期中数学汇编：弧、弦、圆心角

2021北京初三（上）期中数学汇编

弧、弦、圆心角

一、单选题

1.（2021•北京铁路二中九年级期中）如图，在5x5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弧AC所对

的圆心角的大小是（）

2.（2021•北京市月坛中学九年级期中）如图，已知AB是。O的直径，BC=CD=DE,ZBOC=40°,那么NAOE

二、填空题

3.（2021・北京・人大附中九年级期中）如图，在。O中，弧AB=MBC=MCD,连接AC,CD,则

AC2CD（填“>”、"V”或“=”）

4.（2021・北京・人大附中九年级期中）如图，在。O中，若AB=BC=CD，则AC与2CD的大小关系是:

AC_2CD.（填"V”或“=”）

5.（2021•北京市第五十六中学九年级期中）如图，已知A,B,C,D是。。上的点，Z1=Z2,①=②

BD=AC；③AC=BD：®ZBOD=ZAOC.则上面结论中正确的有.

I)

6.（2021•北京四中九年级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约.如图，摩天

轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地

面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟.

7.（2021.北京八十中九年级期中）如图，AB是OO的直径，弦MN〃AB,分别过M、N作AB的垂线，垂足为

C、D,以下结论

①AC=BD；

②AM=BN；

③若四边形MCDN是正方形，则MN=3AB；

④若M为弧AN的中点，则D为OB中点.

所有正确结论的序号是

三、解答题

8.（2021•北京市月坛中学九年级期中）已知，如图，A、B、C、D是。O上的点，ZAOB=ZCOD,求证：AC=

BD

9.（2021•北京・人大附中九年级期中）如图，A、B是。O上的两点，C是弧AB中点.求证：NA=NB.

10.（2021•北京市第五十四中学九年级期中）已知：如图，AB是OO的直径，CD是。O的弦，且ABJ_CD,垂

足为E.

（1）求证：BC=BD；

（2）若BC=15,AD=20,求AB和CD的长.

11.（2021.北京市第一五九中学九年级期中）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.

己知：OO.

求作：。。的内接正三角形.

作法：如图，

①作直径AB；

②以B为圆心，OB为半径作弧，与。。交于C,D两点;

③连接AC,AD,CD.

所以△ACD就是所求的三角形.

根据小董设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：在。O中，连接OC,OD,BC,BD,

VOC=OB=BC,

...△OBC为等边三角形（）（填推理的依据）.

ZBOC=60°.

ZAOC=180°-ZBOC=120°.

同理/AOD=120°,

ZCOD=ZAOC=ZAOD=120°.

.,.AC=CD=AD（）（填推理的依据）.

...△ACD是等边三角形.

12.（2021•北京育才学校九年级期中）如图，在。O中，弦AB与弦CD相交于点E,且AB=CD.求证：CE=

BE.

13.（2021•北京十五中九年级期中）下面是小明设计的“作己知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.

己知：OO.求作：。。的内接正三角形.

作法：

如图，①作直径AB；

②以B为圆心，OB为半径作弧，与。。交于C,D两点；

③连接AC,AD,CD.所以△ACD就是所求的三角形.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

B

（2）完成下面的证明：

证明：在。。中，连接OC,OD,BC,BD,

VOC=OB=BC,

.".△OBC为等边三角形.

/.ZBOC=°,

...NAOC=

同理/AOD=120°,

ZCOD=ZAOC=ZAOD=I20°.

；.AC=CD=AD（）（填推理的依据）.

...△ACD是等边三角形.

14.（2021•北京市第四十三中学九年级期中）如图，AB是圆。的直径，弦CDJ_AB于点E,点M在。O上，MD

恰好经过圆心O,连接MB.

（1）若CD=16,BE=4,求。O的直径；

（2）若NM=/D,求/D的度数.

15.（2021•北京市三帆中学九年级期中）在NMON的两边OM,ON上分别取点H,I,作弧HI（可以是优弧，也

可以是劣弧）.若弧HI上所有点都在NMON内部或边上，称点H、I是/MON的内嵌点，弧HI所在圆的半径为

/MON的“角半径”，记为R/MQV.例如，下图1、图2、图3中的H、I都是/MON的内嵌点.己知NMON=60。，

H、1是NMON的内嵌点时，

(1)当OH=OI=2时，R/M次的最小值是；

(2)当0H=2,弧HI是半圆时，求线段01长度的取值范围；

(3)当0HW0I,R/MON=3,及〃,=2万时，求线段01长度的范围.

参考答案

1.D

【分析】

根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB,BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可.

【详解】

解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，

它们都经过Q,所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心.

连接AQ,CQ,

AP=QN

在4APQ与4CQN中，ZAPQ=ZQNC,

PQ=CN

/.△APQ^ACQN(SAS),

.♦.NAQP=/CQN,NPAQ=NCQN

ZAQP+ZPAQ=90°,

.".ZAQP+ZCQN=90°,

ZAQC=90°,

即弧AC所对的圆心角是90°,

故选：D.

【点睛】

本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心.这也是常用来确定圆心的方法.

2.C

【分析】

根据弦、弧以及圆心角的关系可得，ZBOC=ZCOD=ZEOD=40°,即可求解.

【详解】

解：YAB是。O的直径，

4408=180°,

又；BC=CD=DE,/BOC=40°,

NBOC=/COD=ZEOD=40°,

ZAOE=ZAOB-3NBOC=60°,

故选：C.

【点睛】

此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，弧相等，解题的关键是掌握

弦、弧以及圆心角的关系.

3.<

【分析】

连接AB、BC,根据题意得AB=BC=CD,再根据三角形的三边关系，即可求解.

【详解】

解：如图，连接AB、BC,

•.•弧AB=MBC=MCD,

，AB=BC=CD,

,/AC<AB+BC,

AC<2CD.

故答案为：<

【点睛】

本题主要考查了圆的弧、弦，的关系，三角形的三边关系，熟练掌握同圆内，等弧所对的弦相等是解题的关键.

4.<

【分析】

如图，连接AB、BC,根据题意知，AB=BC=CD,又由三角形三边关系得到AB+BOAC得到：AC<2CD.

【详解】

解：如图，连接AB、BC,

'-'AB=BC=CD

AB=BC=CD,

在△ABC中，AB+BOAC.

AAC<2CD.

故答案是：<.

【点睛】

本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到AB+BOAC.

5.①②③④

【分析】

根据弦、弧、圆心角之间的关系解答即可.

【详解】

解：VZ1=Z2,

AB=CD，故①正确；

VZ1=Z2,

Zl+NCOB=Z2+/COB,即/BOD=ZAOC,

•••BD=AC<BD=AC,故②③正确；

由上证得N80D=ZA0C,故④正确.

故答案为：①②③④

【点睛】

本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.

6.12

【分析】

先计算出圆的底端距离地面的距离为12,从而得到圆的底部到弦的距离为22,从而计算出弦所对的圆心角，用弧

长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可.

【详解】

如图所示，根据题意，得OC=44,CD=AD-AC=100-88=12,ED=34,

CE=ED-CD=34-12=22,

OE=OC-CE=44-22=22,

在直角三角形OEF中，sinNOFE=g§=§=（，

OF442

I.ZOFE=30°,

JZFOE=60°,

.•.ZFOB=120°,

240"4TTR

FAB=

180丁

•••圆转动的速度为B=

1o9

最佳观赏时长为竿+噂=12(分钟)，

故答案为：12.

【点睛】

本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数是解题的关

键.

7.①②④

【分析】

先证明四边形CMND是矩形，再证明RSOMC丝RSOND(HL),可得结论①②正确，证明AB=^MN,可得

③错误；证明AOBN是等边三角形，可得④正确，从而可得答案.

【详解】

解：连接OM、ON,AM如图，VMCIAB,ND1AB,

.,,ZOCM=ZODN=90°,

'：MN//AB,

AZCMN+ZMCD=180°,

.*.ZCMN=90°,

四边形CMND是矩形，

在Rt^OMC和RtAOND中，=

(CM=DN

/.RtAOMC^RtAOND(HL),

AOC=OD,ZCOM=ZDON,

痴=BN，

AM=BN,故②正确，

VOA=OB,OC=OD,.\AC=BD,故①正确，

当四边形MCDN是正方形时，CM=Q=20C,

-,-OM^>j0C2+CM\

，

..0M=>/50C,

AB=2OM=2750C=5/5MN,

\MN=—AB,故③错误，

5

若M是AN的中点，连接BN,而A"=BN,

ZAOM=ZMON=ZBON=60°,

VON=OB,

...△ONB是等边三角形，

VND1OB,.,.OD=DB.故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方

形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键.

8.见解析

【分析】

根据角之间的关系，得到=再根据弦与圆心角的关系，即可求解.

【详解】

证：VZAOB=ZCOD

,ZAOC=ZAOB+ZBOC=ZCOD+NBOC=ZBOD

：.AC=BD

【点睛】

此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等，解题的关键是掌握它们

之间的关系.

9.见解析

【分析】

连接OC,通过证明ZXAOC名△BOC(S4S)即可得结论.

【详解】

证明：如图，连接0C,

是AB的中点，

AC=BC，

.-.ZAOC=ZBOC,

在△AOC和ABOC中，

OA=OB

"ZAOC=ZBOC,

oc=oc

.••AAOC三AB0C(S4S),

,-.ZA=ZB.

【点睛】

本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解

决问题，属于中考常考题型.

10.(1)证明见解析；(2)AB=25,CD=24

【详解】

试题分析：(1)由于AB为直径且AB_LCD,由此可知B点将CO平分，所以BC=BQ，由此推出=

(1)；AB为。。的直径，AB1CD,

•,BC=BD，

：.BC=BD

(2)TAB为。O的直径，

・・・ZADB=90°,

AB=4Ab2+BD。=7202+152=25，

'：-xABxDE=-xADxBD,

22

A-x25xDE=-x20xl5,

22

ADE=12.

；AB为0O的直径，AB1CD,

，CD=2DE=2X12=24

考点：直径垂直平分线的性质，勾股定理的计算

点评：本题难度不大，需要记住的是圆的直径和直角三角形的关系

11.(1)详见解析；(2)三条边都相等的三角形是等边三角形.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等.

【分析】

(1)根据步骤作图即可；

(2)根据等边三角形的判定，弧弦圆心角关系定理即可解决问题.

【详解】

解：⑴

A

(2)三条边都相等的三角形是等边三角形.

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等.

【点睛】

本题考查等边三角形的判定，弧弦圆心角的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

12.见解析

【分析】

根据AB=CD得至UAB=CZ)，推出AC=B£)，得至l|NC=NB,由此得到结论.

【详解】

证明：VAB=CD,

AB=CD，

二AB-CB=CD-CB,

即AC=BD>

：.NC=NB,

；.CE=BE.

【点睛】

此题考查同圆中弦、弧的关系，圆周角的性质，等角对等边的判定，正确推导出AC=8。是解题的关键.

13.(1)见解析；(2)60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等

【分析】

(1)利用画圆的方法作出C、D两点，从而得到△ACD；

(2)在OO中，连接OC,OD,BC,BD,利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则/BOC=

60°,接着分别计算出NCOD=NAOC=NAOD=120。.然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC=CD=AD,从而

判断△ACD是等边三角形.

【详解】

(1)解：如图，△ACD为所作；

(2)证明：在。O中，连接OC,OD,BC,BD,

VOC=OB=BC,

.,.△OBC为等边三角形.

ZBOC=60°.

NAOC=180°-NBOC=120°.

同理/AOD=120°,

NCOD=NAOC=ZAOD=120°.

/.AC=CD=AD(在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等)，

.•.△ACD是等边三角形.

故答案为：60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本

作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作

图，逐步操作.

14.(1)20；(2)30°

【分析】

(1)根据垂径定理得到。E=；8=8,ZOED=90°,设圆的半径为r,则OD=OB=r,OE=OB-OE=r-4,在△ODE

中利用勾股定理求解即可；

(2)由AB_LCD,AB过圆心O,得到BC=BD，由NM=ND,得到的C=ife,即可推出=冼=次)，贝I]

岷、BC、BO的度数是gxl80°=60°,则NO=；NMOC=30°.

【详解】

解：(1)•.•弦CDJ_AB,

OE=■!■C£>=8,ZOED=90°,

2

设圆的半径为r,则OD=OB=r,OE=OB-OE=r-4,

/.即(r-"?+8'=/，

解得r=10,

.••圆的直径=2r=20；

(2)连接OC,

VAB1CD,AB过圆心O,

•*-BC=BD，

VZM=ZD,

,•A^c=BD,

,•A^C=BC=*D，

1MD过O