专题30抛物线的标准方程及几何性质（原卷版）

专题30抛物线的标准方程及几何性质№专题30抛物线的标准方程及几何性质№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题30抛物线的标准方程及几何性质命题解读命题预测复习建议抛物线的标准方程及其几何性质是高考考查知识点之一，对于抛物线作为圆锥曲线的一个重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及几何性质，在选择、填空和解答中都有可能出现，主要是考查学生的运算能力和数形结合能力。预计2024年的高考抛物线的考查还是以常考查的知识点为主，不会变化很大，主要还是抛物线的方程和几何性质，注重数形结合和分析能力的考查。集合复习策略：1.理解抛物线的定义以及椭圆抛物线的标准方程的形式，准线等；2.掌握椭抛物线的简单几何性质。→➊考点精析←一、抛物线的定义及标准方程1.满足以下三个条件的点的轨迹叫作抛物线:(1)在平面内;(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等;

(3)定点不在定直线上.

2.抛物线的标准方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离二、椭圆的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴直线y=0直线x=0焦点FpF-F0F0离心率e=1准线方程x=px=py=py=p范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下→➋真题精讲←1.（2023全国Ⅱ卷10）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A. B.C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形2.（2023北京卷6）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（）A.7 B.6 C.5 D.43.（2023全国乙卷13）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.4.（2023全国甲卷20）已知直线与抛物线交于两点，且．（1）求；（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．5.（2023全国Ⅰ卷22）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．→➌模拟精练←1．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断不正确的是（

）A．若过点，则的准线方程为 B．若过点，则C．若，则 D．若，则点的坐标为2．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知抛物线，F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（

）A．若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为、B．抛物线C在点处的切线方程为C．一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点，的周长为D．点H为抛物线C的上任意一点，点，，当t取最大值时，的面积为23．（2023·江苏常州·校考二模）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（

）A． B．C． D．4．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，若的最小值为1，点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的方程为B．的最小值为C．点在抛物线上，且满足，则D．过作两条直线分别交抛物线（异于点）于两点，若点到距离均为，则直线的方程为5．（2023·江苏·统考二模）已知抛物线C：的焦点为F，过动点P的两条直线，均与C相切，设，的斜率分别为，，若，则的最小值为____________.6．（2023·江苏南通·二模）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则_______.7．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）抛物线的焦点坐标是______.8．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作，交准线l于点A.若，则的长为_________.9．（2023·江苏南京·统考二模）已知拋物线和圆．(1)若抛物线的准线与轴相交于点，是过焦点的弦，求的最小值；(2)已知，，是拋物线上互异的三个点，且点异于原点．若直线，被圆截得的弦长都为2，且，求点的坐标．→➍专题训练←1．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（

）A．1 B． C．1或 D．或3．（2023·江苏南通·三模）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆交轴于两点，为坐标原点，则的内切圆直径最小值为(

).A． B． C． D．4．（多选）（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线上，直线与抛物线交于点，则（

）A．的准线方程为 B．C．直线的斜率为 D．5．（多选）（2023·安徽黄山·统考三模）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．当时，直线的斜率为B．C．的面积不小于的面积D．6．（2023·吉林·统考三模）已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．7．（2023·山西运城·统考三模）已知抛物线的焦点为，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，.(1)求的标准方程；(2)抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由.8．（2023·河北石家庄·统考三模）已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.(1)求直线的方程及抛物线的方程；(2)若直线与直