第01课集合（学案）

第1课集合2024高考一轮复习考点逐点突破经典学案考试要求：1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算．一、【考点逐点突破】【考点1】集合的基本概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)【典例】已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A.5 B.6C.10 【解析】因为x∈A，y∈A，x－y∈A，所以分以下5种情况：①x－y＝1，有四个，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(1，0)；②x－y＝2，有三个，(3，1)，(4，2)，(2，0)；③x－y＝3，有两个，(4，1)，(3，0)；④x－y＝4，有一个，(4，0)；⑤x－y＝0，有五个，(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).综上，B中所含元素的个数为15.故选D.【反思】研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义.【考点2】集合中元素的三个特性之确定性【典例】下列对象能构成集合的是()A．高一年级全体较胖的学生B．sin30°，sin45°，cos60°，1C．全体很大的自然数D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点【解析】因为“较胖”的标准不明确，所以不满足集合中元素的确定性，故A项错误.sin30°＝cos60°＝eq\f(1,2)，不满足集合中元素的互异性，故B项错误.因为“很大的自然数”的标准不明确，所以不满足集合中元素的确定性，故C项错误.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点，可知这个点就是△ABC外接圆的圆心，满足集合的定义.故D项正确.故选D.【反思】判断指定的一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是否满足集合中元素的“确定性”，即能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.【考点3】集合中元素的三个特性之互异性【典例】若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.【解析】①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，②当2a－1＝－3时，a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}舍去，③当a2－4＝－3时，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2，1，－3}，综上，a＝0或1.【反思】利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【考点4】集合中元素的三个特性之无序性【典例】集合A=a1,a2【解析】错误【反思】集合中的元素是没有位置关系的，只要是元素相同，就是同一个集合.【考点5】元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.【典例】(多选)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是()A．2eq\r(2)∉A B．8⊆AC．{4}∈A D．{0}⊆A【解析】元素与集合之间是“属于”关系，集合与集合之间是“包含”关系.故选AD.【反思】判断元素与集合的关系的两种方法(1)直接法：如果元素是直接给出的，那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应明确集合是由哪些元素构成的.(2)推理法：对于一些元素没有直接给出的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.【考点6】集合的三种表示方法之列举法【典例】用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}【解析】方程的根为x=1，故选B.【反思】用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性.【考点7】集合的三种表示方法之描述法【典例】用描述法表示集合：被5除余1的正整数组成的集合【解析】根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x＝5n＋1，n∈N}.【反思】描述法表示集合的步骤(1)确定集合中元素的特征.(2)给出其满足的性质.(3)根据描述法的形式写出其满足的集合.【考点8】常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR【典例】已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,x－2)∈Z))))，则集合A中的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．6【解析】∵eq\f(4,x－2)∈Z，∴x－2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，∴x的值分别为－2,0,1,3,4,6，又x∈N，故x的值为0,1,3,4,6.故集合A中有5个元素．故选C.【反思】在处理集合问题时首先要弄清楚集合中研究的对象以及记准确特点的集合符号.【考点9】子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).【典例】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．故选D.【反思】判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.【考点10】真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A≠⊂B(或B【典例】设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是()A.M＝P B.P∈MC.M≠⊂P D.【解析】因为P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以P≠⊂故选D.【反思】准确理解真子集的含义【考点11】相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.【典例】已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－4,x＋5)≤0))，则集合A，B，C的关系正确的是()A.B⊆A B.A＝BC.C⊆B D.A⊆C【解析】因为x2－2x－3≤0，所以－1≤x≤3，则A＝[－1，3]；又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4]；因为eq\f(x－4,x＋5)≤0，所以－5＜x≤4，则C＝(－5，4]，所以A⊆B，A⊆C，B⊆C.故选D.【反思】集合相等要求集合中的元素相同即可【考点12】空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.【典例】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．【解析】∵B⊆A，①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2；②当B≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))解得－1≤m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．【反思】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．【考点13】集合的并集：①符号表示：A∪B；②图形表示：；③集合表示：{x|x∈A，或x∈B}【典例】已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]【解析】因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C．【反思】求集合并集的2种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解.(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.【考点14】集合的交集：①符号表示：A∩B；②图形表示：；③集合表示：{x|x∈A，且x∈B}【典例】已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)【解析】由题意得，B＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，∵A∩B有2个子集，∴A∩B中的元素个数为1；∵1∈(A∩B)，∴a∉(A∩B)，即a∉B，∴a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．故选D.【反思】求集合A∩B的常见类型(1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.(2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.【考点15】集合的补集：①符号表示：若全集为U，则集合A的补集为∁UA；②图形表示：；③集合表示：{x|x∈U，且x∉A}【典例】已知全集U＝{x|－3<x<3}，集合A＝{x|－2<x≤1}，则∁UA＝()A.(－2，1] B.(－3，－2)∪[1，3)C.[－2，1) D.(－3，－2]∪(1，3)【解析】因为全集U＝(－3，3)，A＝(－2，1]，所以∁UA＝(－3，－2]∪(1，3).故选D.【反思】求集合补集的两种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解.(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.【考点16】子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.【典例】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为()A．1 B．2C．4 D．8【解析】因为A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．所以集合A∩B的子集个数为22＝4.故选C．【反思】会求子集与真子集的个数，并会用排列组合知识解释.【考点17】A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.【典例】设集合M＝{x|－3＜x＜7}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}.若M∪N＝M，则实数t的取值范围为________.【解析】由M∪N＝M，得N⊆M.因为集合M＝{x|－3＜x＜7}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，当N＝∅时，有2－t≥2t＋1，解得t≤eq\f(1,3)；当N≠∅时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t＋1＞2－t，,2t＋1≤7，,2－t≥－3，))解得eq\f(1,3)＜t≤3.综上，实数t的取值范围为(－∞，3].【反思】准确理解两个集合之间的关系是解题的关键.【考点18】利用集合的运算求参数的值(范围)【典例】已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a<x<a＋3}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A．a<－eq\f(10,3)或a>eq\f(1,2)B．a≤－eq\f(10,3)或a≥eq\f(1,2)C．a<－eq\f(1,6)或a>2D．a≤－eq\f(1,6)或a≥2【解析】A＝{x|3x2－2x－1≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤1))))，①B＝∅，2a≥a＋3⇒a≥3，符合题意；②B≠∅，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,a＋3≤－\f(1,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,2a≥1，))解得a≤－eq\f(10,3)或eq\f(1,2)≤a<3.∴a的取值范围是a≤－eq\f(10,3)或a≥eq\f(1,2).故选B.【反思】对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．【考点19】Venn图的应用【典例】对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___________人．【解析】赞成A的人数为40×eq\f(3,5)＝24，赞成B的人数为24＋3＝27，设对A，B都赞成的学生有x人，则eq\f(1,3)x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，解得x＝18.【反思】在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.【考点20】集合新定义问题【典例】若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．【解析】不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，当A1＝{1,2,3}时，A2可为A1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆．【反思】解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．二、【考点教材拓广】【典例1】【教材第6页第5题】集合论是德国数学家康托尔（18451918）于19世纪末创立的.当时,康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时,越过“数集”限制,提出了一般性的“集合”概念.关于集合论,希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”,罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料,用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【解析】略【典例2】【教材第9页第5题】（1）设a,b∈R,P={1,（2）已知集合A={x∣0<x<a【解析】(1)∵P=∵B⊆A,

(2)∴利用数轴分析法(如图),可知【典例3】【教材14页第6题】已知全集U=A∪B={【解析】U={0,1,2,3,4,5【典例4】【教材35页第11题】学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?【解析】设只参加田径一项比赛的有x人.根据题意作出如图所示的Venn图.

由Venn图知只参加游泳一项比赛的有9人,又由题意知9+3+3+x+5-x+三、【考点真题回归】【典例1】【2022新高考Ⅰ】若集合M＝{x|x＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|13≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|13≤x【解析】由x＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|x＜4}＝{x|0≤x＜16}，由3x≥1，得x≥13，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|xx≥13∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|xx≥13}＝{x|13≤x＜故选：D．【典例2】【2022乙卷】设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M【解析】因为全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UM＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3∉M，4∈M，5∈M．故选：A．【典例3】【2022新高考Ⅱ】已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤