江西某中学高二数学上学期期中试题-理

数学（理）期中考试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.过点倾斜角的余弦值是的直线方程为(B)A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0C．3x＋4y＋10＝0 D．3x＋4y－8＝02.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是，则该双曲线的渐近线方程是(C)A． B． C． D．3.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和x轴相切,则该圆的标准方程是(B)A． B．C． D．4.已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(C)A．1 B．5 C．8 D．105.如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则实数k的值为(D)A． B．0 C． D．0或.(A)A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\r(2) C．eq\f(3,2) D．27.动点P到A(0，2)的距离比它到x轴的距离大2，则动点P的轨迹方程是(D)A．B．或C．D．或8.已知双曲线的两个焦点为F1、F2，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是(C)A．B．C．D．【解析】设双曲线的方程为－=1.由题意||PF1|－|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=.又∵|PF1|·|PF2|=2，∴a=2，b=1.故双曲线方程为－y2=1.9.已知双曲线C:，直线l:，直线l与双曲线C有且只有一个公共点，则m的所有取值个数是()AA．1 B．2 C．3 D．410.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点()BA．必在圆上 B．必在圆内C．必在圆外 D．以上三种情形都有可能11.已知点及抛物线上一动点，则的最小值为()AA．1 B．2 C．4 D．512.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，设∠DAB=，，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为，设，，则、的大致图像是()D【解析】设，，易知，在中，由余弦定理得，由双曲线和椭圆的定义知，，，，，且，故选D.【另解】设双曲线焦距为，当时，，若，则，又，；当时，,因而双曲线开口越大，故离心率也越趋于,观察的大致图像，只有D的才符合.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13.一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，则折痕所在直线与两坐标轴围成的面积是_______.【答案】9.提示:可解得对称轴方程为.14.如果圆与圆总有公共点，则实数的取值范围是___________.15.已知椭圆C:的焦点为，若点P在椭圆上，且满足(其中O为坐标原点)，椭圆上______.416.已知抛物线方程为，过作抛物线的弦,.若，则原点O到直线距离的最大值为_______.【解析】依题意可设，，由AP⊥AQ知eq\o(AP,\s\up15(→))·eq\o(AQ,\s\up15(→))＝0，可得y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.设PQ直线方程为x＝my＋n,代入y2＝4x，结合韦达定理与上式得n＝2m＋5，所以直线方程为x＝(y＋2)·m＋5，知此直线过定点，此时，原点O与点B的距离即为所求最大值，|OB|＝eq\r(29)，故选D．注：此题有一般性结论，即“抛物线，过作抛物线的弦,.若，则直线过定点”.三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为(为参数).（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.【答案】（1）直线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）点到直线的距离的取值范围是.18.（本题满分12分）若直线的方程为.（1）求证：无论实数为何值时，直线总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求实数a在取值范围.【答案】（1）经过定点，（2）.19.（本题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于A、B两点，与以为直径的圆交于C、D两点，且满足，求直线的方程.【解析】(1)由题设知，解得∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2∴圆心(0，0)到直线l的距离d＝.由d<1，得|m|<，(*)∴|CD|＝2＝2＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得x2－mx＋m2－3＝0，x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3，∴|AB|＝＝.由＝，得＝1，解得m＝±，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.20.（本题满分12分）已知抛物线C顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线C上的点到F的距离等于2.（1）求抛物线C的方程；（2）若不与x轴垂直的直线与抛物线C交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线恰好过点，求证：线段AB中点的横坐标为定值.【解析】(1)由题意设抛物线方程为，其准线方程为，∵到焦点的距离等于A到其准线的距离∴此抛物线的方程为.(2)证明：设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线MN的斜率为eq\f(y0,x0－4)，因为AB不垂直于x轴，所以直线AB的斜率为eq\f(4－x0,y0)，直线AB的方程为y－y0＝eq\f(4－x0,y0)(x－x0)，联立方程消去x，得,所以y1＋y2＝eq\f(4y0,4－x0)，因为N为AB中点，所以，即,所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.另证：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由点差法得，，将代入，得.21.（本题满分12分）已知点和直线，作垂足为Q，且.（1）求点P的轨迹方程；（2）过点C的直线与点P的轨迹交于两点,，点，若的面积为，求直线的方程.【解析】(1)由已知知.所以设，代入上式得平方整理得另解：由第二定义知，点P的轨迹是以C为焦点，为相应准线的双曲线且，又焦准距为，解得.（2）由题意可知设直线的斜率不为零，且恰为双曲线的右焦点，设直线的方程为，由若，则直线与双曲线只有一个交点，这与矛盾，故.由韦达定理可得即故直线的方程为.

22.（本题满分12分）已知椭圆的长轴两端点分别为、，是椭圆上的动点，以为一边在x轴下方作矩形，使，交于点，交于点.xOxOABPC图2EFDxyOABPCDEF图1（1）如图1，若，且为椭圆上顶点时，的面积为12，原点到直线的距离为，求椭圆的方程；（2）如图2，若，试