七年级数学上册专题1.1 有理数相关概念（基础）（解析版）

/专题1.1有理数相关概念目录正数和负数 1有理数概念及其分类 2有理数的分类 3有理数的应用 6数轴的定义 9数轴上表示有理数 10数轴上表示有理数（带字母） 12数轴的性质 13数轴上的应用 14相反数的定义 17相反数的性质 17相反数与数轴 18绝对值的定义 19含字母的绝对值化简 21非负性 23绝对值求值 24正数和负数具有相反意义的量的表示具有相反意义的量的表示在表示具有相反意义的量时，把其中一个量规定为正的，用__正数__来表示，而把与这个量意义相反的量规定为__负__的，用__负数__来表示．在数，0，，，，中，负数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：在数，0，，，，中，负数有，，，，共4个．故选：．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进小麦6吨，记为吨，那么仓库运出小麦8吨应记为吨．A． B． C． D．【解答】解：仓库运进小麦6吨，记为吨，仓库运出小麦8吨应记为吨，故选：．若收入3元记为，则支出2元记为A． B． C．1 D．2【解答】解：由题意知，收入3元记为，则支出2元记为，故选：．冬残奥会举办最理想的温度是至，若表示零上，那么表示A．零上 B．零上 C．零下 D．零下【解答】解：表示零下，故选：．有理数概念及其分类有理数的概念：__有理数的概念：__整数__和__分数__统称为有理数．下列各数中属于负整数的是A．0 B．3 C． D．【解答】解：、0为整数，故选项不符合题意；、3为负正整数，故选项不符合题意；、为负整数，故选项符合题意；、为负分数，故选项不符合题意．故选：．在，，，中，有理数有个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，是负分数，故是有理数；，是正分数，故为有理数；，是无限不循环小数，是无理数，故不是有理数；，是含有的数，是无理数，故不是有理数，所以有理数有两个，故选：．在，，，0，，5，中，负分数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：在，，，0，，5，中，负分数有，，共有2个，故选：．下列说法中，正确的是A．正有理数和负有理数统称有理数 B．正分数、零、负分数统称分数 C．零不是自然数，但它是有理数 D．一个有理数不是整数就是分数【解答】解：．正有理数，零和负有理数统称有理数，故本选项不合题意；．正分数和负分数统称分数，故本选项不合题意；．零是自然数，也是有理数，故本选项不合题意；．一个有理数不是整数就是分数，说法正确，故本选项符合题意．故选：．有理数的分类有理数的分类：①按定义，有理数可分为：②按正、负，有理数可分为：将下列各数填在相应的圆圈里：，，75，，0，，，，，．【解答】解：如图：把下列各数分别填在相应的集合内：，4.8，73，，，3.1415926，，，正分数集合：4.8，，3.1415926，；负分数集合：；非负整数集合：；非正整数集合：．【解答】解：正分数集合：，，3.1415926，；负分数集合：，；非负整数集合：，；非正整数集合：，．故答案为：4.8，，3.1415926，；，；73，0；，把下列各数分别填入相应的集合里．0，，5，3.14，，，．（1）整数集合：0，5，；（2）分数集合：；（3）有理数集合：；（4）非负数集合：．【解答】解：（1）整数集合：，5，；（2）分数集合：，3.14，；（3）有理数集合：，，5，3.14，，；（4）非负数集合：，5，3.14，，．故答案为：0，5，；，3.14，；0，，5，3.14，，；0，5，3.14，，．把下列各数分别填入相应的集合：，0，，，，，，0.6，．整数集合，0，，；分数集合；正有理数集合；负有理数集合；非负有理数集合；自然数集合．【解答】解：整数集合，0，，；分数集合，，0.6，；正有理数集合，，；负有理数集合，，，；非负有理数集合，0，，；自然数集合，．故答案为：，0，，；，，0.6，；，，0.6；，，，；，0，，0.6；，有理数的应用某工艺厂计划一周生产工艺品2800个，平均每天生产400个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）星期一二三四五六日增减（单位：个）（1）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；（2）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得70元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖60元，少生产一个扣100元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．【解答】解：（1）计划一周生产工艺品2800个，这周生产的数量（个；（2）由（1）可知本周比计划多生产10个，这一周应付出的工资（元．水果超市最近新进了一批百香果，每斤进价10元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：星期一二三四五六日每斤价格相对于标准价格（元0售出斤数2035103015550（1）第一周星期三超市售出的百香果单价为15元，这天的利润是元．（2）第一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）（3）超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5斤百香果，每斤20元，超出5斤的部分，每斤降价4元；方式二：每斤售价17元．林老师决定下周在水果超市购买40斤百香果，通过计算说明应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱．【解答】解：（1）卖出时每斤以15元为标准，表格中的数据表示超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，星期三超市售出的百香果单价为15元，这天的利润是（元，故答案为：15，（2）（元，（元，（元；所以第一周超市出售此种百香果盈利600元；（3）方式一：（元，方式二：（元，，选择方式一购买更省钱．体育课上，某小组的8名男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是这个小组8名男生的成绩记录““表示成绩大于15秒）．0（1）这个小组男生的最好成绩是多少？（2）这个小组男生的达标率为多少？（3）这个小组男生的平均成绩是多少秒？【解答】解：（1）（秒．故这个小组男生的最好成绩是13.8秒；（2）．故这个小组男生的达标率为；（3），（秒．答：这个小组男生的平均成绩是14.75秒．某粮仓原有大米148吨，某一周该粮仓大米的进出情况如下表：（当天运进大米8吨，记作吨：当天运出大米8吨，记作吨．某粮仓大米一周进出情况表（单位：吨）星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日（1）若经过这一周，该粮仓存有大米98吨，求的值，并说明星期五该粮仓是运进还是运出大米，运进或运出大米多少吨？（2）若大米进出库的装卸费用为每吨15元，求这一周该粮仓需要支付的装卸总费用．【解答】解：（1），解得．答：星期五该粮仓是运出大米，运出大米10吨；（2），（元．答：这一周该粮仓需要支付的装卸总费用为2310元．数轴的定义1．定义：规定了__1．定义：规定了__原点__、__正方向__、__单位长度__的直线．2．三要素：(1)原点：在直线上任取一个点表示数__0__，这个点叫做原点．(2)正方向：通常规定直线上向右的方向为_正方向_，向左的方向为_负方向_．(3)单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是A． B． C． D．【解答】解：、刻度不均匀，故错误；、正确；、数据顺序不对，故错误；、没有正方向，故错误．故选：．在下列图中，正确画出的数轴是A． B． C． D．【解答】、单位长度不一致，故该选项不符合题意；、有原点，正方向，单位长度，故该选项符合题意；、没有原点，故该选项不符合题意；、没有正方向，故该选项不符合题意．故选：．如图所示，下列数轴的画法正确的是A． B． C． D．【解答】解：、单位长度不一致，故此选项不符合题意；、缺少原点，故此选项不符合题意；、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意；、缺少正方向，故此选项不符合题意；故选：．下列各图是四位同学所画的数轴，其中正确的是A． B． C． D．【解答】解：选项中数轴缺少原点，选项不合题意，选项单位长度不一致，选项正确，选项中负方向和标错了，选项不合题意，选项中符合数轴的三要素，选项不合题意．故选：．数轴上表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．如图，数轴上一个点被叶子盖住了，这个点表示的数可能是A．2.3 B． C．3.7 D．1.3【解答】解：叶子盖住的点位于2和3之间，四个选项中的数只有2.3这个适合这个位置，故选：．如图，在数轴上有、两点，则两点表示的数字之和不可能A．2 B． C． D．【解答】解：设点、在数轴上所表示的数为，，且，由于点离原点的距离比点到原点的距离要大，，，即两点表示的数字之和不可能为正数．故选：．数在数轴上的位置可以是A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间【解答】解：，是负数，在原点左侧，，数在数轴上的位置可以是点与点之间，故选：．如图，点是数轴上一点，则点表示的数可能为A． B． C．2.5 D．1.5【解答】解：根据图示可得点表示的数在和之间，四个选项中只能是．故选：．数轴上表示有理数（带字母）(1)正数__(1)正数__大于__0,负数__小于__0,正数大于__负数__．(2)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的__大__．如图，数轴上，两点所对应的有理数分别为和，则的结果可能是A． B．1 C．2 D．3【解答】解：由图可知，，的结果可能是．故选：．如图，点，，，四个点在数轴上表示的数分别为，，，，则下列结论中，错误的是A． B． C． D．【解答】解：根据数轴上点的位置得：，，，，，．故选：．有理数、、在数轴上所对应的点如图所示，则下列结论正确的是A． B． C． D．【解答】解：由数轴可知，、，故不符合题意．、，故符合题意．、，故不符合题意．、，故不符合题意．故选：．如图，若数轴上，两点对应的有理数分别为，，则的值可能是A．2 B．1 C． D．【解答】解：由图可知，，，的结果可能是．故选：．数轴的性质(1)正数__(1)正数__大于__0,负数__小于__0,正数大于__负数__．(2)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的__大__．一只蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点，则点表示的数是A．3 B． C．0 D．【解答】解：由题意知蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点，首先点表示的数是正数，又与原点相距三个单位长度，点表示的数是3，故选：．下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是A．2 B．1 C． D．【解答】解：．2到原点的距离是2个长度单位，不符合题意；．1到原点的距离是1个长度单位，不符合题意；．到原点的距离是1.5个长度单位，不符合题意；．到原点的距离是3个长度单位，符合题意；在数轴上所对应的点与原点的距离最远的点表示的数是．故选：．数轴上表示数为和的点到原点的距离相等，则的值为A． B．2 C．4 D．不存在【解答】解：由题意知：与互为相反数，，解得：．故选：．如图，，，，，为某未标出原点的数轴上的五个点，且，则点所表示的数是A．2 B．7 C．11 D．12【解答】解：，又，，，表示的数是，表示的数是，故选：．数轴上的应用如图，点为数轴的原点，点，均在数轴上，点在点的右侧，点表示的数是，．（1）求点表示的数；（2）将点在数轴上平移3个单位，得到点，点是的中点，求点表示的数．【解答】解：（1），，，，则点表示的数是1；（2）当点向左平移时，，点表示的数是，点是的中点，点表示的数是；当点向右平移时，，表示的数是4，点是的中点，表示的数是，所以点表示的数是或．在今年720特大洪水自然灾害中，一辆物资配送车从仓库出发，向东走了4千米到达学校，又继续走了1千米到达学校．然后向西走了9千米到达学校，最后回到仓库．解决下列问题：（1）以仓库为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，画出数轴．并在数轴上表示、、的位置；（2）结合数轴计算：学校在学校的什么方向，距学校多远？（3）若该配送车每千米耗油0.1升，在这次运送物资回仓的过程中共耗油多少升？【解答】解：（1）如图，（2）（千米），答：学校在学校的西边，距学校千米；（3）（千米），（升，答：共耗油1.8升．出租车司机小刘某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米），，，，，，，，，．（1）将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？（2）若汽车耗油量为0.6升千米，出车时，邮箱有油67.4升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由．【解答】解：（1）（千米）．答：小张距上午出发点的距离是13千米，在出发点的南方；（2）（升，（升答：需要加油，要加7升油．如图，已知数轴上点是原点，点表示的有理数是，点在数轴上，且满足．（1）求出点表示的有理数；（2）若点是线段的中点，请直接写出点表示的有理数．【解答】解：（1），，当点在点的左侧时，点表示的数为；当点在点的右侧时，点表示的数为6，综上，点表示的有理数是．（2）当点在点的左侧时，点表示的有理数为：；当点在点的右侧时，，故点表示的有理数为或相反数的定义(1)定义：如果两个数只有__(1)定义：如果两个数只有__符号__不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数__互为相反数__．(2)特例：0的相反数是__0__．2022的相反数是A． B．2022 C． D．【解答】解：2022的相反数是．故选：．的相反数是A． B． C． D．【解答】解：的相反数是：．故选：．相反数等于它本身的数是A．1 B．0 C． D．0或【解答】解：相反数等于它本身的数是故选：．一个数的相反数是最大的负整数，则这个数为A． B．0 C．1 D．不存在这样的数【解答】解：最大的负整数是，根据概念，的相反数），则的相反数是1，故选：．相反数的性质互为相反数互为相反数的两个数之和为0若与互为相反数，则．【解答】解：与互为相反数，，，原式．故答案为：若，为相反数，则为．【解答】解：，为相反数，，．故答案为：．若、互为相反数，则的值为．【解答】解：因为、互为相反数，所以，所以．故答案为：．若、互为相反数，则的值为．【解答】解：由题意得：．．故答案为：．相反数与数轴数轴上点表示，、两点所表示的数互为相反数，且点到点的距离为3，则点所表示的数应是．【解答】解：设点表示的数是，，解得或，点表示0或，由、两点所表示的数互为相反数，得点表示的数是0或6，故答案为：0或如图，数轴上表示数2的相反数的点是A．点 B．点 C．点 D．点【解答】解：的相反数是，点表示，数轴上表示数2的相反数的点是点．故选：．已知数轴上、两点间的距离是6，它们分别表示的两个数、互为相反数，那么，．【解答】解：、互为相反数，；、两点间的距离是6，；，，．故答案为：3，．一个数在数轴上表示的点距原点3个单位长度，且在原点的左边，则这个数的相反数是．【解答】解：设此数是，则，解得．此数在原点左边，此数是，的相反数是3故答案为：3绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与__在数轴上，一个数所对应的点与__原点__的距离的绝对值是A． B．3 C． D．【解答】解：．故选：．有理数，，0，中，绝对值最大的数是A． B． C．0 D．【解答】解：的绝对值是2，的绝对值是，0的绝对值是0，的绝对值是．，的绝对值最大．故选．在，0.3，0，这四个数中，绝对值最小的数是A． B．0.3 C．0 D．【解答】解：，，，，，绝对值最小的数是故选：．下列说法中正确的是A．两个负数中，绝对值大的数就大 B．两个数中，绝对值较小的数就小 C．0没有绝对值 D．绝对值相等的两个数不一定相等【解答】解：两个负数比较，绝对值越大，对应的数越小，选项不合题意，选项不合题意，的绝对值为0，选项不合题意，绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数，选项正确，故选：．含字母的绝对值化简如果如果a>0，那么eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝__a__；如果a<0，那么eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝__－a__；如果a＝0，那么eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝__0__；有理数，在数轴上对应点如图所示：（1）在数轴上表示，；（2）试把，，0，，这五个数从小到大用“”号连接，（3）化简：．【解答】解：（1）如图，；（2）根据图象，；（3）根据图象，，，且，，，．有理数、、在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“”或“”填空：0，0，（2）化简：．【解答】解：（1）观察数轴可知：，，，．故答案为：；；．（2），，，．有理数、、在数轴上的位置如图，（1）判断正负，用“”或“”填空：0，0，（2）化简：．【解答】解：（1）由图可知，，，，且，，，；故答案为：，，；（2）原式．已知、、三个数在数轴上对应点如图，其中为原点，化简．【解答】解：根据数轴可得，．非负性在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．若，那么的值是多少？【解答】解：由题意得，，，解得，，所以，，答：的值是已知，求：（1）的值；（2）的值．【解答】解：，，，，，（1）；（2）．如果与互为相反数，求的值．【解答】解：与互为相反数，，又，，，，解得，，．已知，求的值．【解答】解：，，，，，则．绝对值求值已知，，且，求的值．【解答】解：因为，，所以或，或．又因为，所以或，①当，时，．②当，时，．综上所述：的值为或已知，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【解答】解：由题意知：，，（1），，或4（2），，或，，，1．如果向东走5米记作：“”，那么向西走8米记作A． B． C． D．【解答】解：向东走5米记作米，向西走8米记作米．故选：．2．如果水库的水位高于正常水位时，记作，那么低于正常水位时，应记作A． B． C． D．【解答】解：如果水库的水位高于正常水位时，记作，那么低于正常水位时，应记作．故选：．3．下面两个数互为相反数的是A．和 B．和 C．和 D．和【解答】解：、，所以两数相等，不合题意；、，，所以两数相等，不合题意；、，不互为相反数，不合题意；、，所以互为相反数，符合题意．故选：．4．在0.2，，，，0，，，这八个数中，非负数有A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【解答】解：，，，是非负数，故选：．5．在一次数学活动课上，某数学老师在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到，根据以上信息，下列判断正确的是A．四个正整数中最小的是1 B．四个正整数中最大的是8 C．四个正整数中有两个是2 D．四个正整数中一定有3【解答】解：相加得5的两个整数可能为：1，4或2，3．相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3．相加得7的两个整数可能为：1，6或2，5或3，4．相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4．每次所得两个整数和最小是5，最小两个数字为2，3，每次所得两个整数和最大是8，最大数字为4或5，当最大数字为4的时，四个整数分别为2，3，4，4．当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5．四个正整数中一定有3．故选：．6．点，，和原点在数轴上的位置如图所示，点，，表示的有理数为，，（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数的点为A．点 B．点 C．点 D．点【解答】解：，，异号；，所以表示，中的负数，表示其中的正数，所以表示数．这样也符合条件，故选：．7．一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续向东走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最后回到超市．小明家距小彬家．A．4.5 B．6.5 C．8 D．13.5【解答】解：由题意画图如下：小明家距小彬家，故选：．8．下列各组数中，互为相反数的是A．和 B．和 C．和4 D．和【解答】解：、和，虽然符号相反，但是绝对值不相等，所以它们不是相反数，故错误；、和，符号相反，但绝对值不相等，所以它们不是相反数，故错误；、和4，符号相同，所以它们不是相反数，故错误；、和，符号相反，绝对值相等，所以它们互为相反数，故正确．故选：．9．在现代生活中，手机微信支付已经成为一种新型的支付方式．如果微信零钱收入100元记为元，那么微信零钱支出36元记为元．【解答】解：如