甘肃省兰州市教育局第四片区高中联考2022-2023学年高三上学期第一次月考数学（理）试题

20222023学年度第一学期九月考试卷高三理科数学一、选择题（共60分，每小题5分）1已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，再求两集合的并集【详解】解：由，得，，所以,因为，所以，故选：A2.已知二次函数的图象如右图所示，则其导函数的图象大致形状是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：当时函数单调递增，所以，当时函数单调递减，所以，所以图像为B项考点：函数导数与单调性3.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【答案】D【解析】【详解】根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必是有志之士，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件，故选D.4.已知命题，则（）A.是假命题；B.是假命题；C.是真命题；D.是真命题；【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质可以判断命题的真假，再根据特称命题的否定为全称命题判断可得；【详解】解：因为，所以，则，所以是假命题，故选：B【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定及真假判断，属于基础题.5.求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间长度均为，故第i－1个区间为.本题选择D选项.6.设，则在处的导数＝A. B.－ C.0 D.【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：函数导数的计算7.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】A【解析】【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在开区间内的极小值点有个.故选：A.8.设曲线y=axln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【详解】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．9.函数在定义域R内可导，，且.若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由导数得函数的单调性，由题意得对称性，利用对称性转化，再利用单调性比较函数值大小．【详解】满足，则图象关于直线对称，又，∴时，，是增函数，时，时，是减函数，，又，，即．故选：C．10.已知函数则关于x的方程解的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】时直接解方程，时，引入函数，利用导数确定零点个数，从而方程解的个数．【详解】时，由得，，，时，设，，时，，递增，时，，递减，，，在上无零点，，所以在也是在上有唯一零点．综上，在上有一个解，所以，方程解的个数是3．故选：C．11.已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（）.A.50 B. C.2 D.50【答案】B【解析】【分析】由奇函数性质确定值，再由已知确定函数的周期性，然后由周期性、奇函数性质求值．【详解】是奇函数，∴，，，即，，是周期函数，周期是5，又是奇函数，∴．故选：B．12.已知有极大值和极小值，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求，由题意可得有两个不相等的实数根，结合二次函数的性质可得，解不等式即可求解.【详解】由可得，因为有极大值和极小值，所以有两个不相等的实数根，所以，即，解得：或，所以的取值范围为，故选：D.二、填空题（共20分，每小题5分）13.已知幂函数的图象过点，则___________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数可得，将点代入解析式可得的值，即可求解.【详解】因为函数是幂函数，所以，所以因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，故答案为：.14.函数的导数为_____________________；【答案】【解析】【详解】试题分析：考点：函数导数15.已知函数是偶函数，则______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：116.某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为_________________.【答案】【解析】【分析】根据题意找出利润与定价的函数关系，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设定价为元，利润为元，由题意可知：，故当时，最大，且最大值为1210.故答案为三、解答题17.求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线围成的图形的面积S.【答案】详见解析【解析】【详解】由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线围成的图形如图,面积为，所以面积为.18.已知函数．（1）若的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若在内单调递增，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意能取内的一切值，故转化为函数的判别式大于等于0求解即可；（2）根据复合函数的单调性可得在内单调递减且恒正，再根据二次函数的性质求解即可.【小问1详解】由的值域为R，可得能取内的一切值，故函数的图象与x轴有公共点，所以，解得或．故实数m的取值范围为．【小问2详解】因为在内单调递增，所以在内单调递减且恒正，所以，解得．故实数m的取值范围为．19.设是上的奇函数，，当时，.（1）求的值；（2）当时，求的图象与轴所围成图形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可得函数的周期为，然后利用周期性确定的值；（2）根据函数的性质画出的图象，然后计算当时,的图象与轴围成的图象的面积.【详解】（1）由得，，所以是以为周期的周期函数，所以.（2）由奇函数且，得，即.故知函数的图象关于直线对称.又当时，，且的图象关于原点成中心对称，则在上的图象如下图所示：当时，的图象与轴围成的图形面积为，则.【点睛】本题考查函数的周期性、对称性的运用，考查函数的图象及应用，难度一般.解答时，确定函数的周期、对称轴是关键.20.已知函数，曲线在点处切线方程为．（1）求的值；（2）讨论的单调性，并求的极大值．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得，的值；（2）利用导数的正负，可得的单调性，从而可求的极大值．试题解析：（1）．由已知得，．故，．从而，．（2）由（1）知，，．令得，或．从而当时，；当时，．故在，上单调递增，在上单调递减．当时，函数取得极大值，极大值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．21.已知函数（）．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）求在区间上的最小值．【答案】（1）;（2）答案见解析．【解析】【分析】（1）设切线的斜率为．利用导数求出斜率，切点坐标，然后求出切线方程;（2）通过得．讨论与区间端点的关系，通过判断单调性得出最值.【详解】．（1）当时，．∴，，∴所求切线方程为，即．（2）令得．①若，则．当时，，则在上单调递增．∴；②若，则．当时，，则在上单调递减．∴；③若，则．，随的变化情况如表：12极小值∴的减区间为，增区间为，∴．综上可知当时，；当时，；当时，．22.已知函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.（1）若对任意实数x，≥m恒成立，求m的最大值；（2）若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.【答案】（1）－；（2）(－∞，2)∪【解析】【分析】（1）求出导函数，结合二次函数性质可得参数范围；（2）由导函数确定函数的单调性，极值，由极小值大于0或极大值小于0得参数范围．详解】（1）＝3x2