第五章　第三节　第2课时　简单的三角恒等变换

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第2课时简单的三角恒等变换【课标解读】【课程标准】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).【核心素养】数学抽象、数学运算.【命题说明】考向考法高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.预测高考可能单独考查,也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,选择题、填空题、解答题中均有可能出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.

(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tanα2.半角公式sinα2=±1cosα2=±1+costanα2=±1-cosα1+cos常用结论1.降幂公式:cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α22.升幂公式:1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,1±sin2α=(sinα±cosα)2.基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12431.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.()(2)存在实数α,使tan2α=2tanα.()(3)cos2θ2=1-cosθ(4)tanα2=sinα1+cosα=1提示:由半角公式、二倍角公式可知,(1)正确;因为当α=0时,tan2α=2tanα=0,所以(2)正确;因为由二倍角公式可知:cosθ=2cos2θ2-1,所以cos2θ2=因为tanα2=sinα2cosα2=2sinα2cos答案:(1)√(2)√(3)×(4)√2.(必修第一册P223练习5改条件)cos2π12-cos25π12=(A.12 B.33 C.22 【解析】选D.因为cos5π12=sin(π2-5π12)所以cos2π12-cos25π12=cos2π12=cos(2×π12)=cosπ6=3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cosα=1+54,则sinα2A.3-58 B.-1+58 C【解析】选D.cosα=1+54,则cosα=1-2sin2故2sin2α2=1-cosα=3-54,即sin2α2=3因为α为锐角,所以sinα2所以sinα2=-4.(忽视隐含条件)已知2sinα=1+cosα,则tanα2=(A.2 B.1C.2或不存在 D.12【解析】选D.当α=kπ+π(k∈Z)时,满足2sinα=1+cosα,此时tanα2不存在;当α≠kπ+π(k∈Z)时,tanα2=sinα【核心考点·分类突破】考点一三角函数式的化简[例1](1)函数f(x)=sin2x+3sinxcosx-12可以化简为(A.f(x)=sin(2x-π3) B.f(x)=sin(2x-πC.f(x)=sin(2x+π3) D.f(x)=sin(2x+π【解析】选B.f(x)=sin2x+3sinxcosx-12=1-cos2x2+3=32sin2x-12cos2x=sin(2x-π(2)若α∈(0,π2),tan2α=cosα2-sinA.1515 B.55 C.53 【解析】选A.解法一:因为tan2α=sin2αcos2α=2sinαcos所以2sinαcosα1-2sin因为α∈(0,π2)所以cosα=154,tanα=sinαcos解法二:因为tan2α=2tanα1-tan2α=2sinαcos所以2sinαcosα1-2sin因为α∈(0,π2)所以cosα=154,tanα=sinαcos(3)已知sinα+cosα=233,则sin2(α-π4)【解析】因为sinα+cosα=23两边同时平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=43即sin2α=13由降幂公式可知sin2(α-π4)=1-cos(2α-π2)2=1答案:1解题技法三角函数式化简的解题策略(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.对点训练1.化简:2cos4x【解析】原式=1=(2cos=cos22x答案:12cos22.化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-12cos2αcos2β=【解析】原式=1-cos2α2·1-cos2β2+1+cos2=1-1+cos2β+cos2α+cos2αcos2=12+12cos2αcos2β-12cos2αcos2β答案:1【加练备选】化简:2sin(π-【解析】2sin=2sinα+2sin=4sinα.答案:4sinα考点二三角函数式的求值角度1给角求值[例2](1)sin18°cos36°=.

【解析】(1)原式=2sin18=2sin36°cos36°4cos18°(2)cos4π12-sin4π12=【解析】(2)原式=(cos2π12-sin2π12)(cos2π12+sin2π12)=cos2π12-sin2π(3)12sin10°-32cos10【解析】(3)原式=cos10=2(12cos10°-答案:(1)14(2)32解题技法给角求值问题的解题思路给角求值问题往往给出的角是非特殊角,求值时要注意:(1)观察角:分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分;(2)观察函数名:尽可能使函数名统一;(3)观察结构:利用公式,整体化简.角度2给值求值[例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,则cos(2α+2β)=(A.79 B.19 C.-19 D【解析】选B.因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=1(2)(一题多法)已知sin(α-π4)=35,π<α<5π4,则cos(2α-π4)【解析】因为sin(α-π4)=35,3π4<α所以cos(α-π4)=-4解法一:因为cosα=cos[(α-π4)+π=cos(α-π4)cosπ4-sin(α-π4=-45×22-35×2sinα=sin[(α-π4)+π=sin(α-π4)cosπ4+cos(α-π4=35×22-45×2所以cos(2α-π4)=cos[(α-π4)+=cos(α-π4)cosα-sin(α-π4)=-45×(-7210)-35×(-2解法二:cos(2α-π4)=cos2αcosπ4+sin2αsin=22(cos2α+sin2αcos2α=-sin(2α-π2)=-sin2(α-π=-2sin(α-π4)cos(α-π=-2×35×(-45)=sin2α=cos(2α-π2)=1-2sin2(α-π=1-2×925=7所以原式=22×(2425+725)答案:31解题技法给值求值问题的解题关键(1)解题关键:给值求值问题的解题关键在于“变角”,把所求角用含已知角的式子表示,求解时一定要注意角的范围的讨论.(2)注意下列变换:sin2x=cos(π2-2x)=-cos(π2+2xcos2x=sin(π2-2x)=sin(π2+2x提醒:以上变换,结合二倍角公式可将2x的三角函数与π4±x的三角函数联系在一起角度3给值求角[例4](1)已知α为锐角,且sinα·(3-tan10°)=1,则α=.

【解析】由已知得sinα=13-tan10°=cos10°2sin50°=sin80°由于α为锐角,所以α=40°.答案:40°(2)已知sinα=210,cosβ=31010,且α,β为锐角,则α+2β【解析】因为sinα=210,且α所以cosα=1-sin2α因为cosβ=31010,且所以sinβ=1-cos2β那么sin2β=2sinβcosβ=2×1010×31010cos2β=1-2sin2β=1-2×(1010)2=4所以cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=7210×45-210×因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以2β∈所以α+2β∈(0,3π2),故α+2β=π4答案:π解题技法给值求角的原则(1)已知正切函数值:选正切函数求解.(2)已知正、余弦函数值:选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,π2),选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为(-π2,π2对点训练1.(2023·潍坊模拟)已知α∈(0,π2),且3cos2α+sinα=1,则(A.sin(π-α)=2B.cos(π-α)=-2C.sin(π2+α)=-D.cos(π2+α)=-【解析】选A.因为3cos2α+sinα=1,α∈(0,π2)所以3(1-2sin2α)+sinα=1,即6sin2α-sinα-2=0,所以sinα=23或sinα=-1所以cosα=53,sin(π-α)=sinα=2cos(π-α)=-cosα=-53sin(π2+α)=cosα=5cos(π2+α)=-sinα=-2只有A项正确.2.在三角形中,底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形,它是两底角为72°的等腰三角形.达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中,在整个画面里形成了一个黄金三角形.如图,在黄金△ABC中,BCAC=5-1A.25-14 B.5+14 C【解析】选B.由题设,可得cos72°=1-2sin236°=5-14,又因为cos2所以cos236°=5+38,又cos36°∈(22,所以cos36°=cos(90°-54°)=sin54°=5+13.已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tanβ=-17,则2α-β的值为【解析】因为tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)所以0<α<π2又因为tan2α=2tanα1-tan所以0<2α<π2所以tan(2α-β)=tan2α-tanβ因为tanβ=-17所以π2<β<π,-π<2α-β<0所以2α-β=-3π4答案:-3π考点三三角恒等变换的应用教考衔接教材情境·研习·典题类[例5](必修第一册P227·例10)如图,在扇形OPQ中,半径OP=1,圆心角∠POQ=π3,C是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形.记∠POC=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积【解析】在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,DAOA=tanπ3=OA=33DA=33BC=33AB=OB-OA=cosα-33sin设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cosα-33sinα)sin=sinαcosα-33sin2α=12sin2α-36=12sin2α+36cos2α=13(32sin2α+12cos2=13sin(2α+π6)-由0<α<π3,得π6<2α+π6所以当2α+π6=π2,即α=S最大=13-36=36.因此,当α=π6时,矩形解题导思看问题三角恒等变换中的最值问题提信息半径OP=1,圆心角∠POQ=π3,矩形ABCD内接于扇形,∠POC=定思路借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD的长和宽表示出来,确定矩形ABCD面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积高考链接(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=π3,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧PQ上),则矩形ABCD面积的最大值为【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC,根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点,设∠COE=α,α∈(0,π6CE=OCsinα=2sinα,则AD=BC=2CE=4sinα,则