-函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性，周期性学习要求:1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.1.函数的奇偶性必备知识

·

整合

定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且①

f(-x)=f(x)

,那么函数f(x)就叫做偶函数关于②

y轴

对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且③

f(-x)=-f(x)

,那么函数f(x)就叫做奇函数关于④

原点

对称▶提醒函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的

任何值时,都有⑤

f(x+T)=f(x)

成立,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这

个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么

这个最小的正数就叫做它的最小正周期.知识拓展1.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间

上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任意一自变量x,(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);(2)若f(x+a)=

,则T=2a(a>0);(3)若f(x+a)=-

,则T=2a(a>0).考点一函数的奇偶性关键能力

·

突破

角度一函数奇偶性的判断典例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=

+

;(2)f(x)=

;(3)f(x)=

解析(1)由

得x2=3,解得x=±

,即函数f(x)的定义域为{-

,

},关于原点对称,∴f(x)=

+

=0.∴f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由

得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=

.∵f(-x)=

=

=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.角度二已知函数的奇偶性求参数的值典例2已知函数f(x)=x(2x+a×2-x)(x∈R),若f(x)是偶函数,则记a=m,若f(x)是奇

函数,则记a=n,则m+2n=

()A.0

B.1

C.2

D.-1B解析

当f(x)是偶函数时,f(x)=f(-x),即x(2x+a×2-x)=-x(2-x+a×2x),即(1+a)(2x+2-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1,即m=-1;当f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即-x(2-x+a×2x)=-x(2x+a×2-x),即(1-a)(2x-2-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=1,即n=1.所以m+2n=1.角度三利用函数的奇偶性求不等式的解集典例3

(2020四川成都模拟)已知函数f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=x-x2,则

不等式(x+1)f(x)>0的解集是

()A.(0,1)

B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(0,1)

D.(-1,0)∪(1,+∞)A解析

当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[-x-(-x)2]=x+x2,则f(x)=

∴(x+1)f(x)>0⇒

或

或

解得0<x<1.名师点评1.判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先

考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶

性的等价等量关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.2.利用函数的奇偶性可解决的4个问题:(1)求函数值:将待求函数值利用函数的奇偶性转化到已知区间上求函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的

恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在对称区间上的图象.考点二函数的周期性典例4(1)(多选题)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈[0,3]时,f(x)

=x2-3x,则下列等式成立的是()A.f(2019)+f(2020)=f(2021)B.f(2019)+f(2021)=f(2020)C.2f(2019)+f(2020)=f(2021)D.f(2019)=f(2020)+f(2021)ABC(2)(2020四川成都一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2-f(-x),且函数f(x+

1)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=1-x2,则f

=

()A.

B.

C.

D.

C解析(1)由f(x-3)=-f(x)知f(x)的周期为6,f(2019)=f(336×6+3)=f(3)=0,f(2020)=f(337×6-2)=f(-2)=-f(2)=2,f(2021)=f(337×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.故A,B,C中的等式均成立.(2)因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(-x)=f(x+2),因为f(x)=2-f(-x),所以f(x)+f(x+2)=2,所以f(x+2)+f(x+4)=2,所以f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,所以f

=f

=f

,因为f

=f

=f

=f

=2-f

=2-

=

,所以f

=

.故选C.名师点评函数周期性的判断与应用(1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得函数是周期函

数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在

解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数

的周期.考点三函数性质的综合应用角度一单调性、奇偶性的综合应用典例5(1)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递

增,则不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集为()A.(-1,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(1,+∞)

D.(0,1)B(2)(2020安徽马鞍山三模)已知函数f(x+2)是定义域为R的偶函数,若f(x)在(2,+∞)上单调递减,则不等式f(lnx)-f(1)<0的解集是

()A.(0,1)∪(3,+∞)

B.(1,3)C.(0,e)∪(e3,+∞)

D.(e,e3)C解析(1)∵函数y=f(x)为偶函数,∴f(x)=f(|x|),由f(2x-1)>f(x-2),得f(|2x-1|)>f(|x-2|),∵函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴|2x-1|>|x-2|,即(2x-1)2>(x-2)2,化简得x2-1>0,解得x<-1或x>1,故不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.(2)因为f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,且f(x+2)的图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.由f(x)在(2,+∞)上单调递减可得f(x)在(-∞,2)上单调递增,由f(lnx)-f(1)<0得f(lnx)<f(1),所以|lnx-2|>|2-1|=1,所以lnx<1或lnx>3,解得0<x<e或x>e3.故选C.角度二奇偶性、周期性的综合应用典例6

(多选题)(2020山东威海高三模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则

()A.f(x)是偶函数

B.f(x)是奇函数C.f(x+3)是偶函数

D.f(x)=f(x+4)CD解析

因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2).因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2).所以f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(-x-1)=f(x-1),所以