2021-2022学年北师大版八年级数学上册1勾股定理的应用

勾股定理的应用

一、单选题

1.如图，AC1BC,一架云梯AB长为25米，顶端A靠在墙AC上，此时云梯底端B与墙

角C距离为7米，云梯滑动后停在的位置上，测得AE长为4米，则云梯底端B在水平方

C.8米D.10米

2.《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从

之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角

线恰好相等问.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程()

A.心=(x-4)2+(x-2)2B.2^=(x-4)2+(x-2)2

C.^—42+(%-2)2D./=(x-4)2+22

3.如图，一艘轮船在A处测的灯塔C在北偏西15。的方向上，该轮船又从A处向正东方向行

驶20海里到达3处，测的灯塔C在北偏西60。的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距

离(即8C的长)为()

A.40月海里B.(20百+10)海里

c.40海里D.(IOG+IO)海里

4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1,A和B是这个台阶两个

相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短

路程是()

A.6B.8C.9D.15

5.一个门框的尺寸如图所示，下列长x宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的

是（）

A.2.9x2.2B.2.8x23C.2.7x2.4D.2.6x2.5

6.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折

抵地，问折者高儿何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将

竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）

A.4尺B.4.55尺C.5尺D.5.55尺

7.一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（）千米.

A.26B.18C.13D.32

8.如图所示，将一根长为24。"的筷子，置于底面直径为5a”，高为的圆柱形水杯中，

设筷子露在外面的长为hem,则h的取值范围是（）

2

A.O</?<11B.ll</z<12C.h>\2D.0</z<12

9.如图，已知ABCD是长方形纸片，CD=3,在CD上存在一点E,沿直线AE将AAE。折

叠，D恰好落在BC边上的点F处，且SA"8=6，则的面积是（）.

252

A.-□B.—D.

363

10.用梯子登上20m高的建筑物，为了安全要使梯子的底面距离建筑物15m,至少需要（）

m长的梯子.

A.20B.25C.15D.5

11.如图，原来从A村到8村，需要沿路4—（7-»8（/。=9（）。）绕过两地间的一片湖，在A,

B间建好桥后，就可直接从A村到B村.已知AC=5km,BC=12km,那么，建好桥后从

A村到B村比原来减少的路程为（）

A.2kmB.4kmC.10kmD.14km

12.如图所示，在长方形ABC。中，AD=6,AB=10,若将长方形A3CD沿DE折叠，使

点C落在A8边上的点F处，则线段CE的长为（）

3

二、填空题

13.如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时

从港口A向东南方向航行，则1小时后两船相距海里.

14.如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而

测得绳子比旗杆长。米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆

底部6米（人＞。），则旗杆A3的高度为米（用含a,b的代数式表示）.

15.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米,

几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了一米.

4

16.《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水

一尺.引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵

芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺.如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸

边（如图所示），则水深_______尺.

17.如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A爬到另一顶点M,已知A8=A£>=2,BF=3.这

只蚂蚁爬行的最短距离

18.如图，在四边形A8C。中，AD=2y/2,AB=2币，BC=10,C£>=8,/BAT>=90°,

那么四边形ABCD的面积是

B

三、解答题

19.如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门.他把竹竿竖放，发现竹竿比大

门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长.已知大门宽4尺，请求出竹

5

竿的长.

20.如图，A村和B村在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC,BD分别为1千米和3

千米，又知道。的长为3千米，现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的

工程费用为每千米20000元.

（1）请在上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省；

（2）求铺设水管的最省总费用.

_____□______________k

CD

21.如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8

米，ZMAD=45°,NMBC=30。，求警示牌的高CO（结果精确到0.1米，参考数据：血印⑷，

斤1.73）.

____C

6

22.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去闸（读kiin,门槛的意思）一

尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门,

双门间隙CD的距离为2寸，点。和点。距离门槛A3都为1尺（1尺=10寸），则AB的长是

图1

23.一艘轮船从A港向南偏西48。方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km

到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km.

（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间.

（2）C岛在A港的什么方向？

7

参考答案

1.c

解：在直角AABC中，已知43=25米，BC=7米，

AC=y/AB'-BC2=也52-72=24米，

在直角ACDE中，已知AC=CE+E4=24米，£>E=AB=25米，A£=4米,

.•.CE=AC-AE=20米，

:.CD=ylDE2-CE2=1252-2()2=15米，

.•.8£>=15-7=8米

故云梯底端5在水平方向滑动了8米，

故选：C.

2.A

解：根据勾股定理可得：

x2=(x-4)2+(x-2)2,

故选：A.

3.D

解：过A作AOL8C于。，如图所示：

在RtZVLBD中，ZAB£>=30°,A3=20海里，

AO=gAB=10（海里），BD=j3AD=^-AB=10y/3（海里）,

,/ZABC=30°,NBAC=90°+15°=105°,

NC=180。—105。—30°=45°,

二AACZ）是等腰直角三角形，

，8=45=10海里，

BC=BO+CD=（IOG+IO）海里，

故选：D.

1

4.D

解：如图，将台阶展开,

因为AC=3x3+lx3=12,BC=9,

所以AB2=ACQ+BC2=225,

所以AB=15,

所以蚂蚁爬行的最短线路为15.

故选：D.

5.A

解：门框的对角线长为JF+2?=6米.

,••布a2.236米.

,只有A选项的薄木板的宽小于2.236,即只有A选项的薄木板可以通过.

故选：A.

6.B

解：设竹子折断处离地面X尺，则斜边为(10-X)尺，

根据勾股定理得：X2+32=(10-X)2,

解得：x=4.55.

所以，原处还有4.55尺高的竹子.

故选：B.

7.A

解：如图，根据题意得：是直角三角形，

2

BA

C

VZB=90°,AB=24km,BC=10km,

根据勾股定理得AC2=AB-+BC\

/.AC2=242+102,

；.AC=26km.

故选：A.

8.B

解：当筷子与杯底垂直时力最大，力最大=24-12=12cvn.

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

如图所示：

此时，A8=^AC2+BC2=7122+52=13c，〃,

/./?=24-13=11cm.

:・h的取值范围是Hc7n</i<12c7n.

故选：B.

9.B

解：ABCD是长方形纸片，

AAB=CD=3,

,**SAAFB=5A8.BF,

：.6=-x3-BF,

2

；.BF=4,

3

.\AF=7AB2+BF2=5-

；.AF=AD=BC=5,CF=1,

设DE为x,EF=DE=x,EC=3-x,

x2=(3-x)2+1,

解得，x=-,

3

•c1Ancn_1<5_25

・・oAArn_=—A.D*ED——x5x—=—,

M£D2236

故选:B.

10.B

解：如图所示：

VAC=20m,BC=15m,

二在RsABC中，AB=J15?+2()2=25m,

故选：B.

11.B

解：由题意可得：AB=y/AC2+BC2=V52+122=13(fon)

则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：5+12-13=4(km).

故选:B.

12.C

解：如图所示：

设CE长为x,CE=EF—x,BE=6—x,

•.FDCEADFE(翻折)，

DC=DF=10,AD=6,

根据勾股定理可得：

AF2+AD2=DF2，

4

：.AF=8,

:.BF=AB-AF=X0-S=2,

•••在RsEBF中，

BF2^EF2-BE2<

4=xz-(6x)2,

4=—36+12x—>

12x=40,

x=—40=—10.

123

.♦.CE长为W.

3

010c

AFB

故选C.

13.30

解：：客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，

货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，

，客船与货船方向的夹角为90°,

且客船行驶1小时的距离为24海里，货船行驶1小时的距离为18海里,

故两船1小时后的距离为=也不+18?=，^面=30海里，

故答案为：30.

14.Z

2a

解：设米，则有AC=(x+〃)米，根据勾股定理得：

x2+Z?2=(%+”,

2a

5

h1—

故答案为£__匕“2.

la

15.9.

解：在RtZkABC中：

VZCAB=90°,3c=17米，AC=8米，

，AB=7BC2-AC2=7172-82=15（米），

VCD=10（米），

•,•^0=7CD2-AC2=V100-64=6（米），

：.BD=AB-AD=15-6=9（米），

答：船向岸边移动了9米，

故答案为：9.

16.12

解：依题意画出图形，设芦苇长A8=A£=x尺，则水深AC=（x-1）尺,

因为8七=10尺，所以8c=5尺

在R/AAB'C中，52+（广1）2=后

解得：x=13,

即水深12尺，

故答案为：12

17.5

解：如图1,将长方体沿C8展开,

6

AM=yl(AB+BFy+MF2='(2+3.+2?=扬,

如图2,将长方体沿ND展开，

AM=y](AD+DC)2+MC2=7(2+2)2+32=5，

如图3,将长方体沿OC展开，

AM=yl（BC+CMf+AB2=7（2+3）2+22=729，

比较以上三种情况，一只蚂蚁从顶点A爬到顶点M,那么这只蚂蚁爬行的最短距离是5.

故答案为：5.

18.2714+24

解：连结BD,

,/NBM>=9()°,

7

：•BD=yjAD2^AB2

•AD-2>/2，AB=，

ABD=6,

VBD2=36,CD2=64,BC2=100,

BD2+CD2=BC2,

・・・ZBDC=90°,

SAABD=­X2V2X2A/7=2V14,

2

SABDC=-x6x8—24,

2

四边形ABCD的面积是=SAABD+SABDC=2-\/14+24

故答案为：2旧+24.

19.8.5尺

解：设门高为X尺，则竹竿长为（X+1）尺，

根据勾股定理可得：

x2+42=（x+1）2,即工2+16=/+2^+1,

解得：x=7.5,

，门高7.5尺，竹竿高=75+1=8.5（尺）.

故答案为8.5尺.

20.（1）见解析；（2）100000元

解：（1）延长AC到b，使AC=CF,连接BE,交CD于E,

8

则在8上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省;

(2)过B作&V_LC4,交C4的延长线于N,

QAC±C£>,BDLCD,

ZBNC=ANCD=ABDC=90°,

，四边形NCDB是矩形，

:.BN=CD=3千米,BD=CN=3千米,

•.•AC=CF=1千米，

，八岁=3千米+1千米=4千米，

在RtZ^BNF中，由勾股定理得：BF=\lBN2+NF2=732+42=5（千米）,

QAC1CD,AC=CF,

:.AE=FE，

:.AE+BE=EF+BE=BF=5^-^.,

，铺设水管的最最省总费用是：20000元/千米x5千