2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期中数学试卷

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期中数学

试卷

一、填空题

1.（5分）过平面外一点与这个平面平行的直线有条.

2.（5分）若正三棱锥的高和底面边长相等，则侧棱和底面所成角为.

3.（5分）一个与球心距离为I的平面截球所得的圆面面积为m则该球的表面积是.

4.（5分）设°,匕是平面例外两条直线，且a〃M,那么。〃〃是的条件.

5.（5分）将一段长12cm的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3cm、4cm>5cni,

则原铁丝的两个端点之间的距离为cm.

6.（5分）在无穷等比数列｛a”｝中，“1=1,公比q=L记T"=a22+aJ+a62+…+。2”2.则鼠血了”

2n-►oo

7.（5分）《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖腌，如图，若四面体ABCD

为鳖%且48_L平面BCD,AB=BC=CD,则A。与平面ABC所成角大小为（结

8.（5分）已知两条异面直线a与人所成角为30,尸是空间一点，若过点尸与。和人所成角

都是0的直线有4条,则0的范围是.

9.（5分）设数列｛“”｝的前〃项和为S”，且如=k）g2（1+1）,则满足S„>10的〃最小值

n

为.

10.（5分）我们知道，在平面几何中，已知AABC三边边长分别为a、b、c,面积为5,在

△4BC内一点到三条边的距离相等设为r,则有-Ir（。+>c）=S.现有三棱锥A-BCD

2

的两条棱A8=CO=6,其余各棱长均为5,三棱锥A-BCC内有一点。到四个面的距离

相等，则此距离等于

A

H

11.(5分)若集合A={("?,ri')|(m+1)+(m+2)+,,,+(m+n)=2020,，"=Z,nGN*},

则集合A中的元素个数为.

12.(5分)如图所示，在棱长为2的正方体48CD-AIBICIDI中，E为棱C。的中点，点

P，。分别为面AIBICIOI和线段51c上的动点，则△PEQ周长的最小值为.

二.选择题

13.(5分)设尸1、尸2、尸3、尸4为空间中的四个不同点，则“Pl、P2、P3、P4中有三点在同

一条直线上”是“Pl、P2、P3、尸4在同一个平面上”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

14.(5分)用数学归纳法证明关于/(〃)=(/t+1)(n+2)”•(〃+〃)的命题时，f(k+1)

=f(k)X,及为正整数，则空格处应填()

A.2H1B,(2k+l)(2k+2)

k+1

C.2k±LD.2k12_

k+1k+1

15.(5分)如图1,点E为正方形ABC。边8c上异于点8、C的动点，将AABE沿AE翻

折，得到如图2所示的四棱锥B-AEC。，且平面平面4ECD,点尸为线段8。上

异于点8、。的动点，则在四棱锥B-AECZ)中，下列说法：

①直线BE与直线CF必不在同一平面上；

②存在点E使得直线BEJ_平面DCE；

③存在点F使得直线CF与平面BAE平行;

④存在点E使得直线BE与直线CD垂直.

16.（5分）在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=S，BD=243,二面角A-8。-

C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2.则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（）

A.12nB.C.13nD.星n

34

三、解答题

17.（12分）在①S"=/+〃+c；②。3+〃5=16且S3+S5=42；③四且$7=56.

ann

这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

设等差数列｛的｝的前〃项和为S”｛阮）是等比数列，,4=0,历=上2.

2

（1）求数列｛〃”｝的通项公式；

（2）求数列｛-L+为｝的前〃项和.

18.（20分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直

径是6cm,圆柱筒长2cm.

（1）这种“浮球”的体积是多少c〃户（结果精确到0.1）?

（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需

19.（12分）如图，长方体A8CD-A1B1C1D1中，0A=£>C=2,DD[=愿，E是Ci》的中

点，F是CE的中点.

（1）求证：£A〃平面BOF；

（2）求证：平面8。尺L平面BCE；

（3）求二面角。-EB-C的正切值.

20.（12分）如图所示，圆锥的顶点为P,底面中心为O,母线PB=5,底面半径0A与

的夹角为仇且。8=4.

（1）求该圆锥的表面积；

（2）求过顶点P的平面截该圆锥所得的截面面积的最大值；

（3）点E在线段0P上，且0E=l,是否存在。使得异面直线AE与尸8所成角大小为

60°?若不存在，请说明理由，若存在，请求出。.（结果用反三角函数值表示）

21.（14分）已知数列｛斯｝与｛晟｝满足斯+1-即=入（“+1-b”）（人为非零常数），

（1）若｛加｝是等差数列，求证：数列｛“〃｝也是等差数列；

（2）若m=2,入=3,bn=sin.n2L,求数列｛“”｝的前2021项和；

（3）设m=6i=入，bzt，1^二岂甘立2（〃》3,«GN*）,若对｛〃”｝中的任意两项

ai、ajCi,JeN*,iWj）,依-勾|<2都成立，求实数入的取值范围.

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期中数学

试卷

参考答案与试题解析

一、填空题

1.（5分）过平面外一点与这个平面平行的直线有无数条.

【分析】根据面面平行的性质定理可判断.

【解答】解：在过该点且与已知平面平行的平面上的每一条直线均与已知平面平行，故

有无数条直线符合题意，

故答案为：无数.

【点评】本题考查了两个平面平行的性质，属于基础题.

2.（5分）若正三棱锥的高和底面边长相等，则侧棱和底面所成角为2L.

—3—

【分析】令O到正三棱锥底面上的中心，则/布。即为侧棱和底面所成角，解Rt△%O

即可得到答案.

【解答】解：设正三棱锥的棱长为m

令O为正三棱锥底面上的中心，则PO即为棱锥的高，

则/以。即为侧棱和底面所成角,

•.•正三棱锥的棱和底面边长都为a,

...在Rt△%。中，40=返■〃，所以PO=〃,

3

/.tanZB4O=_a_

逅a

3

：.ZPAO=—,

3

故答案为：2L.

3

-〉c

B

【点评】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，线面夹角，其中根据已知确定出线面夹

角的平面角是解答的关键.

3.（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为m则该球的表面积是8n.

【分析】由已知中一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为m我们可以求出

该圆的半径，其中根据球半径、截面圆半径及球心距构成直角三角形，满足勾股定理，

我们可以求出球半径，进而代入球的表面积公式，即可得到该球的表面积.

【解答】解：由己知中与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为TT,

故该圆的半径为1,

故球的半径为加

故该球的表面积S=4TTR2=87T

故答案为：8n

【点评】本题考查的知识点是球的表面积，其中根据球半径、截面圆半径及球心距构成

直角三角形，满足勾股定理，求出球的半径是解答本题的关键.

4.（5分）设a,b是平面M外两条直线，且a//M,那么a//b是b//M的充分不必要条

件.

【分析】判断由a〃b能否得到匕〃仞，再判断由匕〃M能否得到。〃匕即可.

【解答】解：证明充分性：若。〃8,结合a〃M,且人在平面M外，可得力〃M,是充分

条件；

证明必要性：若6〃M,结合a〃M,且a,人是平面M外，则a,匕可以平行，也可以相

交或者异面，所以不是必要条件.

故a〃。是人〃M的“充分不必要”

故答案为：充分不必要.

【点评】本题考查空间线面平行，线线平行之间的关系，充分条件和必要条件，属于简

单题.

5.（5分）将一段长12cm的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3a/、4cm>5cm,

则原铁丝的两个端点之间的距离为_5^历—C772.

【分析】作图，根据题设条件可证C。，AC,再直接计算求解即可.

【解答】解：如图所示，铁丝被折成了两两垂直的三段AB,BC,CD,其中AB=5,BC

=4,8=3,

由CQ_LA8,CDLBC,ABC\BC=B,可知CQ_L平面ABC,

：.CDLAC,

于是=cnr+AC2=CD2+AB2+BC2=52+42+32=50,

；.AD=5后.

故答案为：5&.

【点评】本题考查线面垂直的判定以及空间中两点间距离的求解，考查运算求解能力，

属于中档题.

6.（5分）在无穷等比数列｛。“｝中，。1=1,公比<7=工，记771=422+442+462+…+“2”2.则

2>00

=4

一记一,

【分析】利用等比数列的性质，判断｛。2"2｝是等比数列，然后利用数列和的极限的运算法

则求解即可.

【解答】解：在无穷等比数列｛“"｝中，611=1,公比4=工，记力1=422+042+062+…+。2”2.

2

可知｛“2/｝是等比数列，公比为：A,首项为：1,

164

2-y

所以：

n—81-q1-----15

16

故答案为：

15

【点评】本题考查数列极限的运算法则的应用，等比数列的性质的应用，是中档题.

7.（5分）《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖席，如图，若四面体ABCO

为鳖麻且AB_L平面8C。，AB=BC^CD,则AD与平面ABC所成角大小为arcsin返

【分析】推导出BCLOC,以C为原点，C。为无轴，CB为y轴，过C作平面BOC的

垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A。与平面A8C所成角大小.

【解答】解：：四面体ABC。为鳖腌，且ABL平面BCD,A8=BC=C£>,

：.BCLDC,

以C为原点，CD为x轴，C8为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角

坐标系，

设AB=BC=C£>=1,

则A(0,1,1),D(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),

AD=(1，-1--1)，平面ABC的法向量吗=(1,0,0),

设A。与平面A8C所成角为0,

则sin[=—I■他.n-1_=_1

IADI,InIV33

0=arcsin^/^,

3

.••AQ与平面ABC所成角大小为arcsin返.

3

故答案为：arcsin义!•.

【点评】本题考查线面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

8.（5分）已知两条异面直线a与人所成角为30,P是空间一点，若过点尸与。和人所成角

都是0的直线有4条，则9的范围是75°<。<90°.

【分析】过点。作ai〃a，b\//b,则相交直线ai,从确定一个平面a,且“1,所成的

角为150°或30°,设直线OA与m,从均成。角，作平面a于点8,BCLai于

点C,8O_Lbi于点。，记乙4。8=。1,/8OC=e2,（。2=15°或75°），利用cose=cos9i

•COS02,进行角之间的大小比较，从而得到答案.

【解答】解：过点。作b\//b,

则相交直线m,6确定一个平面a,且ai,4所成的角为150°或30°,

设直线。4与ai,历均成。角，

作AB_L平面a于点B,BCLm于点C,BDLbi于点D,

记NAOB=6i,N8OC=62（02=15°或75°）,

则有COS0=COS01,COS02,

因为0°WeiW90°,

所以OWcosOWcos。2，

当02=15°时，由0Wcos6Wcosl5°,可得15°W9W90°；

当。2=75°时，由0WcosBWcos75°,可得75°；

故当。<15°时，直线/不存在：

当。=15°时，直线/有且仅有1条；

当15°<。<75°时，直线有且仅有2条；

当6=75°时，直线/有且仅有3条；

当75°<9<90°时，直线有且仅有4条；

当。=90°时，直线/有且仅有1条.

综上所述，0的范围是75°<6<90°.

故答案为：75°<6<90°.

Cai

【点评】本题考查了异面直线所成角的理解与应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能

力，属于中档题.

9.(5分)设数列｛“"｝的前〃项和为S”且s,=log2(1+工)，则满足品>10的〃最小值为

n

1024.

【分析】根据题意可得4"=lOg2(1+—)=10g2(尸+L),则Sn=10g2(―)+10g2(―)+…

nn12

+log2(EL)=log2(2x3x…X_p+1_)=log2(n+1),从而令S”=log2(n+1)>10,

n12n

结合”eN*即可求出满足Sn>10的”最小值.

【解答】解：根据题意，«„=10g2(1+1)=10g2(止1),

nn

所以Sn=log2(―)+10g2(―)+…+10g2(-R±L)=log2(—X-2.X•••X_+k)=log2(a+1),

12n12n

令S=log2(”+l)>10,则〃+1>2叫由于〃6N*,所以“21024(〃6N),

所以满足Sn>10的n最小值为1024.

故答案为：1024.

【点评】本题考查数列与不等式的综合问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，

属于基础题.

10.(5分)我们知道，在平面几何中，已知△ABC三边边长分别为。、b、c,面积为S,在

△4BC内一点到三条边的距离相等设为/•,则有工r(a+ft+c)=S.现有三棱锥A-BCD

2

的两条棱A8=CZ)=6,其余各棱长均为5,三棱锥A-8CD内有一点。到四个面的距离

相等，则此距离等于色互.

-8一

B

【分析】把三棱锥4-BCD放置在一个长方体中，设四面体所在长方体的棱长分别为x,

y,z,由已知对角线长列式求得x,y,z的值，得到四面体A-8C。的体积，再求出四面

体的表面积，由等体积法求点。到四个面的距离.

【解答】解：如图，把三棱锥A-BCZ)放置在一个长方体中，

设四面体所在长方体的棱长分别为x,y,Z,

则由7+y2=36,7+z2=25，V+z2=25,

解得x=y=3&,z=J^，则四面体A-BCD的体积V=—x3^X为巧X长

3

方体体积的工)，

3

22

又四面体的表面积为S=4X1X6X75-3=48(每个面都是腰长为5,底边长为6

的等腰三角形)，

...点。到四个面的距离为2上上3互旦2.

S488

故答案为：近.

8

【点评】本题考查空间中点、线、面见的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考

查运算求解能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题.

11.(5分)若集合A={(m,n)|(/n+1)+(〃?+2)+…+(，〃+〃)=2020,〃?=Z,nGN*},

则集合4中的元素个数为8.

【分析】(加+2),…(加+〃)构成等差数列，2/%+〃+1与"的奇偶性不同.

【解答】解：(2m+”n=2O2o,

即(2〃任〃+1)n—4040,

又；4040=23X5X101,而2〃?+〃+1与〃的奇偶性不同,

.•.只能有数5或101,

所以有2X2X2=8种，

分别为：(248,8),(-241,505),(30,40),(-31,101),(-402,808),(401,5),

(-2020,4040),(2019,1),共8种.

【点评】本题在集合的基础上考查了等差数列的求和，属于中档题.

12.(5分)如图所示，在棱长为2的正方体ABC。-AIBICIDI中，E为棱CCi的中点，点

P,。分别为面AIBICIDI和线段BiC上的动点，则△PEQ周长的最小值为

【分析】由题意，△PE。周长取得最小值时，尸在81。上，在平面81。CB上，设E关

于81c的对称点为M关于81cl的对称点为M,求出即可得出结论.

【解答】解：由题意，^PEQ周长取得最小值时，P在Bi。上，

在平面B1C1C8上，设E关于81c的对称点为N,关于BiCi的对称点为M,则

EM=2.EN=®,NMEN=135°,

，MN=,4+2-2X2X在X

故答案为。记.

【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计

算能力，属于中档题.

二.选择题

13.（5分）设P、尸2、尸3、尸4为空间中的四个不同点，则“P1、尸2、P3、尸4中有三点在同

一条直线上”是“Pl、P2、P3、P4在同一个平面上”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【分析】“Pl、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”="a、P2、P3、尸4在同一个平面

上"，"P、尸2、P3、P4在同一个平面上”知“尸1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一

条直线上”，由此能求出结果.

【解答】解：设尸1、P2、尸3、P4为空间中的四个不同点，

则“Pl、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”="Pl、P2、P3、P4在同一个平面上”,

“Pl、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P、尸2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直

线上“，

“Pl、P2、P3、尸4中有三点在同一条直线上”是“尸1、P2、尸3、P4在同一个平面上”

的充分非必要条件.

故选:A.

【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查空间中四点共面等基础

知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题.

14.(5分)用数学归纳法证明关于/(〃)—(〃+1)(〃+2)…("+")的命题时，./'(k+1)

=f(k)X,&为正整数，则空格处应填()

A.2k+\B.(2k+l)(2k+2)

k+1

C.2k±LD.2ki2

k+1k+1

【分析】分别求出〃=*时左边的式子，n=k+\时左边的式子，用〃=左+1时左边的式子,

除以〃=4时左边的式子，即得所求.

【解答】解：由题意可得

当〃=上时，左边等于(KI)(A+2)—(k+k)=(Hl)32)…(2k),

当n=k+l时，左边等于(A+2)(&+3)…(k+k)(2)1+1)(2A+2),

故从"k"到"k+1”的证明，左边需增添的代数式是(2k+l)(2k+2),

k+1

故选：B.

【点评】本题的考点是数学归纳法，主要考查用数学归纳法证明等式，用〃=%+1时，左

边的式子除以"=&时，左边的式子，是简化解题的关键.

15.(5分)如图1,点£为正方形ABCD边BC上异于点&C的动点，将△ABE沿4E翻

折，得到如图2所示的四棱锥8-AECC,且平面平面AECZ),点尸为线段8。上

异于点B、。的动点，则在四棱锥8-AECD中，下列说法：

①直线BE与直线CF必不在同一平面上；

②存在点E使得直线BE,平面DCE；

③存在点F使得直线CF与平面BAE平行；

④存在点E使得直线BE与直线CD垂直.

以上叙述正确的是()

【分析】在①中，若直线8E与直线CF共面，则点8,E,C,F,。五点共面，由已知

得B在平面DCE外，从而直线BE与直线CF必不在同一平面上;

在②中，当BE_LCE时，BE必同时垂直4E,但AE与BE不垂直，从而不存在点E使得

直线BE_L平面DCE-,

在③中，当E是8c中点，且F为8。中点时，直线CF与平面84E平行；

在④中，C。与平面BCE不垂直，从而不存在点E使得直线BE与直线C。垂直.

【解答】解：在①中，若直线8E与直线CF共面，则点8,E,C,F,。五点共面,

由已知得B在平面DCE外，

所以直线BE与直线CF必不在同一平面上，故①正确；

在②中，若存在点E使得直线平面。CE,

贝|JBE_LCE,且BE_LC£>,

因为平面平面AECD,平面8AEC平面AECD=^AE,

所以当BE_LCE时，BE必同时垂直AE,

由于AE与BE不垂直，

所以不存在点E使得直线平面DCE,故②错误；

在③中，当E是8c中点，且尸为BO中点时，直线CF与平面BAE平行，故③正确；

在④中，因为NAEB是锐角，ZDCE=90°,

所以CD与平面BCE不垂直，

所以不存在点E使得直线8E，C£>,故④错误，

故选：B.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，考查运算求解能力，是中档题.

16.（5分）在三棱锥A-BCQ中，AB=BC=CD=DA=S，BD=20二面角A-8。-

C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2.则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是()

A.12nB.&4TC.13TTD.显■TT

34

【分析】取30的中点K,连结AK,CK,得到/4KC为二面角A-8O-C的平面角，V

^XxlAKXCKXsinZA7CCXBD^2,进而求得NAKC=120°,数形结合，得到外接

32

球半径即可.

【解答】解：取B。的中点K,连结AK,CK,由已知△ABO和△8CD是全等的等腰三

角形，所以AKJ_8O,CKLBD,

；./AKC为二面角A-B£>-C的平面角，且BO_L平面AKC,AK=CK,

所以V=AxXA/TXCKXsinZAKCXBD=2,

32_

又A^=VAD2-KD2=2,故sin/AKC=零，

因为/AKC为钝角，

所以NAKC=120°,

设△A8Z),△BCD的外接圆的圆心分别为M,N,

则M,N分别在AK,CK上且MK=NK,连结

由(2-AM)2+3=DM2,其中4M=DM,解得AM=工，同理CN=工，

44

所以MK=NK=上，

4

过M,N分别作平面ABD,平面BC。的垂线，两垂线的交点O为四面体A8CO的外接

球的球心，

连结OK,则OK平分NAKC,:.NOKN=60°,

从而02返，OK=L

42

在RtZXONC中，02=退，CN=AM=1~,

44______

夕卜接球的半径为oc=而俞=舟|=隼，

所以四面体ABCO外接球的表面积S=4nr2=4iTXJ^-=13ir,

4

故选：C.

【点评】本题考查球的表面积公式，考查三棱锥体积公式，数形结合思想，属于中档偏

难题.

三、解答题

17.（12分）在①S"=〃2+〃+c；②如+纺=16且53+S5=42；③二史文=空工且57=56.

ann

这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

设等差数列｛”“｝的前〃项和为S”，｛加｝是等比数列，,b\=a\,

2

（1）求数列｛的｝的通项公式;

（2）求数列｛工+为｝的前"项和.

%

S，n=l

【分析】（1）在选择条件①的情况下根据公式劭=|1、代入初步计算即

瓜鼻1，

的表达式，并根据等差数列的性质计算出c的值，即可计算出数列｛“〃｝的通项公式：在

选择条件②的情况下先根据题意设等差数列｛〃”｝的公差为d,然后根据已知条件列出关于

首项m与公差d的方程组，解出小与d的值，即可推导出数列｛加｝的通项公式；在选择

条件③的情况下先根据递推公式的特点运用累乘法推导出数列｛“〃｝的通项公式，然后根

据57=56计算出a\的值，进一步可推导出数列｛。”｝的通项公式；

（2）先根据第（1）题的结果计算出等比数列｛为｝的通项公式，进一步计算出工的表达

Sn

式，再运用分组求和法、裂项相消法、以及等比数列的求和公式即可计算出数列｛1-+为｝

的前〃项和.

【解答】解：（1）方案一：选择条件①

由题意,当〃=1时,a\=S1=12+1+C=C+2,

当"22时，an—Sn-Sn-]=l^+n+C-（77-1）2~-1）-0=2〃，

故42=2X2=4,43=2X3=6,

Ac+2+6=2X4,解得c=0,

=

an2nf.

方案二：选择条件②

由题意，设等差数列仅,｝的公差为乩

a[+2d+aj+4d=16

则＜3X25X4，

3a[+2-d+5al+y~d=42

ai+3d=8

整理，得J,

8a1+13d=42

'a1=2

解得I1,

,d=2

=

**•Cln2z?J〃€N*.

方案三：选择条件③

由题意，可得[2=2,氏=旦,，

al1a22an-ln-1

各项相乘，可得氏=2•旦•3_=小

at12n-1

**•Cln=HCl\,

故S7=ai+〃2+,+〃7

=m+2m+・+7〃i

=28ai,

:57=56,即28m=56,

/.an=2n,/iGN*.

(2)由(1),可知历=m=2,

历=皿=绰=4,

22

设等比数列｛为｝的公比为q,则勺=些=2,

bl

.•也=2・2'11=2",

X•/Sn=2n+n^n~^'2=n(”+l),

2

•-•1_1_^―1_1,

Snn(n+l)nn+1

；.数列｛4+尻｝的前n项和为：

Sn

(——+/?1)+(——+/72)+•+(1+加)

S1‘2Sn

=•+__!_)+(〃]+b2+・+加)

$1$2Sn

=(i-A+A-A+>+A-_L_)+(21+22+*+2/?)

223nn+1

1Q1QiH"1

=1-l+222

n+11-2

=2"+i1.

n+1

【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求前〃项和问题.考查了方程思想，

转化与化归，累乘法求通项公式，分组求和法、裂项相消法求和问题，以及逻辑推理能

力和数学运算能力，属中档题.

18.(20分)如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直

径是6cm,圆柱筒长2cm.

(1)这种“浮球”的体积是多少c/(结果精确到().1)?

(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需

【分析】(1)根据圆柱筒的直径，可得半球的半径R=3c〃?，从而得到上下两个半球的体

积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小；

(2)由球的表面积公式和圆柱侧面积公式，算出一个“浮球”的表面积S,进而得到2500

个“浮球”的表面积，再根据每平方米需要涂胶100克，即可算出总共需要胶的质量.

【解答】解：(1)•••该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm,

・,・半球的直径也是6cm,可得半径R=3cm,

，两个半球的体积之和为V球=/兀R3V兀,27=36兀。（2分）

而V圆柱=兀区2小=兀X9X2=]8兀…（2分）

.•.该“浮球”的体积是：V=V然+V网桂=36n+187T=54n七169.6c/…（4分）

（2）根据题意，上下两个半球的表面积是

S球表=4冗R2=4X兀X9=36兀c病…（6分）

而“浮球”的圆柱筒侧面积为：5砒恻=如的=2X7TX3X2=12FCW…（8分）

.--1个“浮球”的表面积为s=36兀+12兀兀川

104104

因此，2500个“浮球”的表面积的和为25005=2500兀=12兀川…（10分）

104

•.•每平方米需要涂胶100克，

总共需要胶的质量为：100X12n=1200n（克）…（12分）

答：这种浮球的体积约为169.6c机3；供需胶1200n克.…（13分）

【点评】本题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球”，计算了它的表面积和体积，

着重考查了球、圆柱的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题.

19.（12分）如图，长方体ABC。-4B1C1O1中，DA=DC^2,DD1=百，E是CiDi的中

点，F是CE的中点.

（1）求证：£4〃平面8。2；

（2）求证：平面8。尺L平面BCE；

（3）求二面角£>-EB-C的正切值.

【分析】（1）连接AC交BO于。点，连接。兄欲证EA〃平面BDF,在平面8。尸内寻

找一直线与直线E4平行即可，而。尸是△ACE的中位线，。尸〃AE,又AEC平面8DF,

OFu平面BDF,满足定理条件；

（2）欲证平面8£>F_L平面8CE,找线面垂直，根据线面垂直的判定定理可知。平面

BCE,又DRz平面8。凡从而得到结论；

（3）由（2）知QF_L平面BCE,过F作尸G_LBE于G点，连接。G,则。G在平面BCE

中的射影为FG,则NQGF即为二面角。-EB-C的平面角，在三角形。GF中求出此角

的正切值即可.

【解答】解：（1）连接AC交8。于。点，连接OF,可得。尸是△ACE的中位线，OF

//AE,

又AEC平面BDF,OFu平面BDF,所以EA〃平面BDF（4分）；

（2）计算可得。E=OC=2,又F是CE的中点，所以。尸，CE

又BC_L平面。Q1C1,所以DFLBC,又BCCCE=C,所以。F_L平面BCE

又DFu平面8。尸，所以平面BQF_L平面BCE（理）（8分）；

（3）由（2）知。F_L平面8CE,过P作FG_L2E于G点，连接£>G,则DG在平面8CE

中的射影为FG,从而DGLBE,所以/OGF即为二面角。-EB-C的平面角，设其大

小为0,计算得DF=V^，FG平，tanS=*=^（12分）

5小

C5

【点评】考查线面平行的判定以及线面角的求法，利用线面垂直证线线垂直，求二面角，

本题考查的是立几中的重点知识，基本技能.

20.（12分）如图所示，圆锥的顶点为P,底面中心为O,母线PB=5,底面半径OA与。8

的夹角为。，且。8=4.

（1）求该圆锥的表面积；

（2）求过顶点P的平面截该圆锥所得的截面面积的最大值；

(3)点E在线段OP上，且OE=1,是否存在0使得异面直线AE与PB所成角大小为

60°?若不存在，请说明理由，若存在，请求出。.(结果用反三角函数值表示)

【分析】(1)利用圆锥的表面积公式求直接解.

⑵设截面的顶角为a,则截面面积M=/x5X5sina=与sina，则当a=90°

时，截面面积最大，从而求出最大值.

(3)取的靠近点。的三等分点尸，连接EF,AF,由E尸〃P8可知NAEF或其补角

为异面直线AE与PB所成角，从而得到NAE尸=60°或120°,再利用余弦定理，即可

求出0的值.

【解答】解：(1)圆锥的表面积S=ITXPBXOB+PX082=201T+]6n=36n.

(2)过顶点尸的平面截该圆锥所得的截面为等腰三角形，腰长为母线长，即腰长为5,

设截面的顶角为a,则截面面积5X5sina=-^1-sina，

易知轴截面△PCB为钝角三角形，

...当a=90°时，截面面积最大，最大值为空.

2

(3),；PB=5,OB=4,.,.PO=4PB2_0B2=3,

又；OE=1,...点E为PO的靠近点0的三等分点，

取。8的靠近点。的三等分点凡连接EF,AF,如图所示，

贝“。尸=母‘后尸=而识禧=£,以£=仙2或2=收，

•：EF//PB,：./AEF或其补角为异面直线AE与PB所成角

AZAEF=60°或120°,

①当NAEF=60°时，在△AEF中，

由余弦定理可得AF2=AE2+EF2-2AE・EF«cos60°=17-殳反，

93

在△AO尸中，由余弦定理得coseiQA、虫I2二32一=8U工,

20A-0F3216

.".Q-actcos__?_）,

3216

②当NAEF=120°时，在△AEF中，

由余弦定理可得AF2=AE1+EF2-2A£«EF«COS120°=17+^+员叵，

93

在AA。尸中，由余弦定理得8$。=述@句已=且立1_,

_20A-0F3216

/.0=Tt-arccos（）,

3216_

综上所述，存在。使得