2021-2022学年度强化训练北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明达标测试试卷

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明达标测试

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意:

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（)

A.5,13,12B.6,8,10C.9,12,15D.3,4,6

2、已知下列命题中：

①有两条边分别相等的两个直角三角形全等;

②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等;

③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等;

④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3、下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（)

A.3,3,3亚B.4,8,46C.6,8,10D.5,5,5百

4、如图，在小中，/和一的平分线相交于点,过点作交于

，交于，过点作1于，下列四个结论:

①=+；②ZBOC=90+1ZA；

③点到^各边的距离相等；

④设=,AE+AF=n,贝1J=

其中正确的结论个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5、等腰三角形一边长是2,一边长是5,则此三角形的周长是（）

A.9B.12C.15D.9或12

6、如图，等边△中，〃为力。中点，点只0分别为18、上的点，BP=AQ=4,8=3,在

面上有一动点夕则PE+QE的最小值为（）

A.7B.8C.10D.12

7、如图，在/"△力比'中，ZACB=90°,/为俏30°,/4%的平分线与//比的外角的平分线交于

“点，连接四，则/力用的度数是（）

CB

A.45°B.40°C.35°D.30°

8、下列各组数据中，能构成直角三角形的三边的长的一组是（）

A.1,2,3B.4,5,6C.5,12,13D.13,14,15

9、如图，在4/la1中，ZBAC=45°,£是47中点，连接BE,CD工BE于点F,CD=BE.若AD=啦,

则劭的长为（）

A.2B.2&C.D.3近

10、如图，在△中，/=90°,N=30°,=M5,〃为月8上一动点（不

与点力重合），△为等边三角形，过〃点作龙的垂线，尸为垂线上任意一点，G为砂的中点，

则线段6G长的最小值是（）

k

A.2/3B.6C.36D.9

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在/"△/比1中，/6=90°,ZJ=60°,AB=E，£为〃'的中点，P为AB上一点"将

△4旗沿历折叠得到△%F,施交比1于点G,若NBFD=30°,则CG=_.

2、如图，已知NMON=30。，点A，4,4,…在射线加上，点与，B2,灰，…在射线以上,

△4旦人,AABM,,△4鸟儿,…均为等边三角形，若。4,="，则△4员4的边长为

.△4纥4“的边长为.

3、如图，中，AB=BC,N4%=120°,£是线段4C上一点，连接应并延长至〃连接3,若

NBCD=120°,AB=2CD,AE=7,则线段应长为.

4、小华的作业中有一道数学题：“如图，AC,也在/6的同侧，BD=\,AB=4,A(=l,

N曲120°,点后是的中点，求修的最大值.”哥哥看见了，提示他将△/龙和龙分别沿

CE,连接/B'.最后小华求解正确，得到如的最大值是

D

5、如图，4。是△力比■中N劭C的角平分线，DE1AB于点E,眦L/C于点凡&胭=21,龙=3,AB=

9,则力。长是.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在平面直角坐标系宜》中，点材（2,广2）与点N关于过点（0,t）且垂直于/轴的直线对称.

（1）当t=-3时，点儿的坐标为；

（2）以物V为底边作等腰三角形例花

①当r=1且直线物5经过原点。时，点P坐标为；

②若△/W上所有点到x轴的距离都不小于a（a是正实数），则t的取值范围是（用含a的代数式

表示）

2、己知，△中，/+2/=180°.

(1)如图1,求证：=;

(2)如图2,〃是△外一点连接、，且=,作New的平分线交于点

E,若44c=60。，求一的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接交于点尸，若=2,=3,求的长.

3、如图，在%中，AB=AC,4〃是△4%的中线，BE平分NABC交AD于点、E,连接纪求证：

CE平分NACB.

4、针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果

一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形.

已知：在中，4〃平分/0氏交比边于点D,豆CD=BD,

求证：AB=AC.

以下是甲、乙两位同学的作法.

甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证

XACI运XABD,所以这个三角形为等腰三角形；

乙：延长4〃至I",使朦=4〃，连接质可证△“j屋△宓〃依据己知条件可推出四=W，所以这个

三角形为等腰三角形

(1)对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是()；

4两人都正确8.甲正确，乙错误C甲错误，乙正确

(2)选择一种你认为正确的作法，并证明.

5、已知，在△48。中，N54C=30°,点〃在射线勿上，连接4?,NOZ?=a,点。关于直线1C的

对称点为反点《关于直线四的对称点为用直线跖分别交直线本，AB于点、帐M连接力凡AE,

CE.

(1)如图1,点。在线段回上.

①根据题意补全图1:

②乙AEF-(用含有a的代数式表示),NAMF=

③用等式表示线段蛆，，峪，仍之间的数量关系,并证明.

(2)点〃在线段小的延长线上，且/俏。＜60°,直接用等式表示线段口，，监；，监'之间的数量关

系，不证明.

图1

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据勾股定理的逆定理进行判断即可.

【详解】

解：A、52+122=132,故A不符合题意.

B、62+82=102,故B不符合题意.

C、92+122=152,故C不符合题意.

D、3?+42*62,故D符合题意.

故选:D.

【点睛】

本题主要是考查了勾股定理的逆定理，熟练利用勾股定理来判定三角形是否为直角三角形，是解决本

题的关键.

2、C

【分析】

根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质逐个排查即可.

【详解】

解：①由于S5Z不能判定三角形全等，则有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故原命题

是假命题；

②由于满足ASA,则有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，故原命题是真命题；

③有一条边与一个锐角分别相等即可能为ASA或AAS,故原命题是真命题；

④由于两等腰三角形顶角相等，则他们的底角对应相等，再结合底相等，满足AS4,故原命题是真命

题.

其中真命题的个数是3个.

故选：c.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识成

为解答本题的关键.

3、D

【分析】

根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，那么就能够成直角三角形来判断.

【详解】

解：A、32+32=(3〃能构成直角三角形，故此选项不合题意；

B、42+(45/3)2=82,能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

C、62+82=102,能构成直角三角形，故此选项不合题意；

D、52+5V(56)2,不能构成直角三角形，故此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定

最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

4、C

【分析】

根据N/6C和N//的平分线相交于点。和三角形的内角和等于180°,可得NBOC=90+；NA；再

由N46C和N/⑶的平分线相交于点。和夕W6C,可得NEOB=NOBE,AFOOAOCF,从而得到

BE=OE,C百OF,进而得到£尸=8£+6；过点。作掰1居于肱作QV_L8C于M连接勿，根据角平

分线的性质定理，可得点。到AABC各边的距离相等；又由片〃，可得Sa后S△八时S&4后即

可求解.

【详解】

解：在中，乙始。和龙的平分线相交于点0,

：.ZOBOVAABC,40®三ZACB,

'：ZABC+ZACB=180°-ZA,

：.40BC+N0C吟QABO/ACB)=90°ZA

：.ZBOC=\80°-QOBC+NOCB)=90°+g/1,故②正确;

在△力比1中，//回和的平分线相交于点0,

：.ZOBC=AOBE,ZOCB=AOCF,

,:EF〃BC,

：.AOBOZEOB,AOCB^ZFOC,

:./EOFNOBE,ZFOOAOCF,

:.B即OE,C2OF,

:.E合OE+O2BE+CF,故①正确；

过点。作〃吐四于M,作ON1BC于N,连接OA,

又：在△49C中，N48C和龙的平分线相交于点0,

：.OMO2O\bm,即点。到△/%各边的距离相等，故③正确；

'."AE+A/^n,

SME正S4MlNS4MpyAEX〃於yAFXOD=yODX(AE+AR)=gmn,故④错误;

综上所述，正确的结论有3个.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了角平分线性质定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边的

距离相等是解题的关键.

5、B

【分析】

分两种情况考虑：当5为等腰三角形的腰长时和底边时，分别求出周长即可.

【详解】

解：当5为等腰三角形的腰长时，2为底边，此时等腰三角形三边长分别为5,5,2,周长为5+5+

2=12；

当5为等腰三角形的底边时，腰长为2,此时等腰三角形三边长分别为5,2,2,

V5>2+2,

...不能组成三角形，

综上这个等腰三角形的周长为12.

故选B.

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关

键.

6、C

【分析】

作点。关于5。的对称点Q',连接P。'交BD于E,连接QE,此时PE+EQ的值最小，最小值

PE+PQ=PE+EQ=PQ,据此求解即可.

【详解】

解：如图,

A

・・・A4BC是等边三角形，

BA=BC,

♦。为“中点,

ABDA.AC,AQ=4,QD=3,

:.AD=DC=AQ+QD=1,

作点。关于8。的对称点Q',连接PQ'交8。于E,连接QE,此时PE+EQ的值最小.最小值

PE+QE=PE+EQ=PQ,

AQ=4,AD=DC=1,

,-.QD=DQ=3,

,-.CQ'=BP=4,

；.AP=A0=1O,

-.-ZA=60°,

二郎尸。是等边三角形，

.-.PQ=PA=W,

•PE+QE的最小值为10.

故选：C.

【点睛】

本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短

问题，属于中考常考题型.

7、D

【分析】

作EF_LAC交CA的延长线于F,EGLAB于G,EH1BC交⑦的延长线于H,根据角平分线的性质和判

定得到451平分/HG,求出/口6的度数，根据角平分线的定义求出鹿的度数，根据三角形内角

和定理计算得到ZAEB的度数，再计算出NC£B的度数即可.

【详解】

解：作夕U/IC交窃的延长线于凡属，四于G,相交位的延长线于〃，

*：CE平分/ACB,BE平■令乙ABD,

:.E用EH,EG=EH,

：.EF=EG.

又EFLAC,EGLAB,

.•"£平分/用G,

•/物仁30°,

为4150°,

:.NEAB=75°,

,：ZACB=90Q,/胡伊30°,

：.AABO^°,

：.ZABH=120°,又BE平■分2ABD,

，/月的=60°,

AZAE&-18O0-NEAB-NAB加45°,

•；/月吠90°,ZBA(=30°,

：.ZABD=120°,

:应是的平分线，应i是N4%的外角平分线，

:.NEBD=6Q°,N8语45°,

.•.N颁=60°-45°=15°.

.•.ZAEC=ZAEB—NCEB=45°-15°=30°

故选：D.

【点睛】

题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意三角

形内角和定理和角平分线的定义的正确运用.

8、C

【分析】

先计算两条小的边的平方和，再计算最长边的平方，根据勾股定理的逆定理判断解题.

【详解】

解：A.Ql2+22^32,不是直角三角形，故A不符合题意；

B.Q42+52^62.不是直角三角形，故B不符合题意；

C.Q52+122=13\是直角三角形，故C不符合题意；

D.Q132+142^152,不是直角三角形，故D不符合题意，

故选：C.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

9、B

【分析】

过点。作于点乂连接被EN,利用S1S证明△〃库△应弘可得初=/陶4CED=/ENB=

135°,得△力应是等腰直角三角形，可得4?=〃V=AV,进而可得结果.

【详解】

解：如图，过点。作或L股于点M连接瓢

，N0窗=90°,

・・•/为C=45。，

・・・NAC4=NZ=45°,

：.AN=CN,

•・•点£是熊的中点,

:"ANE=/CNE=45°,4CEN=NAEN=9G,

:./CEH/FEN=9G,

•/CD1BE,

:./CFE=9G,

:・/CER/FCE=9^,

:"DCE=/BEN,

在△〃方和△阳V中，

CE=EN

<4DCE=/BEN,

CD=EB

:•△DCE^XBEN(SAS),

:.ED=NB,ZCED=ZENB=135°,

ZJ£9=45°=ZA=ZACN,

：.AD^DE,

YAE=CE,

:.A库EN,

：.AD=DN,

：.AD=DN=BN,

：.BD=2AD=2y/2.

故选B

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确

作出辅助线，构造全等三角形求解.

10、B

【分析】

连接。G,AG,设AG交DE于点”，先判定AG为线段的垂直平分线，再判定

^BAC^BAG'(AAS),然后由全等三角形的性质可得答案.

【详解】

解：如图，连接OG,AG,设AG交OE于点”,

;DE1DF，G为政的中点，

:.DG=GE,

•・•点G在线段£>£的垂直平分线上,

•・•△4即为等边三角形，

AD=AE,

点A在线段DE的垂直平分线上,

AAG为线段DE的垂直平分线，

AGA.DE,^DAG=-ZDAE=30°,

2

•・•点G在射线AH上，当3GLA"时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足,

•.•ZACB=90°,ZC4B=30°,

:.ZACB=ZAG'B,ZCAB=ZBAG',

则在ABAC和△BAG'中，

ZACB=^AG'B

ZCAB=ZBAG',

AB=AB

:.^BAC^BAG'(AAS).

:.BG=BC,

VZACB=90°,ZC4B=30°,AC=643,

BC=^AB,BC2+(66)2=AB-,

：.8c?+(6局=(2BCf,

解得：BC=6,

：.BG'=BC=6

故选：B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定

理是解题的关键.

二、填空题

1、2

【分析】

由直角三角形的性质求出AC=2VL由折叠的性质得出=ZAEF=/DEF,可求出

ZGEC=90°,由勾股定理可求出CG的长.

【详解】

解：vZA=60°,ZB=90°,

ZC=30°,

AB=43,

AC=2AB=2x/3,

•••E为AC的中点，

AE=CE=(AC=G,

1.•将AAEF沿EF折叠得到ADEF,

:.ZAFE=ZDFE,ZAEF=ZDEF,

■.■ZBFD=30°,

NAFD=1800-NBFD=180°-30°=1509,

ZAFE=-ZAFD=15°,

2

Z4EF=180°-ZA-zS47:E=180°-609-75°=45°,

ZAED=2ZAEF=90°,

.-.ZGEC=90°,

设EG=x,贝【JCG=2x,

EG2+CE2^CG2,

J.X?+(75)2=(2X)2,

解得x=l,

.\CG=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握折叠

的性质是解题的关键.

2、2a2"”

【分析】

利用等边三角形的性质得到N4的=/45。=30°,阳=45=46尸a,利用同样的方法得到40=

4旦=2a=2%,4笈=4(9=246|=4=2%,利用此规律即可得到4£,=2"'a.

【详解】

解：•.•△434为等边三角形，/航2V=30°,

，/4如=/46。=30°,%=45=45=a,

同理：A20^AiBi—2—2'a,

AABSASO=2,AiO=4Q=2~a,

以此类推可得△45/,t的边长为A„B„^2"-'a.

故答案为：2a；2-'a.

【点睛】

本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律.

3、二##

【分析】

作8W_LAC,垂足为根据等腰三角形的性质可得NA=NACB=30。，AM=CM,根据含30度角

的直角三角形的性质得出8M=(A8,那么可证3M=CQ.再利用A4S证明AM丽ACE，得出

ME=CE,设CE=x,根据AA7=CM列出方程，求解即可.

【详解】

解：作3M_LAC,垂足为M,

•,AB=BC1ZABC=\20°,

/.ZA=ZACB=30°,AM=CM,

2

-AB=2CD,

:.BM=CD.

・・・ZDCB=120。，

NDCE=ZDCB-ZACB=nO0-30°=90°,

:.ZBMC=ZDCE=90°.

在^EMB和AECD中,

ZBME=4DCE

<NBEM=/DEC,

BM二DC

^MEB^ACED(AAS),

:.ME=CE.

设CE=x,贝ijME=x,AM=AE-ME=l-x.

•：AM=CM,

:.l-x=2x,

7

:.x=­

3f

7

••・线段CE长为

7

故答案为

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的

关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型.

4、7

【分析】

由翻折的性质可证△取©是等边三角形，则力'《=4£=2,再根据34什d9+月〃，即可求出

制的最大值.

【详解】

解：：力后4,点£为48的中点，

心脏2,

:./AEGNDEB=6Q°,

•.•将△/四和△阮5、分别沿阳朦翻折得到△/"和as,DE,

：.AOA(=1,AE=A^2,AAEG-ACEA,DB=DS=4,B片B行2,4DE即4DEB,

•\Z/fi?=60°,A方R左2,

：.l\EBA是等边三角形，

：.A'A'E=2,

二当点G点1，点〃，点〃四点共线时，口有最大值4'创4'夕+S场7,

故答案为：7.

【点睛】

本题主要考查了翻折的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等性质，证明△房0

是等边三角形是解题的关键.

5、5

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据三角形的面积公式列式计算即可得解.

【详解】

解：是△力比中/加。的角平分线，DELAB,DFVAC,

：.DE=DF,

，5k械二一X9X3-1AC93=21,

22

解得AO5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.

三、解答题

1、(1)(2,-1)；(2)①(-2,1)；②t2a+2或-W-a-2

【分析】

(1)先求出对称轴，再表示N点坐标即可；

(2)①以松V为底边作等腰三角形MNP,则点夕在直线y=t=l上，直线0M与尸1的交点即为所求;

②表示出以N、。的坐标，比较纵坐标的绝对值即可.

【详解】

(1)过点(0,t)且垂直于y轴的直线解析式为产力

•.•点加(2,广2)与点/V关于过点(0,。且垂直于y轴的直线对称

...可以设/V点坐标为(2,n),且脉中点在尸t上

n+r-2=/)i己得”=f+2

.•.点N坐标为(2J+2)

.•.当t=-3时,点/V的坐标为(2,-1)

(2)①•.•以.肱V为底边作等腰三角形MNP,且点"(2,r-2)与点力直线厂t对称.

.•.点。在直线片£上，且尸是直线劭与产1的交点

当t=1时“（2,-1）,M2,3）

.•.阴直线解析式为y=f

当尸1时1=-gx,x=-2

尸点坐标为(-2,1)

②由题意得，点M坐标为(2,t-2),点N坐标为(2"+2),点尸坐标为(P,f)

Vt-2<t<t+2,防W上所有点到矛轴的距离都不小于a

•,・只需要|r—2.。或者"2上。

当机N、。都在x轴上方时，0<f-2<f<f+2,此时，一2N。，解得t，a+2

当△明W上与x轴有交点时，此时△必叩上所有点到x轴的距离可以为0,不符合要求；

当双N、。都在x轴下方时，t-2<t<t+2<0,此时卜+2,a,解得tW-a-2

综上或tW-a-2

【点睛】

本题考查坐标与轴对称、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用轴对称表示坐标，属于中考常

考题型.

2、(1)见解析;(2)60°；(3)12.

【分析】

(1)已知条件结合三角形内角和定理证明△力勿为等边三角形即可；

(2)先说明△?!a'为等边三角形，即/胡年/4除NO60°,设/ABD=x,则/分/四少x,然后根

据四边形的内角和用x表示出NCAD,进而表示出N分〃,最后根据三角形内角和即可解答；

(3)如图：作和〃微根据题意说明，盼她进而说明心1内设1后x,贝上磔户3,然后根据线段

的和差列方程解答即可.

【详解】

(1)证明：YAABC

二/4+N班/右180°

,/ZA+2ZB=180°

班NeN/l+2N6

:.乙件乙C

：.AB^AC；

解：(2)VAB=AC,Zfi4c=60°

...△46。是等边三角形

：.ZBAOZAB(=Z1=60°

设/ABD=x,则/场做=*,

:四边形/碗

:.N84DBC+N屏NDAO360。,即60°+60°+矛+矛+/%0360°

，/%华240°-2A-

•.,作ZC4D的平分线交BD于点E

：.Z£AD=^ZDA(=12O°~x

'：i\AED

，N小N/1舐/必ZM80°,即/产//股+120°-x=180°,解得//故=60°；

(3)作4JLL劭

'：AB^AD

4万平分N。。

：.AELCD

•.•由(2)得N4»60°,设ME=x

：.A£=2x,D后2ERB后帕X+3

・••砥3修2x+3

2

2x+3

:.A氏E我A声——-+3

2

:.2三x+产3+3=2无解得:9

尸5

・・・止2x+3=12.

图3

【点睛】

本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，含

30°的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键.

3、见解析

【分析】

根据等腰三角形的性质，可得N/厩伴90°,2ABO4ACB,BD-CD,从而得到△薇彤应，进

而得到N/层/施瓦再由班•平分N45G可得NDBE=3Z/SC,进而得到NOCE=g/4C8,即可求

证.

【详解】

解：•••/6=/C,是的中线，

：.ZADB=ZAD(=90a,ZAB(=ZACB,BD=CD,

,：D库DE,

：./\BDE^/\CDE,

:.乙DCE=/DBE,

■:BE平■分4ABC,

：.ZDBE=-ZABC,

2

ZDCE=-ZABC,

2

ZDCE=-ZACB,

2

.•.龙平分

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等,

等腰三角形“三线合一”是解题的关键.

4、(1)C；(2)见解析

【分析】

(1)甲同学证明的两个三角形全等，没有边边角的判定，故错误，而乙的证明则正确，因此可作出

判断；

(2)按照乙的分析方法进行即可.

【详解】

(1