2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册学案：5. 6 函数

5.6函数y=Asin(s*+0)

最新课程标准学科核心素养

1.结合具体实例，了解y=4sin(s

1.掌握y=sinx与y=Asin(gr+°)图象间的变换关系,

+9)的实际意义.

并能正确地指出其变换步骤.(教学抽象)

2.能借助图象理解参数3,<p,A

2.会用“五点法画函数y=Asin(①x+e)的图象，借

的意义，了解参数的变化对函数图

助函数图象求出函数解+析式.(教学运算)

象的影响.

川川川川川I川川川川I川川川川川川川川川川“川川川川川川h课前预习卅川川川川川川I川川川川I川川川川川“川川川川川川川川h

教材要点

要点一A,co,9对函数y=Asin(ox+0)图象的

影响对函数y=sin(x+p)图象的影响

3.A对函数y=Asin(ttw+p)图象的影响

状元随笔(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系.

(2)3越大，函数图象的周期越小，3越小，周期越大，周期与3为反比例关系.

(3)(p大于0时，函数图象向左平移，<p小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减\”.

(4)由y=sinx到y=sin(x+(p)的图象变换称为相位变换；由y=sinx到y=sin(ox的图

象变换称为周期变换；由y=s山x到y=As加x的图象变换称为振幅变换.

要点二函数y=Asin(sx+p),A>0,co>0的

有关性质1.定义域：R.

2.值域：.

3.周期性：7=27t皆.

CD

4.对称性：对称中心(咛生，0),对称轴是直线X吟券Otez).

5.奇偶性：当9=E(%eZ)时是奇函数；当夕=桁+方(ZWZ)时是偶函数.

6.单调性：通过整体代换可求出其单调区间.

状元随笔研究函数y=As加(cox+(p)性质的基本策略

(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的

单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数.

(2)整体思想：研究当xG[a,0]时的函数的值域时，应将cox+(p看作一个整体0,利用

xG[a,0]求出0的范围，再结合y=s山。的图象求值域.

基础自测

1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)把函数y=sin2r的图象向左平移£个单位长度，得到函数y=sin(2x+1)的图

象.()

(2)要得到函数y=sin(—x+学的图象，可把函数y=sin(一力的图象向左平移胃个单

位长度.()

(3)把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y=sin2x的图

象.()

(4)函数)，=cos的图象是由函数产cosx的图象向右平移1个单位长度得到

的.()

2.为了得到函数y=sin(X—即的图象，只需把函数y=sinx的图象()

A.向左平移;个单位长度

B.向右平移1个单位长度

C.向上平移W个单位长度

D.向下平移W个单位长度

3.函数y=cos4x的图象可由函数丁=以)§龙的图象经过怎样的变换得到()

A.所有点的横坐标为变为原来的4倍

B.所有点的横坐标变为原来的;倍

C.所有点的纵坐标变为原来的4倍

D.所有点的纵坐标变为原来的1倍

4.若函数y=sin("求+夕)(①>0)的部分图象如图，则co=

“川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川I川川川川“川h丁陶陶•凰5解透t川川川"用川川卅卅"卅川卅卅川卅"N卅卅卅"川川川勿川’

三角函数图象的变换

角度1同名三角函数图象的变换

例1由函数y=sinx的图象经过怎样的变换，可以得到函数y=12sin(2%一意+1

的图象.

方法")2佃

三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：

(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是阳和,但平移方向是一致的.

(2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一

致的.

角度2异名三角函数图象的变换

例2为了得到函数)，=sin(2x—聿)的图象，可以将函数y=cos2x的图象()

A.向右平移差个单位长度

B.向右平移号个单位长度

C.向左平移点个单位长度

D.向左平移1个单位长度

方法＞)3佃

不同名三角函数之间的变换方法

(1)利用诱导公式，寻找不同名三角函数之间的关系，主要利用方土a化简.

(2)用诱导公式将不同名三角函数化为同名三角函数后，再根据平移、伸缩变换，得出

最终结果.

跟踪训练1(1)要得到函数y=3sin(2x+；)的图象，只需将函数y=3sin2%的图象

()

A.向左平移;个单位长度

B.向右平移彳个单位长度

C.向左平移/个单位长度

D.向右平移得个单位长度

(2)把函数y=cos(3%+舅的图象适当变换就可以得到y=sin(-3外的图象，这种变换

可以是()

A.向右平移；个单位长度

B.向左平移今个单位长度

C.向右平移自个单位长度

D.向左平移合个单位长度

函数y=Asin(5+9)的图象

角度1“五点法'”作图

例3作出函数y=2sin七+袭)的一个周期内的简图.

方法拉的

五点法作图

五点法作函数y=4sin(cox+p)(xeR)图象的步豚.

JT3兀

⑴列表，令3x+g=0,],兀，个，2兀，依次得出相应的(尤，》)值.

(2)描点.

(3)连线得函数在一个周期内的图象.

(4)左右平移得到y=Asin(sx+9)，x£R的图象.

角度2由图象求三角函数的解+析式

例4如图所示，它是函数丫=4sin(3X+Q)(A>0,<O>0,一兀<夕<“)的图象，贝丁该

函数的解+析式为.

方法归的

根据三角函数的图象求y=Asin(cox+g)的解+析式

(1)A:一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|4|.

2兀

(2)(o:因为7=高,所以往往通过求周期7来确定④图象上相邻的两个对称中心间的

距离为彳,相邻的两条对称轴之间的距离为J,相邻的对称轴与对称中心之间距离为q.

(3)外①把图象上的一个已知点的坐标代入来求.②寻找“五点作图法\”中的某一点来

求，具体如下：利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时，令cox+勿=0;利用“第

TT

二点”(即图象的“峰点”)时，令3X+0=微；利用“第三点”(即图象下降时与X轴的交

点)时，令3X+0=兀：利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令5+(P=y:利用“第

五点V’时，令5+(p=2兀

注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法\”.

JTTT

跟踪训练2(1)函数式x)=4sin(cox+夕)(4>0,M>0,一]<9<],xGR)的部分图象

如图所示，则函数y=/U）的解+析式为（）

A.y（x）=sin

於）=（当

C.cosx+D.fix）=cos

⑵用“五点法'”作出函数）'=啦sin（2x+J在［0,兀］上的图象.

例5在①人外图象过点《，1）,②/年）图象关于直线x=y对称，③Ax）图象关于点

信0）对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：已知次x）=2sin（＜yx+9）（0＞O,—9＜夕＜0）的最小正周期为2兀，.

（1）求函数述x）的解+析式；

（2）将段）的图象上所有点向左平移占个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标

缩短到原来的£（纵坐标不变），得到函数丫=8。）的图象，求g（x）的单调递增区间.

方法归他

研究函数y=Asin(①x+p)性质的基本策略

(1)首先将所给函数的解+析式转化为y=Asin(①x+p)的形式；

(2)熟记正弦函数y=sinx的图象与基本性质：

(3)充分利用整体代换思想解决问题；

(4)熟记有关y=Asin(5+9)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论.

7T

跟踪训练3已知函数7U)=Asin(cox+0),x£R(其中A>0,co>0,OVgV])的周期

为兀，且图象上的一个最低点为M管，一2).

(1)求兀v)的解+析式；

(2)当xw[o,时，求40的最值.

易错辨析三角函数图象变换规则不清致误

例6为了得到〉=$布；x的图象，只需要将y=sin(%一§的图象()

A.向左平移/个单位B.向右平移/个单位

C.向左平移1个单位D.向右平移W个单位

详细分析：：y=sin(5一看)=sin|(了一称，

...当由〉=5苗&一]的图象得丫二成!！gX的图象时，应该是向左平移1个单位.

易错警示

易错原因纠错心得

在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：

错因1:审题不清，没有弄清哪一(1)平移之前应先将函数解+析式化为同名的函数；

个函数图象变换得另一个函数图(2)弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪

象；个函数的图象要清楚；

错因2：平移的单位长度由于忽视(3)平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是a>x+q>

X的系数导致错误.

中的心而是七.

课堂十分钟

1.要得函数〉=$万》的图象，只需将函数y=sin(x—的图象()

A.向左平移g个单位长度

B.向右平移胃个单位长度

C.向左平移专个单位长度

D.向右平移考个单位长度

2.要得到函数产cos(3》+号的图象，需将函数产cos3x的图象()

A.向左平移点个单位长度

B.向左平移5个单位长度

C.向右平移占个单位长度

D.向右平移g个单位长度

3.y=/(x)是以27t为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y=Xx)的解+析

式为()

A.y=3sin(x+1)B.y=_3sin(x+1)

C.y=3sin(x—1)D.y=—3sin(x-1)

TT

4.把函数)，=sinx(xGR)的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，再把所得图象

上所有点的横坐标缩短到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是

7TJT

5.已知函数/（x）=Asin（tt）x+夕）（A＞0,。＞0,一弓＜夕＜5）的一段图象如图所示.

⑴求7U）的解+析式；

（2）求7U）的单调减区间，并指出ZU）的最大值及取到最大值时X的集合.

5.6函数y=Asin(0X+。)

新知初探•课前预习

要点一

1.左右

3.A

要点二

2.[-A,A]

[基础自测]

1.(1)X(2)X(3)X(4)7

2.答案：B

3.答案：B

4.答案：4

题型探究•课堂解透

例1详细分析：方法一y=sinx的图象

方法二y=sinx的图象

所有点的纵坐标伸长到原来的2倍

*3；=2sinx

横坐标不变

关于才轴作对称变换„

的图象--------------------7=-2sinJT的

所有点的横坐标缩短到原来的4倍

纵坐标不变

向右平移合个单位长度

-2sin2.x的图象----------------------a,

=-2sin（21r---/）的图象

向上平移1个单位长度./

-----------------------►y——2sinI2JC-

）+1的图象.

例2详细分析：因为y=cos2A-=sin（级+^），而y=sin[2（x—1）+与=sin

（2xf）,所以y=cos2x的图象向右平移生个单位长度可得到尸sinQ一§的图象.

答案：B

跟踪训练1详细分析：（l）：y=3sin（2x+：）=3sin2^r+|^=3sin2（x+<p）,：.1（p—

f,：.<p=l,故需将函数y=3sin2x的图象向左平移;个单位长度.故选C.

...将y=sin]—3口一自）]的图象向左平移三个单位长度就可以得到丫=而!!（-3x）的图

象.故选D.

答案：（1）C（2）D

例3详细分析：令,列表如下:

7T2兀5兀8兀1171

X-3TTT

3兀

0712冗

t2T

y020-20

描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象:

例4详细分析：解法一（单调性法）由图象可知：

A-2,7=竽YD=3兀=誓，则（o=1.

•.•点（兀，0）在递减的那段图象上，

.十°G5+2E,苧+2&兀］（AGZ）,

则由sin停+9）=0,得争+°=（2&+l）7t（&CZ）.

V—n＜（p＜Ti,.

，该函数的解+析式为y=2sin停x+1）.

解法二（最值点法）由图象可得7=3兀，A=2,则①=,,将最高点坐标停，2）代入y

=2sin停x+s）,得2sin（专+,=2,

TTJTTT

・,升+*=2E+E（k£Z）,：.（p=2kn+^/七Z）.

又一兀〈8＜兀,：・（p=q.

,该函数的解+析式为y=2sin停为+§.

2

解法三（起始点法）由题图得7=3兀，A—2,故。=g,函数y=Asin（＜wx+夕）的图象一

般由“五点法”作出，而起始点的横坐标刈正是由（oxo+9=0解得的，故只要找出起始点

的横坐标M）,就可以迅速求得角0.由图象求得3=1,Xo=甘，9=—0必=一|x（一?

".该函数的解+析式为y=2sin停工+鼻）.

解法四（图象平移法）由图象知，将函数y=2sin2的图象沿x轴向左平移F71个单位

长度，就得到本题的图象，故所求函数的解+析式为y=2sin［翡十3］，即y=2sin6r+g.

答案：y=2sin&+5）

跟踪训练2详细分析：（1）由图象得A=l,{=y-j,所以T=2n,则o=l.

将点怎，1）代入函数段）解+析式得sin（袭+0）=1，又一与〈片，所以94，因此函数

y（x）=sin（x+§.故选B.

（2）列出x,y的对应值表：

三3兀5兀7兀

X-88TTT

7T3兀

2x+：0兀2兀

2T

y0也0一也0

描点，连线，如图所示.

答案：（1）B（2）见解+析

例5详细分析：若选①：（1）由已知得=2兀，则。=1,

于是«x）=2sin（x+9）

因为外）图象过点（率1）,

所以sin仁+8,即cos9=T，

IT7T

又因为一5<3<o,所以勿=一?,

故於)=2sin(l1).

(2)由已知得g(x)=2sin(2x-/，

于是2E—5<2x—£<2%兀+1,

解得kn—^4WE+寿,

OO

故g（x）的单调递增区间为［也一7T"E+引57r（MZ）.

若选②：⑴由已知得，T=~=2兀，

则co=\9

于是7U）=2sin（x+p）.

因为«x）图象关于直线工=空对称，所以争+勿=%兀+，,

即0=4兀一季（A£Z）

IT7T

又因为一］＜夕＜0,所以0=一5,

故_/(x)=2sin(%一袭).

(2)由已知得g(x)=2sin(2x—今)

由2E—］W2x—专,

即24碧.

故g（x）的单调递增区间为［%兀一翁，E+翁（ZWZ）.

27r

若选③：（1）由已知得T=京=2兀，则①=1,

于是於）=2sin（x+（p）.

因为於）图象关于点（去O）对称，所以1+（p=k7t,

TTTT

即0=E一d（AWZ）,又因为一］＜”0,

所以夕=一事，故火x）=2sinQ一季）.

（2）由已知得g（x）=2sin（2x-§,