广东省阳江市第四高级中学高三数学文模拟试题含解析

广东省阳江市第四高级中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为

（A）(－∞,e]

（B）(－∞,e)

（C）

（D）参考答案：D不等式即，结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项.

2.已知向量，若，则最小值（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（）A．－1

B．1－log20132012C．-log20132012

D．1参考答案：B4.己知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），f（）+f（）=0，且f（x）在区间（，）上递减，则ω=（）A．3 B．2 C．6 D．5参考答案：B【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】首先通过三角恒等变换把函数变形成正弦型函数，进一步利用整体思想利用区间与区间的子集关系求出ω的范围，进一步利用代入法进行验证求出结果．【解答】解：f（x）=sinωx+cosωx=2sin（）所以：当k=0时，由于：f（x）在区间（，）单调递减，所以：解不等式组得到：当ω=2时，f（）+f（）=0，故选：B．5.已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形参考答案：C【考点】等差数列的通项公式；三角形中的几何计算．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判断出结论．【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D．由C可知不正确．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.的值为（

）A．

B． C．

D．参考答案：C7.在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，则a3=（

）A.2 B.4 C. D.8参考答案：B【分析】根据题意得到，，解得答案.【详解】，，解得或（舍去）.故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.8.从A到B有3趟班车，甲，乙两人可以从中任选一趟班车，则甲，乙两人在同一趟班车的概率为

（

）（A） （B）

（C）

（D）参考答案：A9.已知，则向量与的夹角为（

）（A） （B） （C） （D）参考答案：B略10.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，，则（

）A． B． C． D．1参考答案：B，则，即，那么．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32cm2的概率为

．参考答案：12.已知，且满足，则的最大值为__________．参考答案：18略13.已知点A是抛物线y=x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PF|=m|PA|，则m的最小值为．参考答案：﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PF|=m|PA|，则=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，即可求得结论．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则=m，设PA的倾斜角为α，则sinα=m，当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴m的最小值为﹣．故答案为：﹣．14.已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B=

．参考答案：{﹣1，，1}．【分析】由集合A与B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它们的并集．【解答】解：由A∩B={}得，2a=?a=﹣1，b=，∴A={1，}，B={﹣1，}，∴A∪B={1，﹣1，}故答案为：{﹣1，，1}．15.已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．参考答案：【考点】3Q：函数的周期性．【分析】由函数的奇偶性与周期性把f（）转化为求f（）的值求解．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，∴，又当x∈[2，4]时，，∴f（）=f（）=．故答案为：．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．16.已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________.参考答案：由条件得，，从而双曲线方程为，故渐近线方程为。17.已知数列{an}的前n项和为Sn，=1，=3，且，若对任意都成立，则实数的最小值为______．参考答案：【分析】先根据和项与通项关系得，再利用叠加法得，利用分组求和法得，【详解】数列的前项和为，=1，=3，且，所以：，故：，因为，所以所以：，，则：，故：，所以：=，所以：，因为对任意都成立，所以设则当时，当时，因此即故的最小值为．故答案为：【点睛】本题考查和项与通项关系、累加法求通项公式以及数列单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图所示，在多面体EF﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，O为BC的中点，EF∥AO，EA=EC=EF=．（1）求证：AC⊥BE；（2）若BE=，EO=，求点B到平面AFO的距离．参考答案：【分析】（1）利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面BEH，再利用直线和平面垂直的性质定理，证得AC⊥BE．（2）先求得F﹣BCA的体积，再根据等体积法求得点B到平面AFO的距离．【解答】解：（1）取AC的中点H，连接EH，BH，∵EA=EC，∴EH⊥AC，因为△ABC为等边三角形，所以BA=BC，BH⊥AC，因为BH∩EH=H，所以AC⊥平面BEH，∵BE?平面BEH，∴AC⊥BE．（2）∵在△EAC中，，所以，因为△ABC为等边三角形，所以，因为，所以EH2+HB2=BE2，所以EH⊥HB，因为AC∩HB=H，所以EH⊥平面ABC，又因为，所以，∵EF∥AO，∴，∵，四边形AOFE为平行四边形，，∴，设点B到平面AFO的距离为d，由，得，解得．

【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定和性质，直线和平面垂直的判定和性质，用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．19.已知向量＝(cosx，sin(－x))，＝(cosx，sin(＋x))，（＞0），函数f(x)＝2·＋1的最小值正周期为2。（1）求的值；（2）求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围。参考答案：20.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0.(1)求a的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值；参考答案：(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)．.………2分由f′(x)＝0，得x＝1－a＞－a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－a,1－a)1－a(1－a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，故由题意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.………5分(2)当k≤0时，取x＝1，有f(1)＝1－ln2＞0，故k≤0不合题意．

………6分当k＞0时，令g(x)＝f(x)－kx2，即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx2.g′(x)＝－2kx＝.令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＞－1.………8分①当k≥时，≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx2在[0，＋∞)上恒成立，故k≥符合题意．………10分综上，k的最小值为.

………12分21.如图，在棱长为2的正方体ACBD-A1C1B1D1中，M是线段AB上的动点.（1）证明：AB∥平面A1B1C；（2）若点M是AB中点，求二面角的余弦值；（3）判断点M到平面A1B1C的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.参考答案：（1）证明：因为在正方体中，，平面，平面，平面（2）取的中点，连接，，.因为，所以，因为，所以，则为二面角的平面角，分别为和的中点，，又平面，平面，而平面，，故在中，.二面角的余弦值为法二（向量法）：在正方体中，，，两两互相垂直，则建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，，设向量，分别为平面和平面的法向量，由取，则，，.同理取，则，，.，又二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为（3）方法一（几何法）：因为平面，所以点，点到平面的距离相等，设为.故，则.解得.点到平面的距离为定值................12分方法二(几何法）：由（1）知平面.点到平面的距离等于上任意一点到平面的距离.令点平分，作的中点，连结，，过作，垂足为，显然、、、共面.平面，，平面.平面，.又，平面，平面，，平面，即为所求.，，，.，.点到平面的距离为定值方法三（向量法）由（1）知平面.点到平面的距离等于上任意一点到平面的距离.令点平分，则由（2）的向量法知：点到平面的距离.点到平面的距离定值为试题立意：本小题考查线面垂直判定定理，线面平行判定与性质定理，二面角等基础知识；意在考查空间想象能力、分析问题、解决问题的能力及推理论证能力.22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，由，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．【解答】20．（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆C：+=1