招录职位条件数额

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人数职位

代码招录对象及条件招录人数石家庄市

415名1101公安部所属公安警察院校全日制普通类本科以上学历毕业生721102我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）3091103法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性101104物理专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位，男性21105病理专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位，男性21106计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性81107法律专业，本科以上学历，学士以上学位101108化学、化工专业，本科以上学历，学士以上学位，男性2承德市

489名1201公安部所属公安警察院校全日制普通类本科以上学历毕业生31202我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）3801203法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性201204法律专业，本科以上学历，学士以上学位151205化学、化工专业，本科以上学历，学士以上学位，男性51206财税、经贸、金融专业，本科以上学历，学士以上学位，男性301207计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性211208中文专业，本科以上学历，学士以上学位51209英语专业，本科以上学历，学士以上学位10张家口市

245名1301我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）1551302法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性101303法律专业，本科以上学历，学士以上学位201304财税、经贸、金融专业，本科以上学历，学士以上学位，男性211305化学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性21306化工专业，本科以上学历，学士以上学位，男性21307计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性251308中文专业，本科以上学历，学士以上学位51309英语专业，本科以上学历，学士以上学位5秦皇岛市

113名1401公安部所属公安警察院校全日制普通类本科以上学历毕业生211402我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）721403法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性101404计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性10唐山市

300名1501公安部所属公安警察院校全日制普通类本科以上学历毕业生81502我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）2671503法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性101504计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性81505化学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性11506病理专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位，男性11507英语专业，本科以上学历，学士以上学位5廊坊市

285名1601公安部所属公安警察院校全日制普通类本科以上学历毕业生41602我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）2211603法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性81604化学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性11605病理专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位，男性11606法律专业，本科以上学历，学士以上学位101607财税、经贸、金融专业，本科以上学历，学士以上学位，男性101608计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性201609中文专业，本科以上学历，学士以上学位51610英语专业，本科以上学历，学士以上学位5保定市

909名1701公安部所属公安警察院校全日制普通类本科以上学历毕业生181702我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）7911703法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性201704法律专业，本科以上学历，学士以上学位101705财税、经贸、金融专业，本科以上学历，学士以上学位，男性201706计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性241707化学、化工专业，本科以上学历，学士以上学位，男性61708中文专业，本科以上学历，学士以上学位101709英语专业，本科以上学历，学士以上学位10沧州市

300名1801公安部所属公安警察院校全日制普通类本科以上学历毕业生11802我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）2791803法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性101804计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性81805化学、化工专业，本科以上学历，学士以上学位，男性2衡水市

529名1901公安部所属公安警察院校全日制普通类本科以上学历毕业生41902我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）3601903法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性101904法律专业，本科以上学历，学士以上学位301905财税、经贸、金融专业，本科以上学历，学士以上学位，男性601906计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性601907中文专业，本科以上学历，学士以上学位5邢台市

300名2001我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）2602002法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性102003法律专业，本科以上学历，学士以上学位102004财税、经贸、金融专业，本科以上学历，学士以上学位，男性72005计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性82006中文专业，本科以上学历，学士以上学位32007化学、化工专业，本科以上学历，学士以上学位，男性2邯郸市

768名2101公安部所属公安警察院校全日制普通类本科以上学历毕业生22102我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）5202103法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性202104法律专业，本科以上学历，学士以上学位482105财税、经贸、金融专业，本科以上学历，学士以上学位，男性602106计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性802107中文专业，本科以上学历，学士以上学位102108英语专业，本科以上学历，学士以上学位102109民族宗教专业，本科以上学历，学士以上学位62110化学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性52111化工专业，本科以上学历，学士以上学位，男性52112安全工程专业，本科以上学历，学士以上学位2省公安厅

100名2201公安情报分析专业，本科以上学历，学士以上学位，男性42202网络工程专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位，男性22203网络安全防范工程专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位，男性12204无线通讯，本科以上学历，学士以上学位，男性22205税务专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位，男性12206金融专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位，男性12207理化专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位，男性12208DNA分析专业，本科以上学历，学士以上学位，男性12209法医病理专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位，男性22210警犬技术专业，本科以上学历，学士以上学位，男性22211西班牙语专业，本科以上学历，学士以上学位，男性52212印第安语专业，本科以上学历，学士以上学位，男性52213葡萄牙语专业，本科以上学历，学士以上学位，男性52214意大利语专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位，男性52215经侦专业，本科以上学历，学士以上学位，男性32216行动技术专业，本科以上学历，学士以上学位22217国内安全保卫专业，本科以上学历，学士以上学位，男性42218侦查专业，本科以上学历，学士以上学位，男性22219计算机安全专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位12220数字传媒技术，硕士研究生以上学历，硕士以上学位22221文检专业，本科以上学历，学士以上学位32222电子物证，本科以上学历，学士以上学位22223英语专业，本科以上学历，学士以上学位42224朝鲜语，硕士研究生以上学历，硕士以上学位32225阿拉伯语，硕士研究生以上学历，硕士以上学位42226心理学，本科以上学历，学士以上学位12227安全防范工程专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位12228公安管理专业，本科以上学历，学士以上学位12229公安图像技术专业，本科以上学历，学士以上学位。22230痕迹检验专业，本科以上学历，学士以上学位22231刑法专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位12232计算机科学与技术，硕士研究生以上学历，硕士以上学位62233法学专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位52234财会专业，本科以上学历，学士以上学位22235审计专业，本科以上学历，学士以上学位22236通信工程专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位32237中文专业，本科以上学历，学士以上学位7冀中公安局

100名2301我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类中专以上学历毕业生（列入我省招生计划的）802302刑事诉讼法专业，硕士研究生以上学历，硕士以上学位22303法律专业，本科以上学历，学士以上学位22304财税、经贸、金融专业，本科以上学历，学士以上学位，男性32305中文专业，本科以上学历，学士以上学位，男性42306计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性32307人力资源、行政管理专业，本科以上学历，学士以上学位22308分析化学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性22309法医、临床医学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性2高速公路交警总队(工作地点:涿州、香河、怀来、怀来北辛堡、滦平金山岭)

160名2401我省生源的公安警察院校公安专业全日制普通类大专以上学历毕业生（列入我省招生计划的），男性1232402法律专业，本科以上学历，学士以上学位，男性102403会计学专业，本科以上学历，学士以上学位，男性102404英语专业，本科以上学历，学士以上学位，男性62405计算机、通信工程、信息管理与信息系统专业，本科以上学历，学士以上学位，男性11 §8-4矩阵相似的条件在求一个数字矩阵的特征值和特征向量时曾出现过矩阵,我们称它为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个数字矩阵和相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.引理1:如果有数字矩阵使,(1)则和相似.引理2:对于任何不为零的数字矩阵和矩阵与，一定存在矩阵与以及数字矩阵和使,(2).(3)定理7:设，是数域上两个矩阵.与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.矩阵的特征矩阵的不变因子以后简称为的不变因子.因为两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论:矩阵与相似的充要条件是它们有相同的不变因子.应该指出，矩阵的特征矩阵的秩一定是.因此，矩阵的不变因子总是有个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.矩阵的相似对角化一、填空题1.若。2.设矩阵，则A的全部特征值为。3.若λ=3是可逆方阵A的一个特征值，则A-1必有一个特征值为______。4.设,分别属于方阵A的不同特征值λ1,λ2的特征向量，则与必线性_____。5.设A为实对称矩阵，=(-1,1,1)T，=(3,-1,a)分别是属于A的相异特征值λ1与λ2的特征向量，则a=_____。6.设三阶方阵A的特征值为1，-1，-1，且B=A2，则B的特征值为_____。7.设A为4阶方阵，A的4个特征值为-2，-1，1，2。则。8.若阶矩阵A有一特征值为2，则。9.设矩阵A=与B=相似，则y=_______。10.设矩阵A=，则与其相似的对角矩阵有________。二、选择题1.已知（）A．1或2B．-1或-2C．1或-2D．-1或2若（）A．它们的特征矩阵相似B．它们具有相同的特征向量C．它们具有相同的特征矩阵D．存在可逆矩阵2.设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是（）A．Ax=2x B．A-1x=xC．A-1x=2x D．A2x=4x3.设A为3阶矩阵，A的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为（）A．0 B．1C．2 D．3三、计算题1.已知矩阵（1）求；（2）。2.设3阶方阵A的三个特征值为，A的属于的特征向量依次为，求方阵A。3.设三阶方阵A的特征值为1，2，-2，又B=3A2-A3,说明B能否对角化?若能对角化，试求与B相似的对角阵。4.求矩阵A=的所有特征值，指出A能否与对角矩阵相似，并说明理由。学院2021届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导老师：AGraduationThesis(Project)SubmittedtoSchoolofScience,HubeiUniversityforNationalitiesInPartialFulfillmentoftheRequiringforBSDegreeIntheYearof2021DiagonalizationoftheMatrixanditsApplicationsStudentNameStudentNo.:Specialty:Supervisor:DateofThesisDefense:DateofBookbinding:摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等.矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题.本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式IAbstractThematrixisanimportanttoolincollegemathematics,andcansimplifythedescriptionlanguagebasedontheapplicationofmatrixinmanyways.Soitiseasiertounderstandinmanyfields,forexample,linearequations,quadraticequations.Inmanycharacteristics,thematrixsimilarityisanveryimportantaspect.Weknowthatthematrixsimilarityisanequivalencerelationbywhichwecanclassifymatrix,thediagonalmatrixisveryimportant.Thiskindofmatrixhasgoodproperties,anditisconvenientforustosolveotherproblems,suchastheapplicationofsimilarmatrixinlinearspace.Inthispaper,wefirstdiscussmanynecessaryandsufficientconditionsofdiagonalizationofmatrixandthengivesomeapplicationsofspecialmatrixdiagonalization.Keywords:diagonalmatrix，realsymmetricmatrix，idempotentmatrix，involutorymatrix，theeigenvaule，thefeaturevector，minimalpolynomialII目录摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„IAbstract„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„II绪言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1课题背景„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1目的和意义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1国内外概况„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1预备知识„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2相关概念„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2矩阵的对角化„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4特殊矩阵的对角化„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14矩阵对角化的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„22总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„24致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„25参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„26独创声明„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„28III1绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1课题背景在由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版社出版的《高等代数》一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念.在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是相同的.在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化，从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质，还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1)研究矩阵对角化的判定定理及应用，为其它学术研究提供便捷的工具；(2)比较全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；1.3国内外概况实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破.实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中.矩阵的同时对角化、同时次对角化，以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善.12预备知识给出本文内容所涉及的一些定义，方便对后面定理证明的理解.定义1常以Pm⨯n表示数域P上m⨯n矩阵的全体，用E表示单位矩阵.定义2n阶方阵A与B是相似的，如果我们可以找到一个n阶非奇异的方阵矩阵T∈Pn⨯n，使得B=T-1AT或者A=T-1BT.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：A=E-1AE；②对称性：若A相似于B，则B相似于A；③传递性：如果A相似于B，B相似于C，那么A相似于C.定义3n阶方阵A与B是合同的，如果我们可以找到一个n阶非奇异方阵T∈Pn⨯n，使得B=TTAT或者A=TTBT.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A=ETAE；②对称性：由B=TTAT即有A=(T-1)TBT-1；③传递性：由A1=T1AT1和A2=T2TA1T2有A2=(T1T2)TA(T1T2).⎛b100b2定义4式为00⎝⋯⋯⎫⎪⎪⎪的m阶方阵叫对角矩阵，这里bi是数⎪⋯bm⎪⎭000T（i=1,2,⋯⋯m).定义5方阵A∈Pn⨯n，若A=T-1BT，T非奇异，B是对角阵，则称A可相似对角化.定义6方阵A∈Pn⨯n，若A=TTBT，T非奇异，B是对角阵，则称A可合同对角化.定义7矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i行(列)于j行(列)；⑵用非零数c∈P乘以矩阵第i行(列)；⑶把矩阵第j行的t倍加到第i行.定义8由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵.共有三2种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得P(i,j)且P(i,j)-1=P(i,j)；②单位矩阵经过初等变换⑵得P(i(t))且P(i(t))-1=P(i(1/t)；③单位矩阵经过初等变换⑶得P(i,j(t))且P(i,j(t))-1=P(i,j(-t)).定义9设方阵B∈Pn⨯n，若B2=E，就称B为对合矩阵.定义10设方阵A∈Pn⨯n，若Am=A，就称A为幂幺矩阵.定义11设方阵C∈Pn⨯n，若C2=C，就称C为幂等矩阵.定义12设方阵A∈Pn⨯n，λ∈P，若存在向量，满足Al=λX，我们就称λ是A的特征值，X是A属于特征值λ的特征向量.定义13A∈Pn⨯n，定义mA(λ)为矩阵A的最小多项式，mA(λ)的一个根为A而且比其他以A为根的多项式的次数都低，mA(λ)首项系数是1.33矩阵的对角化本章介绍数域P上n阶方阵阵的对角化问题.先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.引理1如果μ1，„，μk是矩阵Q的不同的特征值，而αi1,„，αiri是属于特征值λi的线性无关的特征向量，i=1,2„,k，那么α11,„,α1r，„,αk1，„，αkr也线性无1k关.证明：假设t11α11+t12α12+„+t1r1α1r1+„+tk1αk1+„+tkrkαkrk=0，令ti1αi1+„tij∈P，+tikiαiki=ηi，则Qηi=λiηi（i=1,2„,k），且η1+η2+„+ηk=0„„（1）分别用E,Q,Q2,„,Qk-1左乘以（1）两端，再由引理4得：Qmηi=λiηi，（m=1,2...k-1;i=1,...,t),由此有ηk=0,⎧η1+η2+...⎪λη+λη+...λη=0,Kk⎪1122⎪222⎨λ1η1+λ2η2+...λKηk=0,⎪...................................⎪k-1k-1k-1⎪λη+λη+...λ1122kηk=0.⎩该线性方程组的系数矩阵为111⎫⎛1⎪λλλ2k⎪D=1，D为范德蒙行列式，又由λi(i=1,2...k)互异有D≠0.⎪k-1⎪k-1k-1⎪λλ2λk⎭⎝1根据克拉默法则就有ηi=0，即ti1αi1+„+tikiαiki=0，再由αi1,...,αiri线性无关得：ti1=ti2=...=tiki=0(i=1,2...k)，故α11,...,α1r1...,αiri...,αkrk线性无关.推论1属于不同特征值的特征向量是线性无关的.定理1Q∈Pn⨯n与对角阵相似⇔Q有n个特征向量，它们是线性无关的.证明：Q可以对角化⇔存在可逆矩阵T=(T1,T2，„，Tn)使得40⎫0⎫⎛λ1⎛λ1⎪⎪λλ⎪⎪22T-1QT=QT=T，即⎪⎪⇒⎪⎪0⎪λn⎭λn⎪⎝⎝0⎭(QT1,QT2,„,QTn)=（λT1,λT2,„,λTn).因此Q可以对角化⇔存在Ti（i=1,2„,n）∈P使得QTi=λiTi，也即Q有n个线性无关的特征向量.根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化，必须从求解这个矩阵的特征多项式入手，虽然很直接，但考虑其计算量很大，加之特征值与特征向量只能分开求解，下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵Q∈Pn⨯n有n个不同的特征值，那么该矩阵可对角化.证明：由Q有n个不同的特征值及引理1的推论有Q有n个线性无关的特征向量，再由定理1即有Q可以对角化.注意：该推论为对角化的充分条件.定理2μ1,μ2,...,μt（互不相同）是B∈Pn⨯n的特征值，μi∈P(i=1,2,...,t)，B可对角化⇔∑r(μiE-B)=(t-1)n（r表示矩阵的秩）.i=1t证明：(μiE-B)X=0的基础解系的一组基向量的个数为：n-r(μiE-B)，我们可以得到关于μi的线性无关的特征向量的个数是n-r(μiE-B)（i=1,2,...,t)，再由引理1推出矩阵B有∑(n-r(μiE-B))个线性无关的特征向量.i=1t根据定理1就有：n阶方阵B可对角化⇔B有n个线性无关的特征向量⇔⇔∑(n-r(μE-B))=n，ii=1tt∑r(μE-B)=(t-1)n.ii=1定理3Q∈Pn⨯n与对角矩阵相似的充要条件：λi∈P(i=1,2...,t)且n-(λiE-Q)=ri(ri表示λi的代数重数).证明：设λi的线性无关的特征向量为βi1,βi2,...,βiri，由引理1有：5β11,β12,...,β1r,...,βir,...,βtr线性无关.1it若r1+r2+...+rt=n，那么Q就有n个线性无关的特征向量⇔Q可以对角化.若Q与对角矩阵相似，则Q的属于不同特征值的特征向量总数一定为n.否则根据定理1就可以推出λ1,λ2,...,λt线性相关，矛盾.相较于定理1，定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数，方便了许多，也易于计算.下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.引理2设n阶方阵A,B∈Pn⨯n，则有r(A+B)≤r(A)+r(B).证明：先证rank[A,B]≤rank(A)+rank(B)„„(2).根据矩阵秩的定义有r[A,B]≤n⨯2n阶矩阵[A,B]的线性无关的行数≤方阵A的线性无关的行数+方阵B的线性无关的行数≤r(A)+r(B).⎡E⎤对方阵矩阵B+A=[B,A]⎢⎥，由(2)式有r(B+A)≤r[A,B]，所以⎣E⎦r(A+B)≤r(A)+r(B).引理3对于n阶方阵C,D有r(AB)≥r(A)+r(B)-n.⎛CO⎫⎛CT⎫证明：先证r(C)+r(D)=rOD⎪⎪≤rOD⎪⎪„„（3），其中T为任意n阶方阵.⎝⎭⎝⎭显然当C,D中有一个为O时结论成立；另设r(C)=p,r(D)=q，则C有p阶子式M1≠0，D有q阶子式M2≠0.⎛CT⎫于是OD⎪⎪有p+q阶子式⎝⎭M1*=M1M2≠0,OM2⎛CT⎫因此rOD⎪⎪≥p+q=r(C)+r(D).⎝⎭要证r(AB)≥r(A)+r(B)-n，只需证明：运用分块矩阵的初等变换有：6r(AB)+n≥r(A)+r(B)⎛EnO⎝O⎫⎛En⎪→AB⎪⎭⎝AO⎫⎛En⎪→AB⎪⎭⎝A-B⎫⎛-BEn⎫⎪→⎪O⎪，O⎪A⎭⎝⎭有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有：⎛-BEn⎫⎪r(AB)+n=r≥r(A)+r(B).O⎪A⎭⎝⎛Ep另证：令r(A)=p，则存在可逆矩阵C,D使得CAD=O⎝OO⎫-1O⎫-1⎛⎪D⎪，若令C⎪⎪O⎭⎝OEn-p⎭=H,则r(H)=n-p以及A+H=C-1D-1.又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此r(B)=r(C-1D-1B)=r(AB)+r(HB)≤r(AB)+r(H)≤r(AB)+n-p.引理3的一般形式：（Syl希尔维斯特不等式）设A，B，C∈Pn⨯n分别为i⨯j,j⨯k,k⨯t矩阵，则r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B).证明：要证r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)只需证明r(ABC)+r(B)≥r(AB)+r(BC),因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而O⎫⎛EA⎫⎛ABCO⎫⎛EO⎫⎛OE⎫⎛AB⎪⎪⎪⎪=OE⎪O⎪-CE⎪EO⎪B-BC⎪⎪，B⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭也即AB⎫⎛ABO⎫⎛ABCO⎫⎛ABCAB⎫⎛O⎪⎪⎪⎪，→→→O⎪⎪⎪⎪B⎭⎝OB⎭⎝-BCB⎭⎝B-BC⎭⎝再有定理(3)就得O⎫⎛ABCO⎫⎛AB⎪⎪rank=rank≥rank(AB)+rank(BC).O⎪⎪B⎭⎝⎝B-BC⎭推论3设B1,B2,...,Bt为数域P上的n阶方阵，则r(B1)+r(B2)+...+r(Bt)≤(t-1)n+r(B1B2...Bt).定理4设n阶方阵Q∈Pn⨯n，μ1≠μ2，且(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0，则Q可对角化.7证明：由μ1≠μ2，(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0有矩阵Q的特征值为μ1或μ2，根据引理2，引理3得：r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)=n，从而Q的特征向量(线性无关)共有n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)=n个.由定理1即得矩阵Q可对角化.定理4'设n阶方阵Q∈Pn⨯n,μ1,μ2,...,μt两两互不相等，若(μ1E-Q)(μ2E-Q)⋯(μt-1E-Q)(μtE-Q)=0则Q与对角阵相似.r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n,从而方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q)=tn-(r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q))≥tn-(t-1)n=n.又因为r(Q)≤n，故方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n，由此矩阵Q可对角化.推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)=(t-1)n.定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件.定理5设μ1,μ2,...,μt（互不相同）是Q∈Pn⨯n的的特征值，重数分别为s1,s2,...,st且s1+s2+...+st=n，Q可对角化⇔∏(μE-Q)=0.ii=1t证明：先证明必要性⎛μ1Q与V=⎝μ2⎫⎪⎪⎪相似，则存在非奇异矩阵T满足⎪μT⎪⎭8⎛μ1E1⎫Q=TVT-1=Tμ⎪2E2⎪⎪T-1，⎝μ⎪tEt⎪⎭其中Ei(i=1,2,...t)为si阶单位矩阵，于是(μiE-Q)=T(μiE-V)T-1⎛(μi-μ1)E1⎫=T(μi-μ2)E⎪2⎪-1⎪T，⎪⎝(μi-μt)Et⎪⎭从而有∏tt(μ-1iE-Q)=∏T(μiE-V)Ti=1i=1⎛⎫∏(μi-μ1)E1⎪i=T∏⎪(μi-μ2)E2⎪i⎪T-1.⎪⎝∏(μi-μ⎪t)Eti⎪⎭由于∏(μi-μj)Ej=0(j=1,2,...,t)，因此i∏(μiE-Q)=0.i再证充分性：对于n阶矩阵Q，存在可逆矩阵T，使得⎛J1⎫Q=TJT-1J⎪=T2⎪⎪T-1，⎝J⎪t⎪⎭Ji(i=1,2,...,t)是Jordan块，若Jj=μjEj(j=1,2,...t)，Q就可以对角化，而(μiE-Q)=T(μiE-J)T-1⎛(μi-J1)E1⎫=T(μJ⎪i-2)E2⎪⎪T-1，⎪⎝(μi-Jt)Et⎪⎭9⎛∏(μi-J1)E1i(μE-Q)=T∏ii⎝i∏(μii-J2)E2⎫⎪⎪⎪T-1.⎪⎪(μi-Jt)Et⎪∏⎪i⎭所以，若(μiE-Q)=0，则因T可逆有∏(μiEi-Jj)=0(j=1,2,...,t)，又因为当i≠j时，(μi≠μj)≠0，(μiEj-Jj)可逆，所以(μjEj-Jj)=0，即μjEj=Jj(j=1,2,...,t).引理4X∈Pn⨯n,∂1,∂2„∂m...是X的关于特征值λ的特征向量，我们有∑ki∂ii=1m（ki,i=1,2,...,m不全为0，ki∈P）也是X的关于λ的特征向量.证明：已知X∂i=λ∂i，则kiX∂i=kiλ∂i，也即Xki∂i=λki∂i，因此X∑ki∂i=λ∑ki∂i，i=1i=1mm又ki不全为0，因此∑ki∂i≠0，由特征向量的定义有∑ki∂i是矩阵X的属于特i=1mmi=1征值λ得特征向量.定理6μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n阶矩阵Q的所有特征值，它们的代数重数依次是s1,s2,...,st，则方阵Q与对角矩阵相似⇔r(Aj)=sj(j=1,2,...,t),Aj=∏(μiE-Q).i≠j证明：先证必要性.Q可对角化⇒存在可逆矩阵T使得Q=Tdiag(μ1,μ2,...,μt)T-1，从而Aj=∏(μiE-Q)i≠j⎛∏(μi-μ1)E1i≠j=T⎝∏(μi≠ji-μ2)E2⎫⎪⎪⎪-1⎪T⎪(μi-μt)Et⎪∏⎪i≠j⎭10⎛O1=T⎝∏(μi≠ji-μj)Ej⎫⎪⎪⎪-1⎪T，⎪⎪Ot⎪⎭其中Oj为sj阶0矩阵，Ej为sj阶单位矩阵（(j=1,2,...,t).因T可逆，且μi≠μj，所以有r(Aj)=r(∏(μi-μj)Ej)=r(Ej)=sj(j=1,2,...,t).i≠j再证充分性：用反证法.假设方阵Q不与对角矩阵相似，由几何重数≤代数重数得：至少存在一个整数q，使得r(μqE-Q)>n-sq，于是当j≠q时，由引理3有sj=r(∏(μiE-Q))≥∑r(μiE-Q)-(t-2)ni≠ji≠j>∑(n-sj)-(t-2)ni≠j=(t-1)n-(t-2)n-∑sii≠j=n-(n-sj)=sj.矛盾，假设不成立，故Q与对角矩阵相似.定理7μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n级方阵Q∈Pn⨯n的所有特征根，若对任意m∈Z+满足r(μiE-Q)m=r(μiE-Q),则矩阵Q与对角矩阵相似.证明：设μ1,μ2,...,μt的重数分别为s1,s2,...,st，由Cayley-Hamilton第三版，高等教育出版社)得：定理(高等代数(μ1E-Q)s1(μ2E-Q)s2...(μtE-Q)st=O，再有引理3的推论就有r(μ1E-Q)s1+r(μ2E-Q)s2+...+r(μtE-Q)st≤(t-1)n+r((μ1E-Q)s1...(μtE-Q)st)=(t-1)n.11对任意正整数m，有r(μiE-Q)m=r(μiE-Q)，因此r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n.从而有方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q)=tn-[r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...r(μtE-Q)]≥tn-(t-1)n=n.又r(Q)≤n，从而Q的线性无关的特征向量的个数小于或等于n，因此Q共有n个线性无关的特征向量，再根据定理1就有矩阵Q与对角矩阵相似.接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.定理8n阶方阵Q与对角矩阵相似⇔矩阵Q的最小多项式mQ(μ)无重根.证明：先证必要性.Q和对角阵相似⇒存在非奇异矩阵T∈Pn⨯n，满足⎛μ1Q=TVT-1=T⎝μ2⎫⎪⎪-1T，⎪⎪μn⎪⎭从而有T-1QmT=Vm，令μ1,μ2,...,μt(t≤n)是方阵Q的互不相同的特征值,记f(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)..μ.(-μt)=μt+s1μt-1+...+st-1μ+st.因为T-1f(Q)T=T-1(Qt+s1Qt-1+..+.st-1Q+stE)T=T-1QtT+s1T-1Qt-1T+...+st-1T-1QT+stT-1ET=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE=f(V).又f(V)=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE⎛μ1t=⎝tμ2⎫⎛s1μ1t-1⎪⎪+⎪⎪t⎪μn⎭⎝t-1s1μ2⎫⎛st⎪⎪+...+⎪⎪t-1⎪s1μn⎭⎝st⎫⎪⎪⎪⎪st⎪⎭12⎛μ1t+s1μ1t-1+...+sk=⎝⎛f(μ1)=⎝f(μ2)tt-1μ2+s1μ2+...+sk⎫⎪⎪⎪⎪tt-1μn+s1μn+...+sk⎪⎭⎫⎪⎪⎪=0.⎪f(μn)⎪⎭所以f(Q)=0，于是mQ(μ)f(μ)，然而f(μ)无重根，故mQ(μ)无重根.再证充分性：mQ(μ)的互不相同的根是μ1,μ2,...,μt，由mQ(μ)无重根就有：mQ(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)...(μ-μt-1)(μ-μt)，于是mQ(Q)=(μ1E-Q)(μ2E-Q)...(μtE-Q)=0.令r(μiE-Q)=qi，则μi的特征子空间的维数为n-qi，因此Q总共有(n-q1)+(n-q2)+..+.(n-qt)=s个线性无关的特征向量，且s≤n.又因为q1+q2+...+qt≤(t-1)n，故s=(n-q1)+(n-q2)+...+(n-qt)≥n.从而s=n，也即矩阵Q有n个线性无关的特征向量，由定理1就得Q可以对角化.134某些特殊矩阵的对角化4.1实对称矩阵的对角化问题实对称矩阵这种矩阵很特别，在诸多方面的到运用，如常用来研究对称变换，对线性变换进行分类.而研究对称矩阵的对角化，是进行分类的初步.引理5]每一个n阶复矩阵都存在一个上三角矩阵与其相似，并且上三角矩阵主对角线上的元素为复矩阵的特征值.对任意A∈Cn⨯n，可逆矩阵T，使得*⎫⎛λ1⎪λ2⎪T-1AT=，其中λ1,λ2,...,λn是矩阵A的特征值.⎪⎪λn⎪⎝⎭引理6实对称矩阵的特征值为实数.证明：设λ0实对称矩阵A的一个特征值，则存在非零向量⎛x1⎫⎪x⎪η=2⎪，⎪x⎪⎝n⎭满足Aη=λ0η.令⎛1⎫⎪⎪=2⎪，i称为xi的共轭复数(i=1,2,...n)，则=0.⎪⎪⎝n⎭观察下面式子'(Aη)=A'η=(A)'η=(Aη)'η，上式左边等于λ0'η，右边等于0η，故0'η=λ0'η,又'η=1x1+...+nxn≠0，14故λ0=0，即λ0是一个实数.引理7设M,N为n⨯n实方阵，我们有如下结论：M,N在实数域上相似⇔M,N在复数域C上相似.证明：必要性显然，下面证明充分性.M,N在复数域上相似⇒∃n级可逆复矩阵，使得M=P-1NP.令P=A+iD，A,D∈Rn⨯n，则(A+iD)M=N(A+iD)⇒AM=NA,DM=ND.所以对任意λ属于R都有(A+λD)=N(A+λD)„„(4)记h(x)=A+λD(实数系多项式)，因为h(i)=A+iD=P≠0，所以h(x)≠0.因此，A+λD有有限个实数根，则存在η属于R，使得A+ηD≠0.由(4)式得M=(A+ηD)-1N(A+ηD),也即M,N在实数域上相似.定理9⑴n级实对称矩阵A的特称根全是实数⇔存在正交矩阵T，满足T-1AT=T'AT=D，D是上三角矩阵.⑵A正交且特征值全是实数⇒A是对称矩阵.证明：先证明必要性，根据引理5有，存在可逆矩阵P，使得*⎫⎛λ1⎪λ⎪2P-1AP=⎪.⎪λn⎪⎝⎭再根据引理7，矩阵如果在复数域上相似则一定在实数域上相似，因此可以令P=QT为实矩阵，Q乃正交矩阵，T是上三角矩阵且主对角上元素全是实数，于是就有*⎫⎛λ1⎪λ2⎪Q-1AQ=T(P-1AP)T-1=⎪⎪λn⎪⎝⎭由T是上三角矩阵知他的逆T-1也是上三角矩阵，再由上三角矩阵之积仍然是上三角矩阵知Q-1AQ为上三角矩阵.再证充分性：A为n阶实矩阵，且存在正交矩阵Q使得Q-1AQ=Q'AQ为上三角矩阵，即15*⎫⎛λ1⎪λ⎪2Q-1AQ==Q'AQ，⎪⎪λn⎪⎝⎭由此易知λ1,λ2,...,λn为实数且为A的特征根.⑵由⑴容易得到Q-1AQ=Q'AQ=D为上三角矩阵(Q是正交矩阵)，又正交矩阵的积为正交矩阵，从而D为正交矩阵.因而D'=D-1，但是D-1是上三角矩阵，而D'为下三角矩阵，故D必为对角矩阵.从而A'=(QDQ')'=QD'Q'=QDQ'=A，也即A为对称矩阵.引理8设A是对称变换，V1是A-子空间，则V1的正交补也是A-子空间.定理10对任意n级实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵T，使得T'AT=T-1AT为对角矩阵.证明定义A是与A对应的对称变换，只要证A有一组标准正交基（n个向量组成）.下面用数学归纳法进行证明.当n=1时结论明显成立.假设对n-1结论成立.对n维欧氏向量空间Rn，β1为线性变换A的一个特征向量，对应的特征值是λ1.将β1单位化，并记为α1，再作α1的生成向量空间L(α1)的正交补，记为V1，由引理8有V1是对称变换A的不变子空间，他的维数为n-1，显然A限制在V1上仍然是对称变换A1，根据假设A1有特征向量α2,α3,...,αn做成V1的标准正交基，从而α1,...,αn使Rn的标准正交基，又是A的n个特征向量.根据归纳假设定理得证.例4.1已知⎛011-1⎫⎪10-11⎪A=，1-101⎪⎪-1110⎪⎝⎭求正交矩阵T使得T-1AT为对角矩阵.解：第一步，求矩阵A的特征值.由16-1-11-1μ1-1μE-A=μ-11μ-11-1-1μ0μ-1μ-11-μ2=0μ-10μ-100μ-1μ-11-1-1μ11-1-μ=-(μ-1)3101011=(μ-1)3(μ+3)由此有1（3重），-3为A的特征值.第二步，求特征值1对应的特征向量.将μ=1带入下式⎧⎪μx1-x2-x3+x4=0,⎪⎨-x1+μx2+x3-x4=0,⎪-x1+x2+μx（5）3-x4=0,⎪⎩x1-x2-x3+μx4=0.得基础解系为μ1=(1,1,0,0)，μ2=(1,0,1,0)，μ3=(-1,0,0,1)..将基础解系正交化，得β1=(1,1,0,0)，β12=(,-122,1,0)，β1113=(-3,3,3,1)..再将上式单位化，有17η1=(11,,0,0)，22η2=(η3=(-112,-,,0)，6661113,,,)..上式为属于特征值1（三重）的三个标准正交特征向量.同理可求得特征值-3的标准正交特征向量为η4=(1/2,-1/2,-1/2,1/2).特征向量η1,η2,η3,η4构成R4的一组标准交基，所求正交矩阵',η2',η3',η4')，T=(η1此时⎛1⎫⎪1⎪T-1AT=⎪.1⎪-3⎪⎝⎭4.2幂等矩阵⎛Er定理11幂等矩阵A与对角矩阵O⎝O⎫⎪相似.⎪O⎭证明：根据A2=A有，矩阵A的最小多项式mA(λ)整除λ2-λ.因λ2-λ=0无重根，由引理5就有mA(λ)无重根，再由定理8就得矩阵A可对角化.4.3对合矩阵定理12对合矩阵A可对角化.证明：A2=E⇒mA(λ)λ2-1，易知λ2-1=0无重根，根据引理5得mA(λ)无重根，再根据定理8，A能够对角化.184.4幂幺矩阵引理9λ是矩阵X的任一特征根⇔λ是X的最小多项式的根.证明：用反证法假设λ0是矩阵X的特征根而不是其最小多项式mX(λ)的根，则有(λ-λ0,mX(λ))=1，故存在多项式φ(λ),ϕ(λ)，使得φ(λ)(λ-λ0)+ϕ(λ)mX(λ)=1，将X带入上式有φ(X)(X-λ0E)+ϕ(X)mX(X)=E，即有φ(X)(X-λ0E)=E.所以X-λ0E可逆（即X-λ0E≠0），与λ0是矩阵X的特征根矛盾.故假设不成立，定理得证.定理13幂幺矩阵A与对角矩阵相似.证明：因为Am=E，所以矩阵A的最小多项式mA(λ)整除λm-1（m为正整数），而λm-1无重根，根据引理9就得mA(λ)无重根，再由定理8即得矩阵A与对角矩阵相似.⎛λ1⎫⎪λ2⎪m注意：幂幺矩阵A与对角矩阵相似，其中λ=1(i=1,2,...,n).i⎪⎪λn⎪⎝⎭4.5矩阵的逆、伴随矩阵的对角化定理14A∈Pn⨯n能够对角化⇒A-1,A*可对角化.证明：(I)根据题设条件，存在非奇异矩阵T满足⎛μ1T-1AT=⎝μ2⎫⎪⎪⎪⎪μn⎪⎭由矩阵T可逆就有μi≠0(i=1,2,...,n)，从而19⎛μ1-1T-1A-1T=⎝-1μ2⎫⎪⎪⎪,⎪-1⎪μn⎭从而A-1与对角矩阵相似.(II)由A*=AA-1得⎛A/μ1T-1A*T=AT-1A-1T=⎝⎫⎪⎪⎪⎪A/μ2⎪⎭A/μ2从而A*也与对角矩阵相似.4.6某些正交矩阵的对角化⎛b11b12⎫设A=bb⎪⎪是正交矩阵，根据正交矩阵的性质就有⎝2122⎭22⎧b11+b21=1⎪22，⎨b12+b22=1⎪bb+bb=0⎩11122122从而二阶正交矩阵A有两种形式⎛cosαA=sinα⎝⎛cosα定理15若A=sinα⎝-sinα⎫⎛-cosα⎪或A=sinαcosα⎪⎭⎝sinα⎫⎪.cosα⎪⎭-sinα⎫⎪，则矩阵A与对角矩阵相似.⎪cosα⎭证明：A的特征多项式为cosα-μ-sinα-μA-μE=sinα-μcosα-μ=μ2-2μcosα+1由A-μE=0得矩阵A的特征值为μ1=cosα+cos2α-1,μ2=cosα-cos2α-1.当cos2α-1≠0时，容易得到μ1≠μ2，故正交矩阵A有两个不同的特征值，容易20看出此时正交矩阵A有两个线性无关的特征向量，由定理1即有正交矩阵A可对角化.⎛10⎫⎛-10⎫当cos2α-1=0，即cosα=±1时，A=⎪⎪或⎪⎪，此时正交矩阵A显然⎝01⎭⎝0-1⎭与对角矩阵相似.定理16若A=⎛-coαssinα⎫⎝sinαcoαs⎪⎪⎭，那么A与对角矩阵相似.该定理的证明与定理⑴类似，在此不做赘述.⎛b110⎫定理17正交矩阵A=00b⎪22b23⎪可对角化.⎝0b32b33⎪⎭证明：由A是正交矩阵可得，a11=±1.⎛0⎫当b1011=1时，A=0cosθ-sinθ⎪⎪，⎝0sinθcosθ⎪⎭-λ00λE-A=0cosθ-λ-sinθ=(1-λ)(λ2-2λcosθ+1).0sinθcosθ-λi)当cos2θ-1≠0时，矩阵A有三个不同的特征值，分别为λ1=cosθ-cos2θ-1，λ2=cosθ+cos2θ+1，λ3=1.由定理1可得矩阵A可对角化.ii)当cos2θ-1=0时，θ=2kπ或θ=2kπ+π(k∈Z).⎛100⎫若θ=2kπ，则A=010⎪⎪，显然可对角化.⎝001⎪⎭⎛100⎫若θ=2kπ+π，则A=0-10⎪⎪，显然可对角化.⎝00-1⎪⎭210⎛10⎫⎪当b11=-1时，A=0cosθ-sinθ⎪，⎝0sinθcosθ⎪⎭-1-λ00λE-A=0cosθ-λsinθ=(-1-λ)(λ2-1).0sinθ-cosθ-λ从而A的特征值为λ1=λ2=-1（二重），λ3=1，由定理5或7得A可对角化.定理18若三阶正交矩阵A中只有三个非零元素，那么A与对角矩阵相似.A共有下面6种形式：⎛b1100⎫0⎫⎛b13⎫⎛00⎫⎛00b13⎫⎛0b120b0⎪⎛⎪,b110,0⎪2200b⎪0023⎪0b0⎪b12⎪,00b⎪23⎪,b210⎪,b210⎝00b33⎪⎭⎝0b320⎪⎭22⎝b3100⎪⎭⎝b3100⎪⎭⎝0b320⎪⎭⎝00⎛b1100⎫证明(1)A=0b⎪220⎪显然可以对角化.⎝00b33⎪⎭⎛b1100a11-λ00(2)A=⎫00b⎪23⎪，则A-λE=0-λa23=(a11-λ)(λ2-a23a32).⎝0b320⎪⎭0a32-λ当a23a32=1时，A有特征值1,±i或-1,±i，根据定理1，A可对角化.当a23a32=-1时，A有特征值-1（二重），1，根据定理7，A可对角化.其它形式可模仿(2)进行证明.5矩阵对角化的应用本节主要讨论可对角化矩阵的应用问题，很多时候我们利用对角化后的矩阵会极大简便我们的计算，方便我们理解和处理比较复杂的问题.5.1求方阵的高次幂一般来说，求矩阵的高次幂最简单的方法便是根据矩阵乘法的定义进行傻瓜式的220⎫0⎪⎪b33⎪⎭计算，像这样的计算除非进行编程用计算机进行计算，人工计算会花费大量时间，还很容易出错.但是针对可以对角化的矩阵，我们利用矩阵相似的性质便会大大简化计算过程，而且不易出错，用这种方法进行编程计算也会方便很多.下面先介绍这种方法的原理.⎛λ1⎫⎪λ⎪2定理19若T-1AT=⎪，这里λi(i=1,2,...n)为A的特征值，T非奇⎪λn⎪⎝⎭异，则m⎛λ1T-1AmT=⎝λm2⎫⎪⎪，其中m为正整数.⎪⎪m⎪λn⎭这个定理是矩阵相似应用的特殊情况，一般来讲，若T-1AT=B，那么T-1AmT=Bm.其中m为正整数，B为数域上的任意矩阵.⎛12⎫例2求41⎪⎪.⎝⎭m⎛12⎫解：由λE-41⎪⎪=(λ-1+22)(λ-1-22)得⎝⎭λ1=1-22，λ2=1+22.容易求得他们对应的特征向量分别为⎛-1⎫⎛1⎫⎪⎪，η1=⎪，η2=⎪⎝2⎭⎝2⎭故⎛12⎫⎛-141⎪⎪=⎝⎭⎝21⎫⎛1-220⎫⎛-1⎪⎪⎪22⎭⎝01+22⎪⎭⎝1⎫⎪.2⎪⎭-1从而⎛12⎫⎛-141⎪⎪=2⎝⎭⎝m1⎫⎛1-220⎫⎪⎪⎪2⎭⎝01+22⎪⎭m⎛-12⎝1⎫⎪2⎪⎭23-1⎛-1=2⎝1⎫⎛1-220⎫⎪⎪⎪2⎭⎝01+22⎪⎭m⎛1-21⎝2m2⎫⎪4⎪1⎪⎪22⎭⎛=⎝mm1⎡1-22+1+22⎤⎥⎦⎣2⎢mm2⎡1+22-1-22⎤⎥⎦⎣2⎢(()()())⎫⎪⎪.22⎪mm1⎡⎤1-22+1+22⎪⎥⎢⎦⎭2⎣21-22-4(1+22)(()m)()5.2利用特征值求行列式的值例3已知n级实对称幂等矩阵A的秩为r，求行列式2E-A.解：A为幂等矩阵，即A2=A，从而A的特征值为λ=1或0，再由A是实对称矩阵，所以A与对角矩阵相似，从而⎛ErP-1AP=O⎝这里P可逆，r为A的秩，Er为单位矩阵.故O⎫⎪=B，⎪O⎭2E-A=2PP-1-PBP-1=Er2En-r=2n-r.6总结前面初步介绍了判定某个数域上矩阵是否对角化的一些充分必要条件和充分条件，但是判定条件也不局限于文中所给出的.文中给出了大部分定理的证明，内容较多，需要较广的知识面才能理解；还给出一些特殊矩阵的对角化也只是涉及很少的点，其它方面需要读者根据自己研究的领域进行总结；还给出两点矩阵对角化的具体应用，仍然涉猎较少，只是起一个引导作用.矩阵的对角化定义还能推广以及在群、域等上面的对角化判定也有所不同，希望广大读者倾注时间在这方面的研究.24致谢在论文完成之际，我首先要向我的指导老师刘先平老师和詹建明老师表示最真挚的谢意.这篇论文从选题、查阅资料到截稿，我花了三个多月.在此期间，詹老师和刘老师给我推荐选题以及资料，不厌其烦的解答我所有的疑问，他们严谨治学和蔼可亲的态度将一直影响我.25参考文献[1]刘九兰,张乃一,曲问萍主编.线性代数考研必读.天津:天津大学出版社，2000[2]谢国瑞主编，线性代数及应用.北京:高等教育出版社，1999[3]张学元主编，线性代数能力试题题解.武汉:华中理工大学出版社，2000[4]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2007[5]周明旺，关于矩阵可对角化的一个充要条件[J].通化师范学院学报，2007，(28):10-11[6]杨子胥，高等代数[M].济南:山东科学技术出版社，2001[7]曲春平，矩阵可对角化的充分必要条件[J].辽宁省交通高等专科学校，2003，(5):51-52[8]贺福利，万小刚，许德云.关于矩阵可对角化的几个条件[J].高等函报，2004，17(1):14-16[9]王萼芳，石生明，高等代数[M].北京:高等教育出版社，1988[10]徐刚，于泳波，对合矩阵探讨[J].高师理科学刊，2021，28(1):37-38[13]钱吉林，矩阵及其广义逆[M].武汉:华中师范大学出版社，1988[14]周永佩，Jordan标准型定理的一种证法[J].中国科学技术大学学报，1990，15(4)，1991(12):34-37[15]NerignED.1988.LinearlAgebraandMatrixtheory.Znd.Newyork:JohnWileyandSons,Ine，113-127[16]王廷明，黎伯堂.一类矩阵秩的恒等式的证明[J].山东大学学报，2007，2(1):43-45[17]同济大学应用数学系.线性代数[M]4版.北京:高等教育出版社,2003,126-129[18]贾书伟,何承源，行正交矩阵可对角化的一些性质[J].西南民族大学学报:自然科学版，2021，37(1):71-74[19]向大晶，矩阵可对角化的简单判定[J].数学通报，2003(3):27-29[20]周明旺，关于矩阵可对角化的一个充要条件[J].通化师范学院学报，2007，28(4):2610-11[21]朱靖红,朱永生，矩阵对角化的相关问题[J].辽宁师范大学学报:自然科学版，2005，28(3):383-384[22]卢刚，线性代数[M]4版.北京:高等教育出版社，2004:157-171[23]徐树方，高立，张平文，数值线性代数[M].北京:北京大学出版社，1999，72-90[24]陈景良，陈向晖，特殊矩阵[M].北京:清华大学出版，2001，188-345[25]北京大学数学系与代数教研室前代数小组编王萼芳，石生明修订，高等代数[M].北京:高等教育出版社，2001[26]王心介，高等代数与解析几何[M].北京:科学出版社，2002[27]蒋定华，大学数学词典[M].北京:化学工业出版社，199327独创性声明本人声明所呈交的论文（设计）是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担.学位论文作者签名：日期：年月日学位论文（设计）版权使用授权书本论文（设计）作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅。本人授权湖北民族学院可以将本论文（设计）的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本论文（设计）.保密□，在_____年解密后适用本授权书.本论文属于不保密□。（请在以上方框内打“√”）学位论文作者签名：指导教师签名：日期：年月日日期：年月日2829§7.6可以对角化的矩阵设是数域上维向量空间的一个线性变换。如果存在的一个基，使得关于这个基的矩阵具有对角形式（1） 那么就说，可以对角化。类似地，设是数域上阶矩阵。如果存在上一个阶可逆矩阵，使得具有对角形式（1），那么就说矩阵可以对角化。由7.4看到，维向量空间的一个线性变换可以对角化的充分且必要的条件是，可以分解为个在之下不变的一维子空间的直和。然而一维不变子空间的每一个非零向量都是的属于某一本特值的本征向量，所以上述条件相当于说，在中存在由的本征向量所组成的基。定理令是数域上向量空间的一个线性变换。如果分别是的属于互不相同的本征值的本征向量，那么线性无关。推论设是数域上向量空间的一个线性变换，是的互不相同的本征值。又设是属于本征值的线性无关的本征向量，，那么向量线性无关。推论7.6.3令是数域上向量空间的一个线性变换。如果的特征多项式在内有个单根，那么存在的一个基，使关于这个基的矩阵是对角形式。推论7.6.4令是数域上一个阶矩阵。如果的特征多项式在内有个单根，那么存在一个可逆矩阵，使 定理令是数域上维向量空间的一个线性变换，可以对角化的充分且必要的条件是（i）的特征多项式的根都在内；（ii）对于的特征多项式的每一个根，本征子空间的维数等于的重数。推论7.6.6设是数域上一个阶矩阵。可以对角化的充分必要条件是（i）的特征根都在内；（ii）对于的每一个特征根，秩这里是的重数。可对角化矩阵的应用01数本蔡美丽摘要：对角化矩阵在求高次幂矩阵，已知特征值及特征向量求矩阵，求行列式，判断矩阵相似等方面的应用。正文：把一个矩阵化为对角矩阵，不但可以使矩阵运算简化，而且在理论上和应用上都具有十分重要的意义。（一）求方阵的高次幂。 当n阶矩阵A可对角化时，计算其高次幂有简单方法。事实上，若有=.即有则有，而，故例1：已知，求。解：可求得，所以A的特征值为。对应于有两个线性无关的特征向量。对应于。故A可对角化，则，所以例2：已知，求的值。解：A有三个互异的特征值，所以存在可逆阵P使而故。（二）利用特征值及特征向量求矩阵。例3：设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于，求A。解：因为A为三阶实对称矩阵，故必可对角化。又因是A的二重特征值，故A的与特征值1对应的线性无关的特征向量有两个，设为都与正交。设所求特征向量为，则，即由得。规范化，得。作正交矩阵。则，有，所以，=（三）利用特征值求行列式的值。例4：已知三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，设矩阵，试求：（1）矩阵B的特征值及其相似的对角矩阵。（2）行列式解：（1）因为三阶方阵A有三个相异的特征值1，-1，2，故存在可逆矩阵P，使，则。从而，所以于是B的特征值为-4，-6，-12，与B相似的对角矩阵为。（2）因为相似矩阵有相同的行列式，所以，又，令则。（四）关于相似（或对角）矩阵的证明题。例5：证明：秩等于r的实对称矩阵可以表成r个秩等于1的实对称矩阵之和。证：据题意，设，因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P，使，又于是=以上表明都是秩为1的对称矩阵。故A可表成r个秩为1的实对称矩阵之和。参加文献：北大数学系几何与代数教研代数小组编，高等代数，北京：高等教育出版社1998张禾瑞编，高等代数，北京：高等教育出版社1997李启文，谢季坚编，线性代数理论与解题方法，长沙：湖南大学出版社2001徐仲主编，线性代数典型题分析解集，西安：西北工业大学出版社2001钱志强编，线性代数教与学参考，北京：中国致公出版社2001题目：可对角化矩阵的应用姓名：蔡美丽单位：莆田学院01级数本学号：2001141121§7.6可以对角化的矩阵设是数域上维向量空间的一个线性变换。如果存在的一个基，使得关于这个基的矩阵具有对角形式（1） 那么就说，可以对角化。类似地，设是数域上阶矩阵。如果存在上一个阶可逆矩阵，使得具有对角形式（1），那么就说矩阵可以对角化。由7.4看到，维向量空间的一个线性变换可以对角化的充分且必要的条件是，可以分解为个在之下不变的一维子空间的直和。然而一维不变子空间的每一个非零向量都是的属于某一本特值的本征向量，所以上述条件相当于说，在中存在由的本征向量所组成的基。定理令是数域上向量空间的一个线性变换。如果分别是的属于互不相同的本征值的本征向量，那么线性无关。推论设是数域上向量空间的一个线性变换，是的互不相同的本征值。又设是属于本征值的线性无关的本征向量，，那么向量线性无关。推论7.6.3令是数域上向量空间的一个线性变换。如果的特征多项式在内有个单根，那么存在的一个基，使关于这个基的矩阵是对角形式。推论7.6.4令是数域上一个阶矩阵。如果的特征多项式在内有个单根，那么存在一个可逆矩阵，使 定理令是数域上维向量空间的一个线性变换，可以对角化的充分且必要的条件是（i）的特征多项式的根都在内；（ii）对于的特征多项式的每一个根，本征子空间的维数等于的重数。推论7.6.6设是数域上一个阶矩阵。可以对角化的充分必要条件是（i）的特征根都在内；（ii）对于的每一个特征根，秩这里是的重数。习题6.3设矩阵与矩阵相似．求x,y解因为矩阵与矩阵相似,所以tr=tr,,从而有解得2.设,则下述结论正确的是()，且说明理由．(A)A与B等价，且A与B相似．(B)A与B等价，但A与B不相似．(C)A与B不等价，且A与B不相似．(D)A与B不等价，但A与B相似．解因为秩(A)=1=秩(B),所以A与B等价.又因为trA=4,trB=1,即有,所以A与B不相似.综上可知(B)是正确的,故应选填B.3.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2，求(1)矩阵的特征值；(2)｜｜．解(1)取,则,所以的特征值为.(2)｜｜=.4.设3阶方阵A的行列式｜A｜=-2，A*有一个特征值为6，则必有一个特征值为；A必有一个特征值为；必有一个特征值为；必有一个特征值为；必有一个特征值为.以上各项均要求写出计算过程.解(1)由可得,A*有一个特征值为6,所以必有一个特征值为.(2),所以必有一个特征值为.(3),所以必有一个特征值为.(4)取,则,因有一个特征值为,所以必有一个特征值为.(5)=,所以必有一个特征值为.5.设.(1)计算；(2)求.解(1),所以特征值为2,2,-7.求解方程组,得到属于2的线性无关的特征向量为.求解方程组,得到属于-7的线性无关的特征向量为.线性无关,故能对角化.取则为可逆矩阵,且.求得,从而.(2)取,则的特征值为,所以==.6.设n阶方阵A的n个特征值为1，2，…，n，求｜A+E｜．解方阵A的n个特征值为1，2，…，n,所以A+E的特征值为2,3,……,n,n+1.所以｜A+E｜=.7.已知3阶方阵A的特征值为0，1，2，所对应的特征向量分别为,,求(1)，其中k为任意正整数；(2)；(3)．分析本题与第5题类似,故解法相同,下面仅列出简要解答.解(1)由方阵A的特征值为0，1，2，所对应的特征向量分别为,,,可知,所以=(2)取,方阵A的特征值为0，1，2,所以的特征值为.因此.(3).8*.设矩阵,,A*有一个特征值，属于的特征向量为，求a,b,c和的值．解由题设知,,两边左乘,利用可得:即有.由此可得,