北师大版九年级数学上册 （相似三角形判定定理的证明）图形的相似 教学课件

4.5相似三角形判定定理的证明

学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.会证明相似三角形判定定理；2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.学习目标1.判定两个三角形全等的方法有哪些？2.判定两个三角形相似的方法有哪些？新课引入(1)

SSS；(2)

SAS；(3)

AAS；(4)

ASA；(5)

HL(1)

两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似.

如何对三角形相似的三条定理进行证明？新知学习命题1

两角分别相等的两个三角形相似.命题2

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.命题3

三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.命题1

两角分别相等的两个三角形相似.C′ABCA′B′DE证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).过点D

作AC

的平行线，交BC

于点F，则(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).∴.∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形.∴DE=CF.∴.ABCDEC′A′B′F∴.而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.ABCDEC′A′B′F命题2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A′B′C′中，∠A=∠A′，.求证：△ABC∽△A′B′C′.C′ABCA′B′DE证明：在△ABC

的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，过D

作BC

的平行线，交AC

于点E，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).∴.∵，AD=A′B′，∴∴∴AE=A′C′.而∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.C′ABCA′B′DE命题3三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A′B′C′中，.求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC

的边AB，AC

(或它们的延长线)上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE.∵，AD=A′B′，AE=A′C′，∴C′ABCA′B′DE而∠BAC=∠DAE，∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴.又，AD=A′B′，∴∴∴DE=B′C′.ABCA′B′DEC′∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.1.判断题：(1)所有的等边三角形都相似.()(2)所有的直角三角形都相似.()(3)所有的等腰三角形都相似.()(4)所有的等腰直角三角形都相似.()针对训练√××√2.如图，AD⊥BC

于点D，CE⊥AB

于点E

，且交AD

于点F，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDFBCAEDFBCEDFBAEDFBCAEDFDCFEA3.已知：如图，在四边形ABCD

中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD

的长.解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=.∴.

又∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴.∴AD=.ABCD课堂小结相似三角形判定定理的证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似.定理的运用定理证明定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理3：三边成比例的两个三角形相似.实践与拓展材料阅读：如图，圆O上有四个点A，B，C，D，同一条弧所对的圆周角相等；例如：圆上短弧AD所对的圆周角∠C=圆周角∠B.解决问题：如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P.求证：PA·PB=PC·PD.证明：∵∠CAP

与∠CDB

都是所对的圆周角，∠ACD

与∠ABD

都是所对的圆周角，∴∠CAP=∠CDB，∠ACD=∠ABD.∴△PAC

∽△PDB.∴.即PA·PB=PC·PD.相似三角形判定定理的证明北师大版九年级上册

AC'B'A/

CB相似三角形的判定定理有哪些？(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．课前回顾探究1.两角分别相等的两个三角形相似.ABC求证：△ABC∽△A′B′C′.如图：在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，你能证明吗？可要仔细哟！A'B'C'探究1ABCA'B'C'证明：在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C，DE

(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).F过点D作DF∥AC，交BC于点F，则(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).∴探究1∵DE∥BC，DF∥AC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴△ABC∽△A'B'C'∴△ADE≌△A'B'C'ABCA'B'C'DEF∴四边形DFCE是平行四边形。∴DE=CF∵∠A=∠A’,∠ADE=∠B’，AD=A'B',∴△ABC∽△A'B'C'.探究1∴△ABC∽△A′B′C′.ABCA'B'C'DEF推理形式：在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.角角AA√总结ABCED如图，在△ABC中，

D、E分别是AB、AC延长线上的点，且

DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似．证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠EAD＝∠CAB.（对顶角）∴△ADE∽△ABC.（两组对应角分别相等的两个三角形相似.）学以致用两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似.边角边SAS√求证：△ABC∽△A'B'C'你能证明吗？可要仔细哟！在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，ABCA'B'C'探究2证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,∴△ADE∽△ABCABCA'B'C'DE，AD=A'B'而∠A=∠A'∴△ADE≌△A'B'C'∴△ABC∽△A'B'C'∴AE=A'C'探究2相似三角形的判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.在△ABC和△A'B'C'中,∴△ABC∽△A’B’C’∠A=∠A’,推理形式：ABCA'B'C'总结如图矩形ABCD是由三个正方形ABEG,GEFH,HFCD组成的,找出图中的相似三角形.解:△AEF∽△CEA.ABCDEFGH∵∠AEF=∠CEA=135°.∴△AEF∽△CEA.理由:设小正方形的边长是1,由勾股定理得学以致用你能证明吗？可要仔细哟！ABCA'B'C'三边成比例的两三角形相似.求证：△A´B´C´∽△ABC已知：在△A´B´C´和△ABC中，探究3证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,∴△ADE∽△ABC又∴△ADE≌△A'B'C'同理∴△A'B'C'∽△ABCABCA'B'C'DE探究3探究3：三边成比例的两三角形相似.符号语言：∴△A´B´C´∽△ABC∵在△A´B´C´和△ABC中，边边边SSS√ABCA'B'C'总结如图,D,E,F分别是△ABC三边的中点,求证:△EFD∽△ABCABCDFE证明:∵D是AB的中点,F是AC的中点,同理∴△EFD∽△ABC(三边对应成比例，两三角形相似)学以致用直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.已知：如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高.求证：△ABC∽△CBD∽△ACD你能证明吗？可要仔细哟！探究4证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB

∵∠CDA=∠ACB=90°

∵∠A=∠A

∵△ACD∽△ABC

同理△CBD∽△ABC∴△ACD∽△ABC∽△ACD探究4在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，∴△ABC∽△CBD∽△ACD．直角三角形相似判断：直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.推理形式：总结下列说法中错误是（）A、三角形的一条中位线截这个三角形所得的三角形与原三角形相似；B、等腰梯形被一条对角线分成的两个三角形相似；C、直角三角形斜边上的高把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似；D、等腰直角三角形底边上的中线把这个三角形分成的两个三角形相似．B学以致用如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．求证：△DBF∽△ADF证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴△CBA∽△ABD，∴∠C=∠FAD，又∵E为AC的中点，AD⊥BC，∴ED=AC=EC，∴∠C=∠EDC，又∵∠EDC=∠FDB，∴∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，∴△DBF∽△ADF，学以致用1.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．证明：∵

∴

∴△ABC∽△A′B′C′（三边对应成比例的两个三角形相似）．实例讲解“A”型公共角型公共边角型双垂直型三垂直型“X”型蝴蝶型相似三角形的基本图形方法选择2．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CD，(1)∠ACP满足什么条件时△ACP∽△ABC

(2)AC∶AP满足什么条件时△ACP∽△ABCA

BPC实例讲解分析：这是一道探索性题目(1)要使△ACP∽△ABC的条件已有了∠A＝∠A，找∠ACP满足的条件，只能根据判断定理1，即∠ACP＝∠BA

BPC(2)要使△ACP∽△ABC，已有∠A＝A，找出AC∶AP满足什么条件，只能根据判定定理2，即实例讲解解：(1)∵∠A＝∠A

(2)∵∠A＝∠A△ACP∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）

∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC∴当

时，A

BPC实例讲解1、如图，点E，F分别在矩形ABCD的边DC，BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠DAE=72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（）A.只有甲与乙B.只有乙与丙C.只有甲与丙D.甲与乙与丙C达标测评解：∵∠AFB=72°，∴∠BAF=18°，∴∠EAF=90°-∠BAF-∠DAE=36°，∴∠DAE=∠EAF=∠CEF，∵∠ADE=∠AEF=∠ECF，∴△DAE∽△EAF∽△CEF，即甲与乙与丙均相似，故选D．达标测评2、已知：如图