奥林匹克物理竞赛电磁学-交流电和电磁波课件

奥林匹克物理竞赛电磁学

第六讲：交流电奥林匹克物理竞赛电磁学

第六讲：交流电1、交流电路

一、交流电概述电磁波以c=3

108m/s的速度传播，在一个周期内，传播的距离为l，当l与的电路的尺寸相当时，电路中的电流和电荷分布发生变化就不能及时地影响到整个电路，因而电路中不同部分电磁场以及电流、电荷的变化将按距离的远近落后不同的位相。1、交流电路一、交流电概述电磁波以c=3108m/s的速

一般电子仪器：100~102cm

似稳条件：f<106~108Hz（而市电f=50Hz）

若交流电路中的场点与源点的距离l远小于l，或电源的频率f比较低时，即满足所谓的似稳条件：或在这种条件下，电流、电荷和磁场的分布与同一时刻电流、电荷分布的关系和稳恒电路一样，只不过它们一起同步缓慢地变化。一般电子仪器：100~102cm若交流电对微波，f=1010Hz，l只能几毫米，宏观电路的似稳条件完全被破坏。（1）微波波长短，随物体（飞机、火箭）将发生衍射与几何光学接近，但是在空间仍沿直线传播，遇到障碍物就反射，具有极高的方向性，可接受由地面和空中发来的微弱信号。（2）周期短，因而普通的电子管不适用，需要采用微波电子管。（3）微波传输元件与一般的无线电元件完全不同。（4）需要采用新的分析方法。微波通讯网络对微波，f=1010Hz，l只能几毫米，宏观电路的似稳条件完奥林匹克物理竞赛电磁学-交流电和电磁波课件交流电的变化周期远大于电磁场变化传遍整个电路所需时间，因而每一时刻电磁场的分布与同一时刻电流电荷的分布关系和稳恒电流一样，只不过它们同步地做缓慢的变化。

交流电的变化周期远大于电磁场变化传遍整个电路所需时间，因而每市

电矩形脉冲电流心电图锯齿扫描电流激光通讯市电矩形脉冲电流心电图锯齿扫描电流激光通讯简谐交流电：以时间按正弦或余弦规律变化的交流电。

任何交流电都可以分解成一系列不同频率的简谐交流电（傅立叶分解）。

简谐交流电：以时间按正弦或余弦规律变化的交流电。任何交流电不同频率的简谐成分在线性电路中彼此独立，互不干扰，可以分别单独处理。简谐交流电可以迭加，而且积分和微分后仍然是简谐交流电。不同频率的简谐成分在线性电路中彼此独立，互不干扰，可以分别单二、简谐交流电的表述和特征量1.交流电采用余弦的形式：峰值与有效值：实际上都采用有效值：一个周期内在纯电阻元件中产生的焦耳热：为极大值或峰值。二、简谐交流电的表述和特征量1.交流电采用余弦的形式：峰（wt+j）反映每一时刻的大小和变化趋势。其中j为初位相（t=0时的位相）频率：方均根值市电220V，即有效值为220V，峰制值为311V。圆频率ω，由电源决定。位相：（wt+j）反映每一时刻的大小和变化趋势。其中j为初位相（t位相差

由初位相决定

不仅不同交流电之间存在位相差，同一交流电的不同参数之间通常也有位相差.交流电不同参数位相差的存在表示各参量的变化不同步，交流电的复杂性就是由此而来.直流电是交流电的特例

2.讨论位相差不仅不同交流电之间存在位相差，同一交流电的不同参数之直流电路只有一种基本元件：电阻。电感相当于一导线，电容相当于断路。交流电路中电感随电流的变化不断产生交变的自感电动势，电容则出现大小和方向不断变化的充放电电流，从而电感和电容的存在改变了电路中电流和电压的分配。三、交流电路中的元件直流电路只有一种基本元件：电阻。电感相当于一导线，电容相当于交流电路中的元件的特性有两个方面

1.阻抗

由于电压、电流有位相差，所以它们的瞬时值一般不满足简单的比例关系。定义

相位差

为元件上电压与电流的位相差.交流电路中的元件的特性必须用两个参数描述：

阻抗Z

和

位相差φ

假设：各种元件都是“纯”的.交流电路中的元件的特性有两个方面1.阻抗由于电压、电流有2.交流电路中的电阻元件电阻不同截面的电流近似相同。变化电流产生的感应电场可以忽略。电阻两端的电荷随时间变化缓慢，其产生的电场为似稳场，不存在涡旋电场。静电场涡旋电场2.交流电路中的电阻元件电阻不同截面的电流近似相同。静电阻抗即电阻，与频率无关;位相差为0，电压与电流始终同步；电流和电压关系仍满足欧姆定律。阻抗即电阻，与频率无关;3.交流电路中的电容元件所以有

阻抗（容抗）和相位差为

3.交流电路中的电容元件所以有阻抗（容抗）和相位差为容抗与频率成反比：频率越高，容抗越小;

特别地：

通高频，阻低频高频短路，直流开路

电压的位相落后于电流π/2

电荷要先积累（充电）后释放（放电）

容抗与频率成反比：特别地：通高频，阻低频电压的位相落后于电感上产生自感电动势

若将电感视为交流电源，则根据一段含源电路的欧姆定律，当R=0时，电感两端的电压

4.交流电路中的电感元件

设电感上产生自感电动势若将电感视为交流电源，则根据一段含源电感抗与频率成正比：频率越高，感抗越大

特别：

通低频，阻高频

电压的位相超前于电流π/2

电流要先产生自感电动势（充电）后释放（放电）

感抗与频率成正比：特别：通低频，阻高频电压的位相超前于交流电路中“纯”元件的比较

元件

阻抗

位相差

电容C

容抗

电阻R

电阻

0电感L

感抗

交流电路中“纯”元件的比较元件阻抗位相差电容C容抗5.交流电路中的实际元件实际每个元件均有三个成份,即均有电阻、电感和电容的特性。一个线绕电阻，各匝之间有一定的电容分布，绕线又是一个电感。相当于R和ZL串联ZL>>R纯电感ZL>>ZC纯电容5.交流电路中的实际元件实际每个元件均有四、交流电路的分析方法1.三角函数法四、交流电路的分析方法1.三角函数法奥林匹克物理竞赛电磁学-交流电和电磁波课件即两个同频简谐量合成后为频率相同的简谐量。

此结论可推广至两个以上的简谐量的合成

即两个同频简谐量合成后为频率相同的简谐量。此结论可推广至两可以用旋转的矢量来表示交流电

2.矢量图法可以用旋转的矢量来表示交流电2.矢量图法三个元件的电压电流矢量图

纯电阻元件设则若三个元件的电压电流矢量图纯电阻元件设则若纯电感元件纯电感元件纯电容元件纯电容元件串联电路中通过各元件的电流一样，总电压为各元件两端的分电压之和；

串联电路

RC串联以i（t）为基准，Im与Um同位相，Uc落后Im

p/2串联电路中通过各元件的电流一样，总电压为各元奥林匹克物理竞赛电磁学-交流电和电磁波课件RL串联RL串联RCL串联RCL串联奥林匹克物理竞赛电磁学-交流电和电磁波课件若电路出现纯电阻性。此时，Z最小，亦即im最大。称为共振。固有频率若电路出现纯电阻性。此时，Z最小，亦即im最大。称为共振。固共振的特点：阻抗最小，电流最大；共振时，电感或电容两端的电压最大，且等于电源电动势的Q倍；共振的特点：阻抗最小，电流最大；电压放大，共振时一个弱信号输入，在L和C两端得到一个放大的输出信号；选择共振，改变L或C，改变f，选台。Q-值的作用：表征电感和电容上的电压放大倍数；电路中储存的能量和每个周期内消耗的能量之比的2p倍。电压放大，共振时一个弱信号输入，在L和C两端得到一个放大的输储存的能量为：储存的能量为：Q越大，选择性越好。可以证明：Q越大，选择性越好。可以证明：并联电路

RC并联以u（t）为基准，Um与Im同位相，Ic超前Um

p/2并联电路RC并联以u（t）为基准，Um与Im同位相，Ic超或：或：RL并联RL并联RCL并联RCL并联电流共振阻抗最大，且为纯电阻电路。L或C支路上的电流是总电流的Q倍？电流共振阻抗最大，且为纯电阻电路。L或C支路上的电流是总电流[例]如图，已知ZL=ZR=R，试用矢量图解法求下列各量的相位差：

(1)UC与IR;(2)IC与IR;(3)UL与UR;(4)U与I。

[解]先并联，后串联

（1）以并联部分电压UC为基准。IR与UC同位相；IC超前UC相位

π/2。IR=IC

则UC与IR的位相差为0，IC与IR的位相差为

π/2[例]如图，已知ZL=ZR=R，试用矢量图解法求下列各量的相(2)在图上叠加上串联部分的矢量图

UL超前I位相π/2，则UL与IC夹角

π/4。方向在垂直方向

则UL与UR的位相差为3π/4.

U与I的位相差为

π/4。(2)在图上叠加上串联部分的矢量图方向在垂直方向则UL[讨论]1.既有串联又有并联的“混联”电路，既可先并联后串联，也可先串联后并联；2.作图应该尽量按比例；3.串联和并联的图应该尽量画在一张图上.

[讨论]复数运算

3.交流电路的复数解法复数运算3.交流电路的复数解法特别地：特别地：复电压、复电流和复阻抗

阻抗复阻抗本身已经完全包含了电路两方面的基本性质：位相差复电压、复电流和复阻抗阻抗复阻抗本身已经完全包含了电路两方各种纯元件的复阻抗

交流电路的欧姆定律

1.电阻：2.电容：3.电感：各种纯元件的复阻抗交流电路的欧姆定律1.电阻：2.电容串联电路

串、并联电路的复数解法

并联电路

串联电路串、并联电路的复数解法并联电路交流电路的基尔霍夫定律

在似稳条件下，在任一瞬间，对于交流电路有以下两条定律成立。(1)对于任意节点，流入和流出节点的电流相等。(2)环绕任一闭合回路各元件电压降之和等于回路电动势之和。交流电路的基尔霍夫定律在似稳条件下，在任一瞬间，对于交流电[例]求解RC串联和并联电路阻抗。[解]RC串联[例]求解RC串联和并联电路阻抗。[解]RC串联RC并联RC并联[例]求RLC并联的复阻抗。[解][例]求RLC并联的复阻抗。[解][例]求电压之比[例]求电压之比奥林匹克物理竞赛电磁学-交流电和电磁波课件[例]如图是为消除分布电容的影响而设计的一种脉冲分压器。当C1、C2、R1、R2满足一定条件时，此分压器就能和直流电路一样，使输入电压U与输出电压U2之比等于电阻之比而与频率无关。试求电阻和电容应满足的条件。

[例]如图是为消除分布电容的影响而设计的一种脉冲分压器。当C[解]

设Z1上的电压为U1，因串联电路的电压与阻抗成正比分配

故而电路要求

即两式比较则得设计要求为

[解]设Z1上的电压为U1，因串联电路的电压与阻抗成正比分再用复数法求得

则要求

解得

再用复数法求得则要求解得[例]求解RCL混联电路总阻抗.[解]等效阻抗为：[例]求解RCL混联电路总阻抗.[解]等效阻抗为：奥林匹克物理竞赛电磁学-交流电和电磁波课件电路阻抗达到最大值。并联共振的特点：（1）回路总阻抗达到最大值；（2）回路电流达到最小值；（3）电路呈现纯电阻性；（4）分支电流达到最大值，为总电流的Q倍。电路阻抗达到最大值。并联共振的特点：五、交流电功率和功率因数

1.瞬时功率

因i(t)和u(t)之间存在位相差，故P可正可负。P>0表示从电源得到功率,P<0表示元件中储存的能量回到电源中去.实际有意义的是平均功率.五、交流电功率和功率因数1.瞬时功率因i(t)和u(t)2.平均功率

2.平均功率纯电阻纯电阻纯电感纯电感纯电容纯电容

3.功率因数

cosj称功率因数吸收功率大于放出功率3.功率因数cosj称功率因数吸收功率大于放出功率4.视在功率与无功功率视在功率4.视在功率与无功功率视在功率功率因数越大，有功分量越大;

有功电流供电器使用和消耗;

无功电流在输电线路中来回循环.功率因数越大，有功分量越大;有功电流供电器使用和消耗;无5.提高功率因数的意义在保持有功电流的情况下,减少无功电流,从而使输出线路的损失减少.充分发挥电力设备的潜力,因为电力设备工作时,其电压与电流都有额定值,电压和电流超过额定值将给线路安全带来隐患.如同一台发电机5.提高功率因数的意义在保持有功电流的情况下,减少无功电流6.提高功率因数的方法

当用电器是电感性网络时(通常都是如此),用一个适当的电容与之并联,就可以提高功率因数,即并联后新网络比原网络有较大的功率因数.6.提高功率因数的方法当用电器是电感性网络时(一般220V电力线路受负载的影响很小,即并联电容后,不改变电源电压;并联纯电容,不吸收功率,实际上电容上能量损失亦很小,故电源的输出功率不会显著增加;i’<i,即总电流小于支路电流,线路损耗减少.一般220V电力线路受负载的影响很小,即并联电容后,不改[例]发电机的额定电压为220伏,视在功率为22千伏安，

(1)它能供多少盏功率因数0.5、平均功率40瓦的日光灯正常发光？(2)如果将日光灯的功率因数提高到0.8，能供多少盏灯？

(3)如果保持日光灯数目不变而将功率因数继续提高到1，则输电线路中的总电流降为多少？[解]忽略交流电在输电线及发电机中的功率消耗，则发电机提供的有功功率应等于日光灯消耗的平均功率，即[例]发电机的额定电压为220伏,视在功率为22千伏安，保持N2不变，其消耗的功率不变。因发电机输出的电压不变，可见功率因数提高时，输电线路的总电流下降.

保持N2不变，其消耗的功率不变。因发电机输出的电压不变，可见7.有功电阻和电抗

有功电阻

电抗

则

无功功率

有功功率

视在功率

一般而言：

电抗x<0称容抗，电路为电容性电路；

电抗x>0称感抗，电路为电感性电路。

7.有功电阻和电抗有功电阻电抗则无功功率有[讨论]有功电阻与欧姆电阻的差别

有功电阻不一定来自线路中欧姆电阻；

电容和电感中的介质损耗反映到电路中也相当于等效的有功电阻；电动机的转子在定子中产生反电动势，也相当于有功电阻；

有功电阻反映的是某种功率消耗。消耗的原因和能量的去向除了焦耳热之外，还有很多。[讨论]有功电阻与欧姆电阻的差别有功电阻不一定来自线路8.频率的选择性谐振峰越尖锐的电路，其频率选择性越强通频带宽度

串联谐振电路的阻抗为

假定频率

8.频率的选择性谐振峰越尖锐的电路，其频率选择性越强通频带宽奥林匹克物理竞赛电磁学-交流电和电磁波课件当

时，

故通频带边界的频率f1和f2与谐振频率f0之差:通频带宽度

谐振电路的通频带宽度Df反比于谐振电路的Q值，Q值越大即损耗越小谐振电路的频率选择性越强.当时，故通频带边界的频率f1和f2与谐振频率f0之差:通9.电压放大和电流放大

谐振时总阻抗Z=R

，故总电压U和电阻两端的电压降UR相等,Uc,UL=?因为是串联电路，故电压之比为阻抗之比

谐振电路中电容或电感元件上的电压比总电压大Q倍

9.电压放大和电流放大谐振时总阻抗Z=R，故总电压U和电六、交流电桥

平衡条件为：1.交流电桥六、交流电桥平衡条件为：1.交流电桥

（1）当选Z2和Z4为纯电阻时，则Z1和Z3必须同为电感性或电容性。

（2）当选Z2和Z3为纯电阻时，则Z1和Z4必须一个为电感性，而另一个为电容性。（1）当选Z2和Z4为纯电阻时，则Z1和Z3必须同为电感2.电容桥测量电容或损耗第一臂是被测对象，代入电桥平衡公式：2.电容桥测量电容或损耗第一臂是被测对象，代入电桥平衡公式：奥林匹克物理竞赛电磁学-交流电和电磁波课件3.电感桥电桥平衡时，有可得被测电感元件无损耗的标准电容器和标准电阻测量电感的电桥电路GR3R0RxR2IG~C0Lx3.电感桥电桥平衡时，有可得被测电感元件无损耗的标准电容4.频率桥第一臂是串联谐振，调到谐振状态，则呈电阻性，即四臂都呈电阻性。第二个条件可将C1短路后用直流电源调节。第一条件可通过调节C1或L1来达到。最后确定交流电的频率：4.频率桥第一臂是串联谐振，调到谐振状态，则呈电阻性，即四臂[解]先求该电路的总阻抗Z[练1]求如图所示电路的谐振频率。[解]先求该电路的总阻抗Z[练1]求如图所示电路的谐振频率。[综3]对于一个给定的交流电源来说，它的电动势和内阻都是一定的，设它的内阻为：试证明：当负载的阻抗（共轭复数）时，电源送到负载上的功率为最大。[综3]对于一个给定的交流电源来说，它的电动势和内阻都是一定[解]设电源的电动势为e，负载电阻为：则负载所消耗的功率为：[解]设电源的电动势为e，负载电阻为：则负载所消耗的功率为：由：确定P的极值。由：确定P的极值。由上面的结果有：由两阶导数判断极值的性质：由上面的结果有：由两阶导数判断极值的性质：故知这时P是极大值。其值为：负载的阻抗等于电源的阻抗的共轭复数时，称为匹配。故知这时P是极大值。其值为：负载的阻抗等于电源的阻抗的共轭复其中：只要这个式子中的虚部为零，则总阻抗的虚部亦为零。故所求的谐振频率为：其中：只要这个式子中的虚部为零，则总阻抗的虚部亦为零。故所求七、位移电流1.空间全电流位移电流密度七、位移电流1.空间全电流位移电流密度【例】一无限长直螺线管，横截面的半径为R，单位长度的匝数为n，当导线中载有交流电流试求管内外的位移电流密度。【解】管内感应电场强度为：故位移电流密度为：【例】一无限长直螺线管，横截面的半径为R，单位长度的匝数为n管外感应电场强度为：故位移电流密度为：管外感应电场强度为：故位移电流密度为：【例】研究平行板电容器在充放电过程中，磁场与传导电流、位移电流的关系。【解】平板半径为a，极板间距为d《a，极板上电量为q，则：【例】研究平行板电容器在充放电过程中，磁场与传导电流、位移电位移电流密度为：位移电流：磁感应强度为：磁场分4个区域。位移电流密度为：位移电流：磁感应强度为：磁场分4个区域。区域3和4，ID=0区域2，IC=0区域1，IC=0实际上，区域1和2的磁场也是传导电流IC产生的，只不过这样计算比较方便！区域3和4，ID=0区域2，IC=0区域1，IC=0实际上，奥林匹克物理竞赛电磁学-交流电和电磁波课件2.似稳条件下位移电流不激发磁场在传导电流不连续的情况下，安培环路定律为在似稳条件下，毕奥-萨伐尔定律仍然成立，即无需加上传导电流项，即使加上，其积分的贡献也为零。2.似稳条件下位移电流不激发磁场在传导电流不连续的情况下，【例】细直导线中间被截去一段长度为l的小段。导线中通有低频交流电I(t),如图，取一圆形环路，没有传导电流流过该环路，现计算位移电流。导线的两个端点的电量为+q和-q，产生的电场为通过环路L的电位移通量为：【例】细直导线中间被截去一段长度为l的小段。导线中通有低频交通过环路L的位移电流为由安培环路定律，磁场为通过环路L的位移电流为由安培环路定律，磁场为现在计算传导电流在这里产生的磁场无限长导线产生的磁场为被截去一段导线激发的磁场为两者之差为：传导电流激发的磁场就是总磁场！位移电流没有贡献！现在计算传导电流在这里产生的磁场无限长导线产生的磁场为被截去【例】一球形电容器，内外半径分别为a和b，两球间充满均匀各向同性的电介质，其电导比率为s，若在t=0时刻，内球壳所带的电量为q0，求电容器内部电场和磁场随时间的变化。【解】由于漏电，内球壳的电荷随时间减少，在t时刻：或：【例】一球形电容器，内外半径分别为a和b，两球间充满均匀各向解这微分方程，得：由条件：得：于是在离球心为r处的传导电流为：由欧姆定理确定电场强度：解这微分方程，得：由条件：得：于是在离球心为r处的传导电流为

根据球对称性和磁感应线的闭合性，电容器内的磁感应强度只能处处为零。

对任意的环路C，不仅圈围了传导电流，而且圈围了位移电流，其位移电流为：由于：所以：根据球对称性和磁感应线的闭合性，电容器内的磁另一方面，由高斯定理：于是有：即：电容器内部任一点的全电流密度为零。另一方面，由高斯定理：于是有：即：电容器内部任一点的全电流密[例题]一球形电容器，内外半径分别为a和b，两球间充满均匀各向同性的电介质，其电导比率为s，若在t=0时刻，内球壳所带的电量为q0，求电容器内部电场和磁场随时间的变化。[解]由于漏电，内球壳的电荷随时间减少，在t时刻：或：[例题]一球形电容器，内外半径