北师大版九年级数学下册 （利用三角函数测高）直角三角形的边角关系教育课件

1.6

利用三角函数测高

北师大版

九年级

下册

教学目标1、掌握坡度、坡比的概念，并灵活运用坡度、坡比的概念求出物体的高度；2、能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程；3、能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．教学重点:利用已测量的数据综合运用直角三角形边角关系解决实际问题教学难点：能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方案?问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接

到达的物体的高度呢？今天让我们一起去探究学习如何利用三角函数测高，学完本节内容相信大家就能轻松解决上面的问题了．0303060609090PQ度盘铅锤支杆问题2：如何测量倾斜角？测量倾斜角可以用测倾器，

----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成.问题1：如何测量长度？测量长度可以用皮尺或卷尺，活动一：测量倾斜角30°0°60°90°90°60°30°30°0°60°90°90°60°30°水平线使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅锤线和度盘的00刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置.2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅锤线所指的度数.M活动一：测量倾斜角根据刚才测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由.123430°0°60°90°90°60°30°水平线M同角的余角相等新知讲解

合作学习活动二:测量底部可以到达的物体的高度.所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．图1-16α如图1-16，要测量物体MN的高度,可按下列步骤进行:1．在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α.图1-16α2．量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l.3．量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离).根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.MN=ME+EN=l·tanα+aα图1-16提炼概念

ACMNEα1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；

2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；3.量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=l·tanα+a典例精讲

例1、如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m).CABED30°M解如图，作EM垂直CD于M点,∠DEM=30°,根据题意，可知CM=BE=1.4mBC=EM=30m,在Rt△DEM中，DM=EMtan30°≈30×0.577=17.32(m)，CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).∴学校主楼的高度约为18.72m.总结：与仰角(或俯角)有关的计算问题的解决方法：首先弄清哪个角是仰角(或俯角)，再选择或构造恰当的直角三角形，将仰角或俯角置于这个三角形中，选择正确的三角函数，并借助计算器求出要求的量． 活动三:测量底部不可以到达的物体的高度．所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．如图1-17，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行:图1-171．在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α.2．在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得)，测得此时M的仰角∠MDE=β.图1-17αβ(1)测倾器的使用(2)误差的解决办法---用平均值(3)到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？

ACMENACMENDB3．量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A，B之间的距离AB=b.根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.αβba(1)到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法?议一议一、测量底部可以到达的物体的高度，如图ACMEN二、测量底部不可以直接到达的物体的高度，如图ACMENDB(2）如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离?NMAα归纳概念

总结：从同一点看不同的位置，有两个视角，不同位置之间有距离，作垂线将两个视角都放在直角三角形中，利用不同位置之间的距离列方程来解决问题．课堂练习

C2.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(

)A.

B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米C3．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为_____m．（结果保留根号）

4．如图，小丽的房间内有一张长200m，高50cm的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿与EF墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度(BC的长)至少为多少？(精确到个位)(参考数据：cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin46°≈0.72)【分析】连接AF,作FH⊥AD构造直角三角形运用三角函数解出FH,再将床高加上即可求出EC的值．【详解】当A、F在一条直线时,就正好不会吹到床上,连接AF,过点F作FH⊥AD,∵AD=200,HD=20,∴AH=180,∵∠EFA=136°,∴∠FAD=46°,∴FH=AH·tan46°=180×1.04=187.2∴ED=FH=187.2,∴EC=187.2+50=237.2≈237．故答案为237．5.如图，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在N处看塔顶，仰角为60°.乙：我站在M处看塔顶，仰角为30°.甲：我们的身高都是1.5m.乙：我们和塔在一条直线上，且我们相距20m.请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．(结果精确到1m)．

由题意知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝20m，AM＝BN＝DP＝1.5m．在△ABC中，∠CBD＝∠ACB＋∠CAB，∴∠ACB＝60°－30°＝30°.∴∠ACB＝∠CAB.∴BC＝AB＝20m．在Rt△CBD中，BC＝20m，∠CBD＝60°，sin∠CBD＝∴CD＝BC·sin∠CBD＝20sin60°＝20×

(m)．∴CP＝CD＋DP＝10＋1.5≈19(m)．答：白塔的高度约为19m.解：

课堂总结利用三角函数测高测倾器的认识及使用测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角）测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角）利用解三角形的知识，求出物体的高度北师大版九年级下册利用三角函数测高

bABCa┌c1.直角三角形的边角关系：

（1）直角三角形的三边之间有什么关系？（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？

（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？

a2+b2=c2(勾股定理)∠A+∠B=90°.

回顾知识铅直线水平线视线视线仰角俯角从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2.仰角、俯角：回顾知识某探险者某天到达如图所示的点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.

他能想出一个可行的办法吗？．．AB怎么解答新课讲解活动课题：利用直角三角形的边角关系测量物体的高度．活动方式：分组活动、全班交流研讨．活动工具：测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具．新课讲解测量倾斜角一0303060609090PQ度盘铅锤支杆问题1：如何测量倾斜角？测量倾斜角可以用测倾器.简单的侧倾器组成：度盘、铅锤和支杆.新课讲解测量倾斜角一问题2：如何使用测倾器？步骤1：把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.0303060609090PQ水平线新课讲解测量倾斜角一问题2：如何使用测倾器？步骤2：转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.0303060609090M30°新课讲解测量底部可以到达的物体的高度一

所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．新课讲解如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？CAENMaLα步骤如下:1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α.2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=L.3.量出测倾器的高度AC=a测量底部可以到达的物体的高度一在RT△MCE中，ME=EC·tanα=AN·tanα=L·tanαMN=ME+EN=ME+AC=L·tanα+a根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由.新课讲解测量物体MN的高度的步骤：（1）在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；（2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；（3）量出测倾器的高度AC=a.（4）MN=ME+EN=l·tanα+a；测量底部可以到达的物体的高度一ACMNEαal新课讲解解：如图，作EM垂直CD于M点。根据题意，可知：EB=1.4m∠DEM=30°,BC=EM=30m,CM=BE=1.4m在Rt△DEM中，DM=EM·tan30°≈30×0.577=17.32(m)，CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m).

【例1】如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m，求学校主楼的高度(精确到0.01m).M新课讲解测量底部不可以到达的物体的高度一

所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．新课讲解如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？步骤如下:1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α

.2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角∠MDE=β.3.量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b．测量底部不可以到达的物体的高度一根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由.abαECADBβNM新课讲解

测量底部不可以到达的物体的高度一abαECADBβNM新课讲解课题在平面上测量地王大厦的高AB测量示意图测得数据(测倾器高度为1m)测量项目∠α∠βCD的长第一次30°16'45°35'60.11m第二次29°44'44°25’'59.89m平均值【例2】下表是小亮所填实习报告的部分内容，请根据数据求大楼的高.CEDFAGBαβ30°45°60m新课讲解

新课讲解利用三角函数测高测倾器的认识及使用测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角）测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角）利用解三角形的知识，求出物体的高度新课讲解 1.如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB=

米； 2.如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，测得BC=10米，CD=4米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为

米.80

课堂练习

D课堂练习 4.如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD.（结果精确到1m.）

课堂练习

5.如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.