北师大版九年级数学下册 （二次函数的图象与性质）二次函数教育教学课件(第1课时)

第二章二次函数2.2二次函数的图象与性质第1课时

学习目标1．知道二次函数的图象是一条抛物线.2．会画二次函数y=x2与y=-x2的图象.（难点）3．掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质，并会灵活应用.（重点）1、一次函数y=kx+b(k≠0)

xyob<0b>0b=0xyob<0b>0b=0导入新课复习引入你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？2、反比例函数

0xy导入新课2.通常怎样画一个函数的图象？列表、描点、连线3.那么二次函数y=x2的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？导入新课讲授新课二次函数y=x2和y=-x2的图象和性质一x…-3-2-10123…y=x2…

…

你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?9410194合作探究1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：24-2-40369xy函数图象画法列表描点连线2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y=x2

的图象．讲授新课观察思考24-2-4O369xyx…-3-2-10123…y=x2…9

4

1

0

1

4

9

…

问题1

你能描述图象的形状吗？二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.讲授新课当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.24-2-4O369xy问题2

图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？有，(0,0).问题3

当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？问题4

当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？x=0时，ymin=0.讲授新课－33o369xy对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,它是图象的最低点，为(0,0).问题5

图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.讲授新课练一练：画出函数y=－x2的图象，并仿照y=x2的性质说出y=－x2有哪些性质？y24-2-40-3-6-9xx…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

合作探究讲授新课y＝x2y＝－x2图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减要点归纳yOxyOx讲授新课

例1

若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________.典例精析y2＞y1

例1变式若点A(-1,y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________.y1＞y2讲授新课例2：已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解：由题意得解得所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝·CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.讲授新课当堂练习

1.两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A.顶点坐标均为(0,0)B.对称轴均为x=0

C．开口都向上D.都有(0,0)处取最值C2．二次函数y=-x2的图象，在y轴的右边，y随x的增大而________．减小3．若点A(2,m)在抛物线y=x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是

．(-2，4)当堂练习aS-1-2-3O1233216549874．设正方形的边长为a，面积为S，试作出S随a的变化而变化的图象．解：S=a2(a>0)列表：a0123…S…0149描点并连线．S=a2当堂练习

5.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．解：∵二次函数y=x2，∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，∵当x≥m时，y最小值=0，∴m≤0．当堂练习6.已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则a=_____.解析：由题意可知解得a=3或a=-3.

又∵当x＞0时，y随x的增大而减小，

∴a=3.3当堂练习7.已知点(－3，y1)，(1，y2)，(，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是________．解析：方法一：把x＝－3，，1，分别代入y＝x2中，得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>y3>y2；方法二：如图，作出函数y＝x2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；y1>y3>y2当堂练习方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)．又∵3>>1，∴y1>y3>y2.当堂练习课堂小结二次函数y=x2和y=－x2图象与性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向对称轴顶点坐标增减性第二章二次函数2.2二次函数的图象与性质第2课时

学习目标1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点）2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.（重点）3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.导入新课情境引入门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出二次函数y=x2的性质吗？如果二次函数y=ax2的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目以待吧！二次函数y=ax2的图象与性质一讲授新课合作探究画出函数的图象.列表.x···－1.5－1－0.500.511.5···y······4.520.504.520.5描点，连线.xyO

－222464－48讲授新课观察思考问题1

二次函数y=2x2的图象是什么形状？二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.问题2

图象的对称轴是什么？y轴就是它的对称轴.xyO

－222464－48讲授新课问题3

图象的顶点坐标是什么？原点(0,0).问题4

当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？x=0时，ymin=0.xyO

－222464－48当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.问题5

当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？讲授新课3.函数y=x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

;顶点是抛物线的最____点.2.函数y=－3x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是_____

顶点是抛物线的最____点1.函数y=4x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

;向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)4.函数y=－0.2x2的图象的开口

,对称轴是＿＿＿,顶点是

;向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)高低练一练讲授新课5.关于二次函数y＝2x2，下列说法正确的是(

)A．它的开口方向是向下B．当x<0时，y随x的增大而减小C．它的对称轴是x＝2D．当x＝0时，y有最大值是0B讲授新课

例1

若点(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=-3x2图象上的两点，且x1＞x2＞0，那么y1与y2的大小关系是_____________.典例精析y2＞y1讲授新课例2已知

是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=

.分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，解得k=22讲授新课xyO

－222464－48当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.合作探究问题

在同一直角坐标系中画出二次函数的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？讲授新课xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.问题在同一直角坐标系中，画出函数的图象如图所示，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？讲授新课要点归纳在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小.讲授新课把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号）（1）y=3x2的图象是_______；（2）y=x2的图象是_______；（3）y=-x2的图象是_______；（4）y=x2的图象是_______．针对训练③①④②讲授新课二次函数y=ax2+c的图象与性质二合作探究做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象．解：先列表：x···－2－1.5－1011.52···y=2x2＋1······y=2x2－1······95.53135.5973.51－113.57再描点，连线讲授新课问题：抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？

4xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1可以发现，把抛物线y=2x2向

平移1个单位长度，就得到抛物线

；把抛物线y=2x2向

平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.

下y=2x2+1上讲授新课二次函数y=ax2+c的图象可以由

y=ax2

的图象平移得到：当c>0时,向上平移c个单位长度得到.当c<0时,向下平移-c个单位长度得到.二次函数y=ax2

与y=ax2+c（a≠0）的图象的关系上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.要点归纳讲授新课二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(

)A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到练一练D讲授新课4xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1问题

抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？y=2x2y=2x2＋1y=2x2－1二次函数开口方向顶点坐标对称轴向上向上(0,1)(0,-1)y轴y轴向上(0,0)y轴合作探究讲授新课问题

抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的增减性又如何？4xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1当x=0时，y最小值=0当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.讲授新课二次函数y=ax2+c的性质

y=ax2+ca＞0a＜0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性要点归纳向上向下直线x=0直线x=0（0,c）当x=0时，y最小值=c当x=0时，y最大值=c当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.（0,c）讲授新课想一想

1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？2.抛物线y=ax2+c

中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c

︱单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标.对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c).讲授新课解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，∴×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)．例3：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．讲授新课当堂练习1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线

．

2.填表：y=2x2－4函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2y=3x2＋1y=-4x2－5向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k

.在=2>2<2当堂练习5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x