等式性质与不等式性质（第1课时）导学案

2.1等式性质与不等式性质（第1课时）导学案【学习目标】1.了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.会用作差法比较两个代数式的大小关系.（重点）3.掌握并会应用重要不等式.（重难点）【自主学习】一．基本事实：两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的与的大小.答案：a－b>0a－b＝0a－b<0差0注意：符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．二．重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立.答案：≥【当堂达标基础练】1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系.(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4m；解0<h≤4；(2)a与b的和是非负实数；解a＋b≥0；(3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍.2.比较x+2x+3解：∵(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x=2>0,∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).3.比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小.解因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6).证明：a-a+b∵a>b

∴a-b>0∴即a>同理a+b2即a-b所以【当堂达标提升练】5.如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．eq\f(1,2)(a2＋b2)>ab6.商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？点睛：根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．解：若提价后商品的售价为x元，则销售量减少eq\f(x－10,1)×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.7.比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与3x；(2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，∴x2＋3>3x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.8.已知x，y均为正数，设m＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)，n＝eq\f(4,x＋y)，比较m和n的大小．解：∵m－n＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(4,x＋y)＝eq\f(x＋y,xy)－eq\f(4,x＋y)＝eq\f(x＋y2－4xy,xyx＋y)＝eq\f(x－y2,xyx＋y).又x，y均为正数，∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．9．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm.（1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组表示其中的不等关系;（2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为，所以，这时菜园的另一边长为，，所以菜园的面积，依题意有，即，故该题中的不等关系可用不等式组表示为（2）因为矩形的另一边长，所以，又，且，所以.【当堂达标素养练】10．（2022秋·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考期中）不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.【答案】(1)，证明见解析(2)见解析【详解】（1）该不等式为证明：因为，所以，于是.（2）若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为，若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为，又，所以当时，两种方案一样；当时，第二种方案比较经济.11．（2022秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量）【答案】（1）不等式为，证明见解析；（2）答案见解析.【详解】解：（1）克糖水中含有克糖，则糖在糖水中所占的比例为，再添加克糖（假设全部溶解），则糖在糖水中所占的比例，糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有，证明如下：，则；（2）对于东东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克），对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克，故华华买到的糖的平均价格为（元/千克），，即东东买到的糖的平均价格较高.12．（2022秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）已知bg糖水中有ag糖，往糖水中加入mg糖，（假设全部溶解）糖水更甜了.(1)请将这个事实表示为一个不等式(2)证明这个不等式(3)利用（1）的结论证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则”【答案】(1