陕西省宝鸡市高三高考大联考数学（文科）试卷

2021年陕西省宝鸡市高考数学大联考试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，1，2}，那么A∩B的子集个数为（）A．8 B．6 C．4 D．22．已知复数为实数，则实数a＝（）A．3 B．﹣3 C．0 D．3．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有多少人（）A．8000 B．8100 C．8200 D．83004．已知双曲线的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是（）A．y＝±3x B． C． D．y＝±2x5．函数f（x）＝的零点之和为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．7．设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知两个单位向量，的夹角为60°，向量＝t+2（t＜0），则（）A．的最大值为﹣ B．的最小值为﹣2 C．的最小值为﹣ D．的最大值为﹣29．若直线y＝kx﹣2与曲线y＝1+3lnx相切，则k＝（）A．3 B． C．2 D．10．已知不等式组表示的平面区域为等边三角形，则z＝x+3y的最小值为（）A．2+3 B．1+3 C．2+ D．1+11．点M为圆C：（x+2）2+（y+1）2＝1上任意一点，直线（1+3λ）x+（1+2λ）y＝2+5λ过定点P，则|MP|的最大值为（）A．2 B． C．2+1 D．+112．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2﹣3n，则此数列奇数项的前m项和为（）A． B． C． D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，则tanα＝．14．在等差数列{an}中，a3+a4＝7，则a1+a2+⋯+a6＝．15．四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，PA与矩形ABCD所在平面垂直，AB＝3，AD＝，球O的表面积为13π，则线段PA的长为．16．已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，过F的直线l与直线垂直，且直线l与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4csinB＝3asinC，tan．（1）求sinB；（2）设D为AB边上一点，且BD＝3AD，若△ABC的面积为24，求线段CD的长．18．共享单车是指企业的校园，地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，某共享单车企业为更好服务社会，随机调查了100人，统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间（单位：分钟），由统计数据得到如下频率分布直方图，已知骑行时间在[60，80），[20，40），[40，60）三组对应的人数依次成等差数列（1）求频率分布直方图中a，b的值．（2）若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”，将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”，现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰好1人为“忠实用户”的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAC＝∠CAD＝60°，AB⊥BC，AD⊥DC，点E为PD的中点，PA＝2，AC＝4．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）求点D到平面AEC的距离．20．已知直线l1：y＝kx+2与椭圆C：＝1交于A，B两点，l1与直线l2：x+2y﹣4＝0交于点M（1）证明：l2与C相切；（2）设线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|，求l1的方程．21．已知函数f（x）＝﹣（a+1）x+alnx．（1）当a＞1时，求f（x）的单调区间；（2）当a＜1且a≠0时，若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修44：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1：y＝﹣3，圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2＝2．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C3与C1，C2的交点为M、N（异于原点），求△C2MN的面积．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≤2的解集M；（2）当x∈M时，|f（x）|＞a2﹣a，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，1，2}，那么A∩B的子集个数为（）A．8 B．6 C．4 D．2解：因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，1，2}，所以A∩B＝{1，2}，所以A∩B的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}．故A∩B的子集个数为4．故选：C．2．已知复数为实数，则实数a＝（）A．3 B．﹣3 C．0 D．解：由＝为实数，得3a﹣1＝0，即．故选：D．3．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有多少人（）A．8000 B．8100 C．8200 D．8300解：设北面人数为x，根据题意知，，解得x＝8100，所以北面共有8100人．故选：B．4．已知双曲线的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是（）A．y＝±3x B． C． D．y＝±2x解：双曲线的实轴长为2，焦距为4，所以2a＝2，2c＝4，所以a＝1，c＝2，b＝＝，故有＝．所以双曲线的渐近线方程为：y＝±x．故选：C．5．函数f（x）＝的零点之和为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2解：当x＞0时，令6x﹣2＝0，解得x＝log62，当x≤0时，令x+log612＝0，解得x＝﹣log612，故函数f（x）的零点为log62和﹣log612，其和为．故选：A．6．函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．解：因为f（x）＝﹣sin3x，所以只要求y＝sin3x的递减区间．令，解得，∴原函数的单调递增区间为：．故选：A．7．设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：由题意可得α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若再满足a⊥b，则不能推得α⊥β；但若满足α⊥β，由面面垂直的性质定理可得a⊥b故“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．故选：B．8．已知两个单位向量，的夹角为60°，向量＝t+2（t＜0），则（）A．的最大值为﹣ B．的最小值为﹣2 C．的最小值为﹣ D．的最大值为﹣2解：因为t＜0，所以＝，当，即t＝﹣4时，取得最大值，且最大值为．故选：A．9．若直线y＝kx﹣2与曲线y＝1+3lnx相切，则k＝（）A．3 B． C．2 D．解：∵y＝1+3lnx，∴y′＝f′（x）＝，设切点为（m，1+3lnm），得切线的斜率为k＝f′（m）＝，即曲线在点（m，1+3lnm）处的切线方程为：y﹣（1+3lnm）＝（x﹣m）．即y＝x+3lnm﹣2，∵直线y＝kx﹣2与曲线y＝1+3lnx相切，∴3lnm﹣2＝﹣2，且m＝1，即＝k，则k＝3．故选：A．10．已知不等式组表示的平面区域为等边三角形，则z＝x+3y的最小值为（）A．2+3 B．1+3 C．2+ D．1+解：由约束条件作出不等式组表示的平面区域如图所示，要使可行域为等边三角形，则直线y＝kx与直线x＝1的夹角为60°，则直线y＝kx的倾斜角为30°，则k＝，直线y＝kx为y＝．联立，解得A（1，），化z＝x+3y为y＝﹣，由图可知，当直线z＝x+3y经过点时，z取得最小值．故选：D．11．点M为圆C：（x+2）2+（y+1）2＝1上任意一点，直线（1+3λ）x+（1+2λ）y＝2+5λ过定点P，则|MP|的最大值为（）A．2 B． C．2+1 D．+1解：由直线方程（1+3λ）x+（1+2λ）y＝2+5λ，得（x+y﹣2）+（3x+2y﹣5）λ＝0，∴，解得，故P（1，1），|PC|＝＞1，则P在圆外，又点M为圆C：（x+2）2+（y+1）2＝1上任意一点，∴|MP|的最大值为+1，故选：D．12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2﹣3n，则此数列奇数项的前m项和为（）A． B． C． D．﹣解：当n≥2时，，因为当n＝1时，a1＝﹣1不满足，所以数列{an}从第二项开始成等比数列，又a3＝﹣18，则数列{an}的奇数项构成的数列的前m项和Tm＝．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，则tanα＝．解：设tanα＝x，由题意得，解得．故答案为：．14．在等差数列{an}中，a3+a4＝7，则a1+a2+⋯+a6＝21．解：∵在等差数列{an}中，a3+a4＝7＝a1+a6，则a1+a2+⋯+a6＝．故答案为：21．15．四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，PA与矩形ABCD所在平面垂直，AB＝3，AD＝，球O的表面积为13π，则线段PA的长为1．解：如图，由图可知，四棱锥外接球的直径为以AB、AD、AP为棱的长方体的对角线，设外接球的半径为R，由球O的表面积为13π，得4πR2＝13π，∴R＝，∴长方体的对角线长为．设PA＝x，又AB＝3，AD＝，∴，即x＝1．故答案为：1．16．已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，过F的直线l与直线垂直，且直线l与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝．解：F（4，0）是抛物线C：y2＝16x的焦点，过F的直线l与直线垂直，可得：直线l的方程为：y＝（x﹣4）．由，可得3x2﹣40x+48＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．x1+x2＝．则|AB|＝x1+x2+p＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4csinB＝3asinC，tan．（1）求sinB；（2）设D为AB边上一点，且BD＝3AD，若△ABC的面积为24，求线段CD的长．解：（1）∵4csinB＝3asinC，∴4sinCsinB＝3sinAsinC，∵sinC＞0，∴．∵，∴，∴，∴，（2）∵sinB＜sinA，∴B为锐角，．又，∴，∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝1．∴，则△ABC的面积为，∴ab＝48，∵，∴a＝8，b＝6，c＝10，又BD＝3AD，∴，∴，∴．18．共享单车是指企业的校园，地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，某共享单车企业为更好服务社会，随机调查了100人，统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间（单位：分钟），由统计数据得到如下频率分布直方图，已知骑行时间在[60，80），[20，40），[40，60）三组对应的人数依次成等差数列（1）求频率分布直方图中a，b的值．（2）若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”，将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”，现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰好1人为“忠实用户”的概率．×2+0.0075+3a）×20＝1解得a＝0.0125，又b+0.0165＝2a＝0.0025，∴b＝0.0085．（2）“忠实用户”“潜力用户”的人数之比为：（0.0075+0.0025）：（0.0125+0.0025）＝2：3，所以“忠实用户”抽取人，“潜力用户”抽取人，记事件：从5人中任取3人恰有1人为“忠实用户”设两名“忠实用户”的人记为：B1，B2，三名“潜力用户”的人记为：b1，b2，b3，则这5人中任选3人有：（B1，B2，b1），（B1，B2，b2），（B1，B2，b3），（B1，b1，b2），（B1，b1，b3）（B1，b2，b3），（B2，b1，b2），（B2，b1，b3），（B1，b2，b3），（b1，b2，b3），共10种情形，符合题设条件有：（B1，b1，b2），（B1，b1，b3），（B1，b2，b3），（B2，b1，b2），（B2，b1，b3），（B1，b2，b3）共有6种，因此恰好1人为“忠实用户”的概率为．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAC＝∠CAD＝60°，AB⊥BC，AD⊥DC，点E为PD的中点，PA＝2，AC＝4．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）求点D到平面AEC的距离．解：（1）证明：连结BD，交AC于O，∵∠BAC＝∠CAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC，AB＝AD，又AO为∠BAD的平分线，∴AO⊥BD，且O为BD中点，又∵E为PD的中点，∴OE∥PB，∵PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC．（2）解：∵AC＝4，∠CAD＝60°，∴AD＝2，CD＝2，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，在Rt△PAD中，PA＝2，AD＝2，∴PD＝2，AE＝ED＝，在Rt△CDE中，EC＝，且满足AC2＝AE2+EC2，∴AE⊥CE，∴S△AEC＝＝，，设点D到平面AEC的距离为h，则，解得h＝，∴点D到平面AEC的距离为．20．已知直线l1：y＝kx+2与椭圆C：＝1交于A，B两点，l1与直线l2：x+2y﹣4＝0交于点M（1）证明：l2与C相切；（2）设线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|，求l1的方程．【解答】（1）证明：由题意，可将直线l2与椭圆C联立方程，得：消去x，整理得：y2﹣2y+1＝0．∵△＝4﹣4×1×1＝0，∴直线l2与椭圆C相切．（2）解：由题意，联立直线l1与直线l2的方程，得：，解得：．∴M点的坐标为（0，2）．由题意，再联立直线l1与椭圆C的方程，得：．消去y，整理得：（4k2+1）x2+16kx+8＝0，∵直线l1与椭圆交于A，B两点，∴△＝（16k）2﹣32（4k2+1）＝128k2﹣32＞0，解得：k2＞．由题意，可设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴x0＝＝﹣．∵|AB|＝|MN|，即，∴，即，解得k2＝，满足k2＞．∴k＝±，∴直线l1的方程为y＝±．21．已知函数f（x）＝﹣（a+1）x+alnx．（1）当a＞1时，求f（x）的单调区间；（2）当a＜1且a≠0时，若f（x）有两个零点，求a的取值范围．解：（1）f′（x）＝x﹣（a+1）+＝（x＞0），当a＞1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞a；由f′（x）＜0，得1＜x＜a；故f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减．（2）①当a＜0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，则f（x）min＝f（1）＝﹣a﹣，因为∃m∈（0，1），f（m）＞0，且f（2）＝a（﹣2+ln2）