圆的一般方程教学设计高二上学期数学人教A版选择性

圆的一般方程教学设计一、教学内容及其解析1.内容：《圆的一般方程》主要内容是圆的一般方程的定义、代数特征、求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题。2.内容解析：内容的本质：本节内容是在学生学习了圆的标准方程基础上，进一步研究圆的一般方程，发现圆的方程特点，即为特殊的二元二次方程。圆的一般方程，是几何和代数结合的进一步应用，也是在学习了直线一般式方程的基础上，以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路.同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础。也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。同时，坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。蕴含的数学思想和方法：本节在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，在解决圆有关的问题时，需要学生能根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题，重点提升学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。知识的上下位关系：育人价值：圆的一般方程式将几何元素“圆”与代数式子“方程”对应起来，用代数语言表示几何元素，用代数方法解决几何问题，能提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.教学重点：掌握圆的一般方程及其特点并会求圆的一般方程.二、学情分析圆的一般方程是学生在学习了直线方程、掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强。三、教学目标及其解析目标达成目标的标志理解圆的一般方程的概念.通过将圆的标准方程变形成一般方程，理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系，能将圆的标准方程化为一般方程，培养数学抽象的核心素养.掌握圆的一般方程的概念，能与标准方程互化.通过对圆的一般方程和标准方程的互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件，能判断任意一个二元二次方程是否是圆的一般方程，会由圆的一般方程求圆心和半径，发展数学运算的核心素养.掌握圆的一般方程求解方法和与圆有关的简单的轨迹方程问题求解方法.通过具体例题的讲解，会用待定系数法求圆的一般方程以及用相关点法解决与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理和直观想象的核心素养.四、教学问题诊断分析认知基础与将要达到水平的差异难点解决办法圆的一般方程的探究过程与直线的一般式方程探究过程相似，学生已经经历过直线的一般式方程的探究过程，所以能进行圆的一般方程的探究.学生初中已经学过配方法解一元二次方程，对利用配方法解决问题有一定的基础.在圆的一般方程转化为标准方程的过程会遇到困难，即配方法的使用.对二元二次方程不熟悉，二元二次方程转化为标准方程有困难通过尝试配方例子中的几个二元二次方程，从特殊到一般，归纳方法.在直线部分的学习和圆的标准方程的学习过程都是将几何元素与代数表示对应起来，将图形上的点与方程的解与平面直角坐标系中的坐标对应起来.将已知的几何信息转化成代数语言，并找到其中蕴含的相等关系是比较困难的.坐标法解决轨迹问题借助几何画板作图，直观形象地观察轨迹问题，体会利用几何的眼光看问题，找到问题的本质，用代数的方法解决问题.五、教学支持条件分析借助几何画板作图，直观形象地观察轨迹问题.【学习目标】1.通过将圆的标准方程变形成一般方程，理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系，能将圆的标准方程化为一般方程，培养数学抽象的核心素养.2.通过对圆的一般方程和标准方程的互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件，能判断任意一个二元二次方程是否是圆的一般方程，会由圆的一般方程求圆心和半径，发展数学运算的核心素养.3.通过具体例题的讲解，会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理和直观想象的核心素养.【学习重、难点】1.重点：掌握圆的一般方程及其特点并会求圆的一般方程.2.难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题.六、教学过程【知识准备】认知准备：预备知识：上节课我们学习了圆的标准方程，你还记得吗？圆的标准方程：以为圆心，以为半径的圆的标准方程为：直线的一般式方程：直线一般式方程的研究过程:设计意图：复习圆的标准方程及直线一般方程的研究过程，为本节课研究圆的一般方程铺垫.课前小测：请利用圆的标准方程回答下列问题：（1）以为圆心，为半径长的圆的标准方程是什么？（2）标准方程为的圆，圆心为，半径为.【概念的形成】问题1：在课前小测中，我们得到了几个圆的标准方程，直线的一般方程是二元一次方程的形式，通过运算我们可以将这几个圆的标准方程变形，是否也可以类似的写成二元二次方程的形式？圆的标准方程二元二次方程预设：圆的标准方程二元二次方程追问：观察上面两个圆的方程，它们有什么特点？我们发现以为圆心，以为半径的圆的标准方程为：，我们可以通过运算得到：，即的形式.设计意图：通过具体实例，从特殊到一般，得出圆都可以由方程表示.追问：任意一个二元二次方程表示的图形都是圆吗？变式：判断：通过课前小测中的两个例子，我们知道，和都是圆的方程，那么我们将这两个方程中的做一些变化，下列三个方程表示的图形是否还能表示圆？请说明你的理由．答案：①先给配方，即，再给配方，得，故，可以表示以为圆心，以为半径的圆；②先给配方，得，再给配方，得，故，可以表示以为圆心，以为半径的圆；③先给配方，得，再给配方，得，故，可以表示以为圆心，以为半径的圆；④先给配方，得，再给配方，得，即由于，故，不可以表示圆.设计意图：通过对课前小测中两个圆的方程进行变形，发现，不是所有都可以表示圆.追问：以上问题中，并不是所有都可以表示圆，那么方程中的满足什么条件时，这个方程表示圆？问题2：将方程配方，请你分析，满足什么条件时，这个方程表示圆？答案：先给配方，即再给配方.然后移项，.整理，.（1）当时，表示以为圆心，为半径的圆；（2）当时，只有实数解,它表示一个点；（3）当时，没有实数解，它不表示任何图形；因此当时，表示一个圆，此时我们把叫做圆的一般方程设计意图：通过对方程进行配方分析，发现并不是所有都可以表示圆.【概念】圆的一般方程我们把方程叫做圆的一般方程，圆心是，半径是.【概念的理解】【做一做】1.已知圆，则圆心坐标、半径的长分别是()A．(2，－1)，3 B．(－2,1)，3C．(－2，－1)，3 D．(2，－1)，91.答案：A.圆可化为.故其圆心坐标为，半径的长为.2.判断方程是否表示圆？若是，写出圆心和半径；若不是，请说明理由．2.答案：原方程可化为.这里是大于或等于的，因此需要分类讨论.①当时，方程只有一个解，表示点，所以不表示圆；②当时，方程表示圆心为，半径为的圆.设计意图：通过两个实例，能通过圆的一般方程得到圆的圆心坐标和半径，能判断一个二元二次方程是否表示圆.【概念的应用】例1求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.解：（法一）几何法所以，所求圆的圆心坐标是，半径.故所求圆的方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.解：（法二）待定系数法（设圆的标准方程）设圆的标准方程，因为三个点都在圆上于是，化简各式得到，由和得到，由，得，代入得，将，代入得故.所以，所求圆的方程是.故所求圆的圆心坐标是，半径.解：（法三）待定系数法（设圆的一般方程）设圆的方程是,因为三点都在圆上，所以它们的坐标都是圆的方程的解.把它们的坐标依次代入圆方程，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组，化简得，由和得到，由，得，代入得，将，故.所以，所求圆的方程是.故所求圆的圆心坐标是，半径.追问：通过这个例题，你能说说用待定系数法求圆的方程的一般过程是什么样的？答案：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于或的方程组；（3）解出或，得到标准方程或一般方程.归纳得到：标准方程一般方程指出了圆心坐标和半径大小，几何特征明显是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显二者都含有三个待定的系数，要确定方程，均需要三个独立条件。用待定系数法解决求圆的方程时，若设一般方程则得到三个三元一次方程，若设标准方程则得到三个三元二次方程，在运算上，设一般方程更简单，然而，得到的方程仍需转化为标准方程或计算才能得到圆心、半径的信息.设计意图：通过具体实例，能用待定系数法求解圆的圆心坐标和半径，对比设圆的标准方程和一般方程的优劣.例2已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.通过几何画板演示，我们可以看到的轨迹看起来是个圆，那么的轨迹真的是个圆吗？解：如图，设点的坐标是，点的坐标是.由于点的坐标是，且是线段的中点，所以.于是有.①因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即.②把①代入②，得，整理得.配方得到.这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为的圆.追问：根据上述例题，大家可以总结求解轨迹方程的一般步骤吗？相关点法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，找到关系式，列式求出.若动点随着点运动而运动，且知道点所在的曲线,用表示;将点的坐标代入已知的曲线方程，即得动点的轨迹方程.设计意图：通过具体实例，初步掌握相关点法解决与圆有关的简单的轨迹方程问题.【课堂练习】1.以为圆心，为半径的圆的方程为()A. B. C. D.答案：C解析：由圆心坐标为，半径，则圆的标准方程为：，化为一般方程为：.故选C.2.方程表示圆，则的取值范围是()A.或 B. C. D.答案：D解析：方程表示圆，，，，.故选D.3.在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为__________.答案：.解析：设圆的方程为，圆经过三点，则，解得：，则圆的方程为.4.圆心在直线上的圆与轴交于两点，求圆的方程.答案：设圆的方程为.圆心在直线上，，即.①又点在圆上，,②由①②，解得，∴圆的方程为.5.已知直角的斜边为，且，，求：(1)直角顶点的轨迹方程；(2)直角边中点的轨迹方程．答案：(1)法一：设顶点，因为，且三点不共线，所以且.又,，且，所以，化简得.因此，直角顶点的轨迹方程为．法二：同法一得且.由勾股定理得，即，化简得.因此，直角顶点的轨迹方程为．法三：设中点为，由中点坐标公式得，由直角三角形的性质知，.由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，以为半径长的圆(由于三点不共线，所以应除去与轴的交点),所以直角顶点的轨迹方程为．(2)设点的坐标是，点的坐标是，因为，是线段的中点，由中点坐标公式得，，于是有,.由(1)知，点在圆上运动，将，代入该方程得，即，因此动点的轨迹方程为．设计意图：通过具体问题，测试学生对教学目标的掌握情况.【反思与小结】1.圆的两种方程：圆的两种方程标准方程一般方程（）圆心为，半径为圆心为，2.应用圆的方程解决简单的数学问题.设计意图：分析总结本节课的知识和思想方法.【课后作业】A组：1.下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长.（1）；（2）；（3）；（4）.答案：（1）中，与的系数不同，故原方程不表示圆.（2）中含有项，故原方程不表示圆.（3），原方程不表示圆.（4），方程表示圆，圆心坐标为，即，半径.2.若方程表示一个圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：D.由题意得：，即.3.圆的半径为______.答案：解析：由，得，所以所求圆的半径为.4．求圆关于直线对称的圆的方程．答案：由可得圆的标准方程为：，故半径为1，圆心为，设其关于直线的对称点为，则，故，故所求圆的方程为：.5.已知定点，圆上有一个动点，若的中点为，求动点的轨迹．答案：如图所示，设动点P的坐标为(x，y)，Q(x1，y1)，利用中点坐标公式有,即,，，动点的轨迹方程为.点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．B组：1.已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．答案：（1）设动点为轨迹上任意一点，则点的轨迹就是集合．由两点距离公式，点适合的条件可表示为，平方后再整理，得．可以验证，这就是动点M的轨迹方程．（2）设动点的坐标为，的坐标是．由于，且为线段的中点，所以，．所以有，①