正、余弦定理的应用与综合（第24讲）导学案-教师版

导学案（内部资料，注意保存）高三年级数学学科（A）导学案主备班级小组学生姓名第24讲：正、余弦定理的应用与综合2【学习目标】：1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；再次去对于测量距离、高度、角度的问题的巩固。3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关角度的实际问题。【重点难点】：重点：用正、余弦定理测量距离、高度、角度问题难点：用正、余弦定理测量距离、高度、角度问题【学习流程】◎知识点回顾：◎考点探究[2022西南大学附属中学高二上开学考试]如图,A,B,C为山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得这三点的俯角分别为α=30°,β=45°,γ=30°.现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE,经测量AD=100m,BE=33m,BC=100m,则PB=m,DE=m.(精确到1m,附:2≈1.414,3≈1.732.)

答案：193240解析由题意,得∠BCP=30°,∠BPC=15°,BC=100,sin15°=sin(45°-30°)=6-24.由BCsin∠BPC=PBsin∠BCP,即100sin

15°=PBsin

30°,得PB=506-24=50(6+2)≈193(m).在△PAB中,因为α=30°,所以A=30°,∠APB=105°.又sin105°=sin(60°+45°)=6+24距离问题的类型及解法(1)类型：①两点间既不可达也不可视；②两点间可视但不可达；③两点都不可达．(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．1.(2023·河北廊坊模拟)如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236，eq\r(7)≈2.646)()A．39米 B．43米C．49米 D．53米答案D解析在△ACB中，AB＝60米，BC＝60米，∠ABC＝60°，所以AC＝60米，在△CDA中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos60°＝602＋402－2×60×40×eq\f(1,2)＝2800，所以AD＝20eq\r(7)≈53(米)．如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为()A.(30+303)m B.(30+153)mC.(15+303)m D.(15+153)m答案：A在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60m,sin15°=sin(45°-30°)=6-24,由正弦定理,得PB=ABsin

30°sin

15°=30(6+2)(m),所以建筑物的高度为PB(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图．(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．[2022河北保定高一期末]一艘船航行到点A处时,测得灯塔C与其相距30海里,如图所示.随后该船以20海里/时的速度,沿直线向东南方向航行1小时后到达点B,测得灯塔C在其北偏东25°方向,则sin∠ACB=()A.23sin70° B.23sin75° C.3答案：A由题意可知,∠ABC=45°+25°=70°,AB=20海里,由正弦定理可得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,代入数据得◎展示提升：1.[2022江西南昌高一下期中]如图,在离地面hm的热气球M上,观察到山顶C处的仰角为θ,在山脚A处观察到山顶C处的仰角为60°,且热气球M在地面上的射影D在A左侧.若A到热气球的距离AM=4002m,山的高度BC=600m,∠ACM=45°,则θ=()A.30° B.25° C.20° D.15°答案：D在Rt△ABC中,BC=600m,∠CAB=60°,所以AC=BCsin60°=4003(m).在△MAC中,由正弦定理知ACsin∠AMC=AMsin∠ACM,解得sin∠AMC=32,所以∠AMC=60°或120°.若∠AMC=60°,则∠MAC=75°,∠MAD=45°,所以θ=60°-45°=15°;若∠AMC=120°,则∠MAC=15°,∠MAB=75°,此时D在A右侧,不符合题意2.(多选)如图,某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后,到达B处,此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20km/h,且cos∠AOB=-338,则(A.此山的高PO=3kmB.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°C.PA=2kmD.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为20答案：BCD由题意可得∠OAP=30°,∠OBP=45°,设OP=xkm.又OP⊥OA,OP⊥OB,则OA=3xkm,OB=xkm.因为AB=7.5×160×20=52(km),所以cos∠AOB=OA2+OB2-AB22OA·OB=4x2-25423x2=-338,解得x=1,从而PA=2km,故A错误,C正确;易知sin∠AOB=378,所以由等面积法可得O到AB的距离h=11120km,所以小车从A到B的行驶过程中,距离O点的距离范围是[11120,3]3.[2022江苏扬州高邮高一下期中]如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔19km,速度为300km/h,飞行员先在A处看到山顶C处的俯角为45°,经过2min后,又在B处看到山顶C处的俯角为75°,则山的海拔约为(结果精确到0.1,参考数据:3≈1.732)()A.4.3km B.5.3km C.6.3km D.13.7km答案：B如图,过C点作直线AB的垂线,垂足为D.由题意得AB=300×260=10(km),∠ACB=30°,因为ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,所以BC=AB·sin∠BACsin∠ACB=102(km).又sin75°=sin(45°+30°)=6+24,所以CD=BC·sin∠CBD=102◎达标检测1.如图,A,B是海面上位于东西方向相距4(3+3)nmile的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距163nmile的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为24nmile/h,则BD=nmile,该救援船到达D点所需的时间为h.答案：831解析由题意可知,在△ADB中,∠DAB=45°,∠DBA=30°,则∠ADB=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得ABsin∠ADB=DBsin∠DAB,即4(3+3)sin105°=DBsin45°.由sin105°=sin(45°+60°)=6+24,代入上式得DB=83nmile.在△BCD中,BC=163,DB=83,∠CBD=60°.由余弦定理得,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos60°=(163)22.如图,某人在塔AB的正东方向上的C处,在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6km的速度步行1min后到达D处,在点D处望见塔的底端B在东北方向上.已知沿途某人看塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°.(1)该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟?(2)求塔高.解析(1)依题意,知在△DBC中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=100m,D=180°-135°-30°=15°.由正弦定理,得BC=CDsinDsin∠DBC在Rt△ABE中,tanα=ABBE因为AB为定长,所以当BE的长最小时,α取最大值60°,此时BE⊥CD.当BE⊥CD时,在Rt△BEC中,EC=BCcos∠BCE=50(3-1)×32=25(3-3)(m)设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了tmin,则t=EC100(2)由(1),知当α取得最大值60°时,BE⊥CD.在Rt△BEC中,BE=BCsin∠B